山區公路勘測中投影長度變形的控制

□文 /宋保全

在公路勘測中，首先要考慮投影長度變形的影響，為了控制投影變形，我國的國家坐標系采用高斯投影3°或6°分帶方式[1]。選取路線平面控制測量坐標系時，應使測區內投影長度變形值≯2.5 cm/km；大型構造物平面控制測量坐標系，投影長度變形值≯1cm/km[2]。通過選取任意中央子午線，可減小投影變形的影響[3]。我國東部平原微丘區，地形起伏較小，控制投影長度變形相對容易；而西部山區，則相對復雜。本文著重山區公路勘測，根據投影長度變形的規律，探討如何合理選取平面控制測量坐標系，以達到有利于后續設計、施工建設工作順利開展的目的。

1 投影長度變形規律

我國平面控制網為高斯平面直角坐標系，采用高斯-克呂格投影。地面上觀測的長度換算到高斯平面直角坐標系中，需要兩個步驟：先將地面觀測長度歸算到參考橢球面上；然后將參考橢球面上的長度投影到高斯平面上。這兩個步驟中長度均發生變形，分別稱作高程歸化改正和高斯投影改正。

1.1 高程歸化改正

高程歸化改正公式

式中：Hm——測距邊兩端點的平均高程；

S0——測距兩端點平均高程面上的水平距離；

R——參考橢球在測距邊方向法截弧的曲率半徑；

ΔS1——高程歸化改正值。

按式（1）計算不同高程上每千米水平測距邊的高程歸化改正值，見表1。

表1 每千米高程歸化改正與高程值關系

從表1看出，地面點垂直偏離參考橢球面（或投影面）≯64 m，即垂直跨度≯128 m時，高程歸化改正值能控制在±1 cm/km以內；地面點垂直偏離參考橢球面（或投影面）≯160 m，即垂直跨度≯320 m時，高程歸化改正值能控制在±2.5 cm/km以內。

1.2 高斯投影改正

高斯投影改正公式

式中：ym——測距邊中點到中央子午線的距離；

S——測距兩端點在橢球面上的水平距離；

R——測距邊中點的平均地球曲率半徑；

ΔS2——高斯投影改正值。

按式（2）計算距中央子午線不同距離的每千米水平測距邊的高斯投影改正值，見表2。

表2 每千米高斯投影改正與中央子午線關系

從表2看出，距中央子午線距離≯29 km，即東西跨度≯58 km時，高斯投影改正值能控制在±1 cm/km以內；距中央子午線≯45 km，即東西跨度≯90 km時，高斯投影改正值能控制在±2.5 cm/km以內。

1.3 綜合長度變形

地面測距邊的最終長度變形值是高程歸化改正值和高斯投影改正值的疊加。高斯投影改正值隨著地面點離開中央子午越遠，改正值越大且總為正值；高程歸化改正隨著垂直偏離參考橢球面（或投影面）的高度越大，改正值越大且高出參考橢球面（或投影面）時，改正值為負值。每千米綜合長度變形值ξ的公式

從式（3）看出，選取合適的中央子午線和投影面，可使的高程歸化改正值與高斯投影改正值正負相抵，這時的投影面稱作抵償高程面。

2 綜合長度變形的控制

在公路勘測中，建立合理的坐標系可使路線綜合長度變形值控制在預期范圍之內。坐標系的建立就是選取合適的中央子午線和投影面的過程。見圖1。

圖1中虛線表示參考橢球，①為西高東低的起伏地表。首先，按工程項目的起伏趨勢擬合一條直線，見②；自東向西旋轉參考橢球（即選取中央子午線），使得趨勢線呈水平狀態，見③；趨勢線距參考橢球最近點處的經線即為中央子午線，趨勢線的垂直高程即為投影面高程，見④。

圖1 部分地表形態在東西方向的剖面

3 工程實例

我國西部山區某公路項目全長約46 km，前30 km大致東西走向，之后折向東南。見圖2。

圖2 路線縱斷面

路線的海拔高度從2 300～3 100 m，垂直跨度800 m。根據文獻［2］，投影長度變形值≯2.5 cm/km的要求，則需要建立三個獨立坐標系，才能消化800 m的高差。頻繁的坐標轉換給勘測、設計以及施工帶來很大不便。

根據高程歸化改正和高斯投影改正相互抵償的規律，可以合理優化坐標系。

1）將路線縱斷面投影到東西坐標軸上。該項目全長約46 km，投影到東西坐標軸上約36 km。路線縱斷面高程及相對應的東坐標見圖3。圖3中高程歸化改正值按相反數展繪（下同）。

2）改變中央子午線位置，使得高程歸化改正值與高斯投影改正值變化趨勢一致。從圖3看出，項目位置處高程歸化改正值的變化趨勢與對應位置的高斯投影改正值變化趨勢明顯不一致。但是，高程歸化改正值的變化趨勢與西側140 km處的投影改正值變化趨勢一致，這時需要將中央子午線東移（或者說項目位置西移）。經計算，中央子午線東移134 km，得到的改正值見圖4。

圖3 原始各項改正值

圖4 平移中央子午線后各項改正值

3）選擇投影面，使高程歸化改正和高斯投影改正相互抵償。從圖4看出，高程歸化改正值與高斯投影改正值變化趨勢一致，綜合長度變形值趨同，這時需要選擇投影面高程（或者說是項目位置下移）。經計算，投影面高程870 m，得到的改正值見圖5。

圖5 選擇抵償高程面后各項改正值

從圖5看出，高程歸化改正值與高斯投影改正值變化趨勢一致，相互抵償，此時的投影面即為抵償高程面。同時，綜合長度變形值控制在了±1 cm/km以內。

4 結語

山區地形起伏，使得公路勘測中路線長度變形的控制變得尤為重要。過多的坐標系分帶會給工作帶來麻煩，同時坐標系精度也不高；合理利用投影長度變形的規律，選取合適的中央子午線和投影面，可以減少坐標系分帶，也能保證坐標系精度。實際工作中，注意大型構造物的分布情況，坐標系能同時滿足“測區內投影長度變形值≯2.5 cm/km；大型構造物平面控制測量坐標系，其投影長度變形值應≯1 cm/km”的要求，會使勘測工作高效有序。