素環(huán)上的環(huán)同構(gòu)及完全保交換性映射

張 婷，侯晉川

(太原理工大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，太原 030024)

令R是環(huán)(或?qū)檄h(huán)，其對合運算記為*)，則對于每個正整數(shù)n，R上的n×n矩陣全體Mn(R)是一個環(huán)(或?qū)檄h(huán))。令Φ:R→R是一個映射，對于任意n∈N,Φ可以自然地延拓為從Mn(R)到自身的一個映射Φn,其定義為

Φn((sij)n×n)=(Φ(sij))n×n.

注意到，如果Φ是R上的一個環(huán)同態(tài)(或*-環(huán)同構(gòu))，則對每一個n=1,2,…,Φn也是Mn(R)上的一個環(huán)同態(tài)(或*-環(huán)同構(gòu))。令(P)是環(huán)的某個性質(zhì)，如果Φn保持性質(zhì)(P),則稱Φ是n-保持(P)的；如果對每個正整數(shù)n,Φ都是n-保持(P)的，則稱Φ是完全保持(P)的。如果Φ是環(huán)同態(tài)且性質(zhì)(P)是環(huán)同態(tài)的一個不變量，則Φ是完全保持(P)的。完全保持問題研究的是這一現(xiàn)象的逆問題，即，如果性質(zhì)(P)是環(huán)同態(tài)的一個不變量，那么R上完全保(P)的映射是否是環(huán)同態(tài)，如何刻畫這些完全保持映射。

算子代數(shù)和算子空間上的一些線性完全保持問題已經(jīng)得到廣泛的研究。例如，完全正線性映射和完全有界線性映射是算子代數(shù)和算子空間理論中非常重要的研究課題[1].HADWIN et al在文獻[2]中討論了B(H)上完全秩不增線性映射并對此類映射進行了刻畫，之后文獻[3]把[2]中的工作推廣到B(X)上并在此基礎(chǔ)上給出了初等算子的刻畫；這里H為Hilbert空間，X為Banach空間，B(X)為X上有界線性算子全體構(gòu)成的代數(shù)。文獻[4-5]則分別給出有限von Neumann代數(shù)上完全保跡秩的線性映射和一般映射的刻畫。文獻[6-7]分別給出Banach空間上標準算子代數(shù)上的完全?？赡嫘詽M射和完全保譜滿射的刻畫。標準算子代數(shù)上完全保冪等性、平方冪零性、交換性和Jordan零積的一般滿射的刻畫可在文獻[8-9]中找到。

本文繼續(xù)對算子代數(shù)上的完全保交換性和斜交換性映射的刻畫問題進行研究。本文在下述兩個方面對已有的結(jié)論進行了推廣或深化，一是在更多的算子代數(shù)上進行討論，二是在標準算子代數(shù)的情形弱化了滿射性假設(shè)。事實上，首先在更一般的純代數(shù)框架下進行討論，給出含單位元的素環(huán)(或素對合環(huán))上完全保交換性(或斜交換性)滿射的刻畫。令R是含單位元I的素環(huán)，證明了滿射Φ：R→R完全雙邊保交換性的充分必要條件是Φ具有形式Φ=LC°π,其中C∈Z(R)是可逆元，π是R的環(huán)同構(gòu)；令R是含單位元I的素對合環(huán)，其對合運算記為*,滿射Φ：R→R完全雙邊保斜交換性的充分必要條件是Φ具有形式Φ=LC°π,其中C∈Z(R)是可逆對稱元，π是R的*-環(huán)同構(gòu)。如果映射是保單位元的，即Φ(I)=I,則上述結(jié)果中環(huán)為素的假設(shè)可以去掉，即一般有單位環(huán)(對合環(huán))上的滿射是環(huán)同構(gòu)(對合環(huán)同構(gòu))當且僅當它是保單位元的且完全雙邊保交換性(斜交換性)的。本文還將上述結(jié)論應(yīng)用到C*-代數(shù)、von Neumann代數(shù)、Banach空間上標準算子代數(shù)、Krein空間上不定自伴標準算子代數(shù)及對稱標準算子代數(shù)，獲得這些算子代數(shù)上完全雙邊保交換性或斜交換性的滿射的具體形式。對于標準算子代數(shù)的情形，映射的滿射性假設(shè)可以減弱為值域包含所有的一秩冪等算子。

令R是一個環(huán)，R的中心為Z(R)={Z∈R∶AZ=ZA?A∈R}.稱R是素環(huán)如果對任意A,B∈R,ARB={0}蘊涵A=0或B=0;稱環(huán)R是對合環(huán)或*-環(huán)如果存在一個可加映射*:R→R滿足(AB)*=B*A*且(A*)*=A對所有A,B∈R成立。*稱為對合環(huán)R的對合運算。記Q=Qml(R)是環(huán)R的極大左商環(huán)。Q的中心C=C(R)=Z(Q)稱為環(huán)R的擴展中心，且有Z(R)?C.如果R是素的，則Q也是素的并且C是一個域。如果R是素對合環(huán)，則它的對稱擴展中心CS={λ∈C∶λ=λ*}也是一個域(參見文獻[10]).一個映射Φ:R→R稱為環(huán)同態(tài)如果Φ是可加的且是可乘的。雙射環(huán)同態(tài)稱為環(huán)同構(gòu)。類似地，當R是素對合環(huán)時，一個映射Φ:R→R稱為*-環(huán)同態(tài)(或?qū)檄h(huán)同態(tài))如果Φ是環(huán)同態(tài)且Φ(A*)=Φ(A)*對任意A∈R都成立。雙射*-環(huán)同態(tài)稱為*-環(huán)同構(gòu)。對任意A∈R,將對角矩陣diag{A,A,…,A}∈Mn(R)記為A(n);記LA為R上的左乘子，即LAT=AT對任何T∈R成立。顯然，LA是可加映射。對于映射Φ:R→R,我們稱Φ是雙邊保交換性的如果對任意A,B∈R,AB=BA?Φ(A)Φ(B)=Φ(B)Φ(A);當R是對合環(huán)時，其對合運算記為*,稱Φ是雙邊保斜交換性的如果對任意A,B∈R,AB=BA*?Φ(A)Φ(B)=Φ(B)Φ(A)*.

1 環(huán)同構(gòu)和完全保交換性映射

在本節(jié)中，用映射的完全保交換性給出環(huán)同構(gòu)的刻畫。

定理1設(shè)R是含單位元I的素環(huán)且Φ:R→R是滿射，則下列陳述等價：

1)Φ完全雙邊保交換性。

2)Φ2雙邊保交換性。

3) 存在可逆元C∈Z(R)和環(huán)同構(gòu)π:R→R使得Φ=LC°π.

證明:因為對每個正整數(shù)n,πn是Mn(R)上的環(huán)同構(gòu)且Φn=(LC°π)n=LC(n)πn，所以3)?1)?2)顯然成立。下面只需證2)?3).假設(shè)Φ2雙邊保交換性。

斷言1Φ(0)=0.

對于任意T∈R,有

將Φ2作用于上式可得

此蘊涵

Φ(0)2=Φ(0)Φ(T) .

(1)

根據(jù)Φ的滿射性，存在T0∈R使得Φ(T0)=0.將T=T0代入等式(1)可得Φ(0)2=0.再取使得Φ(T1)=I的T1∈R,將其代入等式(1)可得Φ(0)=Φ(0)2=0.

斷言2Φ是單射。

假設(shè)T,S∈R滿足Φ(T)=Φ(S).因為

則有

將上式中的Φ(T)用Φ(S)來代替，有

由于Φ2是雙邊保交換性的，故有

由此可得T=S.所以Φ是單射從而Φ是雙射。

斷言3Φ(I)∈Z(R).

對任意T∈R,因為

所以有

此蘊涵

Φ(I)Φ(T)=Φ(T)Φ(I)

(2)

對所有T∈R都成立。因Φ是滿射，所以有0≠C=Φ(I)∈Z(R).根據(jù)R的素性可知R的擴展中心C=C(R)是一個域。故C在C中是可逆的。對任意的T∈R,令Ψ(T)=C-1Φ(T).由于Ψ2((Tij)2×2)=C-2(Φ(Tij))2×2且C-2∈C(R),易知，映射Ψ:R→C-1R仍然是2-雙邊保交換性的且Ψ(I)=I.

斷言4Ψ是環(huán)同構(gòu)。

對任意T,S∈R因為

有

由此可知Ψ(T+S)=Ψ(T)+Ψ(S),即，Ψ是可加的。

對任意T,S∈R,因為Ψ是可加的并且

所以有

此蘊涵Ψ(TS)=Ψ(T)Ψ(S).所以Ψ是可乘的。因為R是一個環(huán)，Ψ的可乘性及可加性蘊涵C-1R也是一個環(huán)。因此，C-2=C-1I·C-1I∈C-1R,從而必有C-1∈R.所以，Ψ實際上是R的環(huán)自同構(gòu)并且Φ=LC°Ψ.令π=Ψ,則Φ=LC°π.證畢。

由定理1的證明，如果假設(shè)Φ(I)是R中的可逆元，則環(huán)的素性假設(shè)可以去掉。即有

定理2設(shè)R是含單位元I的環(huán)且Φ:R→R是滿射。如果Φ(I)是可逆的，則下列陳述等價：

1)Φ完全雙邊保交換性。

2)Φ2雙邊保交換性。

3)C=Φ(I)∈Z(R)且存在環(huán)同構(gòu)π:R→R使得Φ=LC°π.

下面的推論用完全保交換性的語言給出環(huán)同構(gòu)的一種刻畫。

推論1令R是含單位元I的環(huán)且Φ:R→R是保單位元的滿射。則下列陳述等價：

1)Φ完全雙邊保交換性。

2)Φ2雙邊保交換性。

3)Φ是環(huán)同構(gòu)。

現(xiàn)在將定理1應(yīng)用到一些算子代數(shù)上。

令H是一個復(fù)Hilbert空間，如果M是B(H)的一個C*-子代數(shù)并且滿足雙換位子性質(zhì)，即，M"=M,其中

M'={T:T∈B(H),TA=AT?A∈M} ,

且M"=(M')',則稱M是von Neumann代數(shù)。如果M的中心Z(M)=M∩M'=CI,則稱M是因子。每個因子von Neumann代數(shù)都是素的。

推論2令M是一個因子von Neumann代數(shù)且Φ:M→M是一個滿射。則下列陳述等價：

1)Φ完全雙邊保交換性。

2)Φ2雙邊保交換性。

3) 存在非零數(shù)c和M的環(huán)自同構(gòu)π使得Φ=cπ.

對于矩陣代數(shù)和標準算子代數(shù)情形，可以弱化映射的滿射性條件。下面的推論可以看作是文獻[9]相應(yīng)結(jié)論的推廣。

推論3令X是實數(shù)或復(fù)數(shù)域F上的Banach空間且A是X上的標準算子代數(shù)。如果映射Φ：A→A的值域包含所有的一秩冪等算子，則下列陳述等價：

1)Φ完全雙邊保交換性。

2)Φ2雙邊保交換性。

3) 存在非零數(shù)c∈F，環(huán)自同構(gòu)τ:F→F和τ-線性雙射A:X→X使得Φ(T)=cATA-1對所有T∈A成立。進而，如果X是實的，則A是線性有界可逆算子；如果X是復(fù)的并且dimX=∞，則A是線性或共軛線性有界可逆算子。

證明：僅需證2)?3).假設(shè)2)成立。通過驗證定理1的證明，易知對任意T∈A有Φ(0)2=Φ(0)Φ(T)(見式(1)).因為Φ的值域包含所有的一秩冪等算子，故對任意對任意一秩冪等算子x?f，有

Φ(0)2=Φ(0)x?f.

(3)

如果Φ(0)≠0，則存在x∈X使得Φ(0)x≠0.因為dimX≥2,故存在兩個線性無關(guān)的泛函f1,f2∈X*使得x?f1和x?f2都是一秩冪等算子。根據(jù)式(3)有Φ(0)x?f1=Φ(0)2=Φ(0)x?f2,矛盾。因此我們有Φ(0)=0.類似于定理1的證明，可知Φ是單射，并且對任意算子T∈A都有Φ(I)Φ(T)=Φ(T)Φ(I)(見式(2)).特別地，Φ(I)與每個一秩冪等算子都是交換的，此蘊涵存在非零c∈F使得Φ(I)=cI.類似定理1的證明，Ψ=c-1Φ是A到自身的單射環(huán)同態(tài)。注意到一個非零算子A∈A是一秩的當且僅當對任意一秩冪等算子B,C,BAC=0蘊涵BA=0或AC=0.通過這個事實易證Ψ保算子的秩一性。Ψ的可乘性蘊涵Ψ(FI)?FI,由此可以推出對任意一秩冪等算子x?f都有

Ψ(Fx?f)?FΨ(x?f).

所以所有一秩算子都包含在Ψ的值域中且Ψ|FI+F(X)是FI+F(X)上的環(huán)同構(gòu)，其中F(X)表示B(X)中有限秩算子全體構(gòu)成的子代數(shù)。因此，由眾所周知的結(jié)果，存在環(huán)自同構(gòu)τ:F→F和τ-線性雙射A:X→X使得Ψ(F)=AFA-1對所有F∈FI+F(X)成立?，F(xiàn)在，對任何T∈A,因為

Ψ(T)A(x?f)A-1=Ψ(Tx?f)=AT(x?f)A-1=ATA-1A(x?f)A-1

對所有一秩算子x?f都成立，故有Ψ(T)=ATA-1.這就證明了，Φ(T)=cATA-1對任何T∈A都成立。通過文獻[11]和[12(定理2.4.2)]可知關(guān)于A的斷言也是正確的。證畢。

特別地，有

推論4令Mn(F)是實數(shù)或復(fù)數(shù)域F上的n×n矩陣全體構(gòu)成的代數(shù)且Φ:Mn(F)→Mn(F)是一個映射，如果Φ的值域包含所有的一秩冪等矩陣，則下列陳述等價：

1)Φ完全雙邊保交換性。

2)Φ2雙邊保交換性。

3) 存在非零數(shù)c,環(huán)自同構(gòu)τ:F→F和可逆矩陣A∈Mn(F)使得Φ(T)=cATτA-1對所有T∈Mn(F)成立。這里對任意T=(tij)∈Mn(F),Tτ=(τ(tij)).

2 *-環(huán)同構(gòu)和完全保斜交換性映射

在本節(jié)中，討論素*-環(huán)上的*-環(huán)同構(gòu)和完全保斜交換映射的關(guān)系。

下面是本節(jié)的主要定理。

定理3令R是含單位元I的素對合環(huán)，其對合運算記為*.令Φ:R→R是一個滿射。則下列陳述等價：

1)Φ完全雙邊保斜交換性。

2)Φ2雙邊保斜交換性。

3) 存在可逆對稱元C∈Z(R)和R的*-環(huán)同構(gòu)π使得Φ=LC°π.

Φn(A)Φn(B)-Φn(B)Φn(A)*=
(Cπ(Aij))(Cπ(Bij))-(Cπ(Bij))(Cπ(Aij))*=
(C2π(∑lAilBlj))-(C2π(∑lBilAjl*))=
(C2π(∑l(AilBlj-BilAjl*)))=0 .

反之，Φn(A)Φn(B)-Φn(B)Φn(A)*=0蘊涵C2π(∑l(AilBlj-BilAjl*))=0對任意i,j∈{1,2,…,n}都成立。因為R是素的，且C≠0,故C在擴展中心C(R)中可逆，由此可知對任意T∈R,C2T=0蘊涵T=0.根據(jù)π(∑l(AilBlj-BilAjl*))=0和π的單射性可得∑l(AilBlj-BilAjl*)=0.故必有AB=BA*=0.因此，對任意正整數(shù)n,Φn是雙邊保斜交換性映射。

所以3)?1)?2)成立。下面僅需證明2)?3)成立。假設(shè)Φ2雙邊保斜交換性。

斷言5Φ(0)=0.

對任意T∈R,有

將Φ2作用于上式可得

此蘊涵

Φ(0)2=Φ(T)Φ(0) .

(4)

類似定理1中斷言1的證明，可知Φ(0)=0.

斷言6Φ是單射。

假設(shè)T,S∈R滿足Φ(T)=Φ(S).因為

有

將上式中的Φ(T)用Φ(S)來代替，有

由于Φ2雙邊保斜交換性，故可得

此蘊涵T=S.因此Φ是單射從而Φ是雙射。

斷言7Φ(I)=Φ(I)*且Φ(I)∈Z(R).

對任意T∈R,因為

所以有

由此可得，對所有T∈R有

Φ(I)Φ(T)=Φ(T)Φ(I)*.

(5)

由于Φ是滿射，存在T0∈R使得Φ(T0)=I.將T=T0代入等式(5)有Φ(I)=Φ(I)*.因此，Φ(I)是對稱元且對任意T∈R有Φ(I)Φ(T)=Φ(T)Φ(I).根據(jù)Φ的滿射性，有C=Φ(I)∈Z(R).

根據(jù)斷言6，可知C≠0.R的素性蘊涵C在C(R)中可逆。對任意的T∈R,令Ψ(T)=C-1Φ(T).根據(jù)斷言7，易知Ψ:R→C-1(R)是2-雙邊保斜交換性的且Ψ(I)=I.

斷言8 對任意T∈R,Ψ(T*)=Ψ(T)*.

對任意T∈R,因為

所以有

因而，Ψ(T*)=Ψ(T)*.

斷言9Ψ是可加的。

對任意T,S∈R,因為

所以有

因此Ψ(T+S)=Ψ(T)+Ψ(S),即，Ψ是可加的。

斷言10Ψ是*-環(huán)同構(gòu)且C-1∈R.

對任意T,S∈R,因為

所以有

此蘊涵Ψ(TS)=Ψ(T)Ψ(S).因而Ψ是*-環(huán)同構(gòu)。由此可知，C-1R是*-環(huán)。特別地，C-2∈C-1R表明C-1∈R,即C在R中可逆。因此Ψ實際上是R的*-環(huán)同構(gòu)并且Φ=LC°Ψ.令π=Ψ,則有Φ=LC°π.證畢。

由定理3的證明，如果假設(shè)Φ(I)是R中的可逆元，則對合環(huán)的素性假設(shè)可以去掉。即有

定理4設(shè)R是含單位元I的對合環(huán)，其對合運算記為*.令Φ:R→R是滿射，如果Φ(I)是可逆的，則下列陳述等價：

1)Φ完全雙邊保斜交換性。

2)Φ2雙邊保斜交換性。

3)C=Φ(I)∈Z(R),C=C*且存在*-環(huán)同構(gòu)π:R→R使得Φ=LC°π.

下面的推論用完全保斜交換性的語言給出*-環(huán)同構(gòu)的一種刻畫。

推論5令R是含單位元I的對合環(huán)，其對合運算記為*.令Φ:R→R是一個保單位元的滿射。則下列陳述等價：

1)Φ完全雙邊保斜交換性。

2)Φ2雙邊保斜交換性。

3)Φ是*-環(huán)同構(gòu)。

下面將定理3應(yīng)用到一些算子代數(shù)上。

推論6令A(yù)是含單位元I的素C*-代數(shù)且Φ:A→A是一個的滿射。則下列陳述等價：

1)Φ完全雙邊保斜交換性。

2)Φ2雙邊保斜交換性。

3) 存在實數(shù)c≠0和A的*-環(huán)同構(gòu)π使得Φ=cπ.

證明：根據(jù)文獻[13](推論2.3)可知，素C*-代數(shù)的擴展中心是復(fù)數(shù)域C.因此，CS(A)=R.故由定理3可知推論是顯然的。證畢。

每一個因子von Neumann代數(shù)都是含單位元的素C*-代數(shù)。因此根據(jù)推論6，下面的推論是直接的。

推論7令M是因子von Neumann代數(shù)且Φ:M→M是一個滿射。則下列陳述等價：

1)Φ完全雙邊保斜交換性。

2)Φ2雙邊保斜交換性。

3) 存在實數(shù)c≠0和M的*-環(huán)同構(gòu)π使得Φ=cπ.

顯然，每個不定自伴標準算子代數(shù)A是一個含單位元I和具有對合運算?的素對合環(huán)。根據(jù)定理3，如果Φ是滿射，則以下推論是正確的。然而在此情形，可以弱化映射的滿射性條件。

推論8令H是實或復(fù)的Krein空間且dimH≥2.令A(yù)?B(H)是不定自伴標準算子代數(shù)，如果映射Φ:A→A的值域包含所有一秩冪等算子，則下列陳述等價：

1) 對任意正整數(shù)n，Φn:Mn(A)→Mn(A)滿足，對任意的A,B∈Mn(A),

AB=BA??Φn(A)Φn(B)=Φn(B)Φn(A)?.

2)Φ2:M2(A)→M2(A)滿足，對任意A,B∈M2(A),

AB=BA??Φ2(A)Φ2(B)=Φ2(B)Φ2(A)?.

3) 存在實數(shù)c≠0和?-酉或共軛?-酉算子U:H→H使得Φ(T)=cUTU?對任意T∈A成立。

證明：一個有界線性或者共軛線性算子U:H→H稱為?-酉算子如果U?U=UU?=I.所以3)?1)?2)是顯然的。為證2)?3)，假設(shè)條件2)成立，應(yīng)用定理3，易知對任意T∈A有Φ(0)2=Φ(T)Φ(0)(見式(4)).因為Φ的值域包含所有一秩冪等算子，所以對任意一秩冪等算子x?f都有

Φ(0)2=(x?f)Φ(0) .

(6)

此蘊涵Φ(0)2是一秩算子。如果Φ(0)≠0，則一定存在某個f∈H使得Φ(0)?f≠0.由于dimH≥2，可找到兩個線性無關(guān)的向量x1,x2∈H使得〈x1,f〉=〈x2,f〉=1.根據(jù)等式(6),有Φ(0)2=xi?Φ(0)?f,此時一秩算子Φ(0)2的值域包含{x1,x2}，矛盾。因此，Φ(0)=0.

下面證明存在非零實數(shù)c使得Φ(I)=cI.類似定理3的證明，可知Φ是單射且Φ(I)Φ(T)=Φ(T)Φ(I)?對所有T∈A都成立。特別地，對所有一秩冪等算子x?f都有

Φ(I)x?f=(x?f)Φ(I)?=x?Φ(I)f.

(7)

類似定理3證明，可知對任意T∈A有Φ(T?)=Φ(T)?,且存在?-環(huán)同態(tài)π使得Φ=cπ.因為π是值域包含所有的一秩冪等算子的環(huán)同態(tài)，且根據(jù)推論3的證明，存在F上的環(huán)自同構(gòu)τ和τ-線性雙射A:H→H使得π(T)=ATA-1對所有T∈A成立。此外，根據(jù)π(T?)=π(T)?對任意T∈A成立，有

AT?A-1=(ATA-1)?=(A-1)?T?A?

對任意T∈A都成立。由此可得A-1=A?,即AA?=A?A=I.對任意實數(shù)λ和任意?-自伴算子T∈A，λT仍是?-自伴算子，因此A(λT)A?=τ(λ)ATA?是?-自伴的。因此τ(λ)必為實數(shù)，即，τ把實數(shù)映為實數(shù)。所以τ必定是恒等映射或共軛映射，即A是線性或共軛線性的。令U=A，則3)成立，證畢。

令H是復(fù)Hilbert空間且{ei}i∈Λ是H的一組

推論9令H是復(fù)Hilbert空間且dimH≥2.令A(yù)?B(H)是給定一組基下的對稱標準算子代數(shù)，如果映射Φ:A→A的值域包含所有一秩冪等算子。則下列陳述等價：

1) 對任意正整數(shù)n，Φn:Mn(A)→Mn(A)滿足條件：對任意的A,B∈Mn(A),

AB=BAT?Φn(A)Φn(B)=Φn(B)Φn(A)T.

2)Φ2:M2(A)→M2(A)滿足條件：對任意A,B∈M2(A),

AB=BAT?Φ2(A)Φ2(B)=Φ2(B)Φ2(A)T.

3) 存在復(fù)數(shù)α≠0,C上的自同構(gòu)τ和τ-線性雙射A:H→H使得Φ(T)=αATA-1對所有T∈A都成立。對于dimH=∞的情形，A是線性或共軛線性的有界可逆算子。

證明：3)?1)?2)顯然。類似推論8的證明，可得對所有T∈A都有Φ(TT)=Φ(T)T.且存在非零復(fù)數(shù)α,C上的自同構(gòu)τ和τ-線性雙射A:H→H使得Φ(T)=αATA-1對所有的T∈A都成立。對于dimH=∞的情形，A是有界可逆線性或共軛線性的。根據(jù)Φ(TT)=Φ(T)T,易知A-1=AT.所以3)成立，證畢。