改進雙樹復小波變換和高階累積量的齒輪箱信號降噪方法

陳旭陽，韓振南，王志堅

(1.太原理工大學 機械與運載工程學院，太原 030024；2.中北大學 機械工程學院，太原 030051)

由于機械設備運轉時采集到的振動信號普遍存在噪聲干擾，因此降噪和故障特征提取成為機械故障診斷的重點和難點。準確提取故障特征，對有效地降低機械設備振動信號噪聲具有非常重要的意義。

雙樹復小波變換(dual-tree complex wavelet decomposition,DTCWT)是傳統離散小波變換的改進方法，是由KINGSBURY正式提出的[1]，即用奇、偶濾波器組實現小波的分解與重構，不僅具有傳統小波的時頻局部化分析能力，而且有離散小波所不具備的抗頻率混疊性、近似平移不變性、完全重構性、有限的數據冗余和高效的計算效率等優良性質[2-3]。

基于參數估計和小波系數之間的相關性提出的閾值選取方法，普遍缺點是難以選取合適的閾值，從而影響了實際應用[4-5]。

高階統計量方法對多種噪聲都有很好的抑制作用。它不僅對未知自相關加性噪聲不敏感，抑制高斯色噪聲，而且對另一類均勻對稱分布的非高斯有色噪聲也不敏感，因此成為非平穩、非高斯信號和非最小相位系統的主要數學分析工具[6-7]。

由于小波分解層數的多少直接影響信號的去噪效果，因此采用粒子群算法自適應選擇小波的分解層數。本文提出了自適應雙樹復小波和高階累積量的信號降噪方法，利用小波系數的周期性和小波系數模震蕩小的特點以及高斯隨機過程的高階累積量為零的特性實現信號降噪處理。

1 基本理論

1.1 雙樹復小波變換

雙樹復小波變換采用二叉樹結構的兩路濾波器組進行信號的分解和重構(見圖1)，一樹生成實部，一樹生成虛部，合理設計實、虛部樹低通濾波器，滿足半采樣延遲條件，具有近似平移不變性。兩樹濾波器采樣頻率相同，但是它們之間的延遲恰好是一個采樣間隔，這樣虛部樹中第一層的二抽取恰好采到實部樹中二抽取所丟掉的采樣值。

3層雙樹復小波分解和重構過程，如圖1所示。分解時，h0、h1為實部樹低、高通濾波器，g0、g1為虛部樹低、高通濾波器。重構時，h'0、h'1為實部樹濾波器組，g'0、g'1為虛部樹濾波器組。

小波函數表示為如下形式：

ψ(t)=ψh(t)+iψg(t) .

(1)

式中：ψh(t),ψg(t)為兩個實小波；i為復數單位。

圖1中，虛線上方實部樹變換的小波系數和尺度系數可由式(2)、式(3)計算：

(2)

(3)

同理，下方虛部樹變換的小波系數和尺度系數可由式(4)和式(5)計算：

(4)

(5)

因此，可得到雙樹復小波變換的小波系數和尺度系數：

(6)

(7)

最后，雙樹復小波變換的小波系數和尺度系數可由式(8)和(9)重構：

(8)

(9)

雙樹復小波變換后的重構信號可表示為：

(10)

1.2 高階累積量

近幾年的研究結果表明，大多數機械故障信號都是非高斯、非平穩、非線性過程，僅用二階統計量很難全面描述其特性。高階累積量對高斯噪聲與對稱分布噪聲中的信號檢測、恢復和特征增強等方面與二階統計量相比有獨特之處，特別是非平穩、非線性過程的處理。二階累積量處理的信號，去噪不徹底。

由于旋轉機械周期性的工作性質，導致了在工作過程中測試的信號呈現周期性，因而采集到的信號大多數為對稱的。對于對稱分布的有用的非噪聲信號，其三階累積量也會為0.但不管是對稱分布還是非對稱分布的非高斯信號，其四階累積量都不為0[8].

一般地，k維隨機變量(x1,x2,…,xk)，其聯合概率密度函數表示為f(x1,x2,…,xk)，則第一聯合特征函數被定義為：

(11)

對應的第二聯合特征函數為：

ψ(ω1,ω2,…,ωk)=lnφ(ω1,ω2,…,ωk)=lnE{ej(ω1xx+ω2x2+…ωkxk)} .

(12)

因此，k個隨機變量(x1,x2,…,xk)的r=r1+r2+…+rk階聯合矩為對第一聯合特征函數求k次導數得：

(13)

同樣地，k個隨機變量的r階累積量為對第二聯合特征函數求k次導數得：

(14)

一組隨機變量的k階累積量可以表示為：

Ck=cum(x1,x2,…,xk) .

(15)

式中：cum()代表聯合累積量。設{x(n)}為零均值的實隨機過程，k階累積量Ckx(τ1,τ2,…τk-1)定義為：

Ckx(τ1,τ2,…,τk-1)=cum{(x(n),x(n+τ1),…,x(n+τk-1))} .

(16)

實際中，可以由M-C(矩-累積量)公式直接得到一個最簡單的關于高階累積量的關系式。

二階累積量：

C2x(τ)=E{x(n)x(n+τ)}=Rx(τ) .

(17)

三階累積量：

C3x(τ1,τ2)=E{x(n)x(n+τ1)·x(n+τ2)}=m3x(τ1,τ2) .

(18)

四階累積量：

C4x(τ1,τ2,τ3)=E{x(n)x(n+τ1)x(n+τ2)·x(n+τ3)}-Rx(τ1)Rx(τ2-τ3)-Rx(τ2)·Rx(τ3-τ1)-…-Rx(τ3)Rx(τ1-τ2) .

(19)

式中，Rx(τ)為{x(n)}的二階矩，即自相關函數。如果x為高斯隨機過程，則x的四階累積量為0.

1.3 PSO算法

不同于進化類算法的復雜遺傳因子的過程，粒子群優化算法采用速度-位移模式進行全局搜索優化。同時繼承了人工智能的記憶特性，可以根據當前最好的那個粒子位置及時調整搜索策略，是一種高效的搜索算法[9]。

粒子群算法的思想來源于鳥群覓食的群體共享機制模擬。每個粒子都是解空間中的一個解，根據自己和同伴的經驗隨時改變自己的速度和位置(即層數)從而到達目標地點。每個粒子的最優解即個體極值為pb而整個群體的最優解即全局極值為gb，每個粒子都是通過pb和gb隨時調整自己的位置和速度。改變位置和速度的公式為：

Vi(t+1)=ωVi(t)+c1rand(pbi-xi(t))+c2rand(gb-xi(t)) .

(20)

Xi(t+1)=xi(t)+Vi(t) .

(21)

具體步驟為：

1) 初始化各粒子的速度和位置。

2) 確定一個適應度函數，將降噪后的信噪比和降噪前信噪比差值的絕對值作為適應度函數。比較粒子個體與種群的適應度值，個體中信噪比值最大的粒子為個體最優值，種群中信噪比值最大的粒子為種群最優值。

3) 通過式(20)和式(21)更新粒子的速度和位置。i表示第i個粒子，t表示迭代次數，rand為[0，1]上的隨機數，c1,c2為學習因子。種群規模t取10次,視問題的復雜程度而定;ω取0.4～1;和取1.0.

4) 計算粒子和種群的適應度函數值，通過與前一步中的個體和種群最優值進行比較，更新個體和種群最優值。判斷新種群是否達到終止條件，達到則執行步驟5)，否則繼續執行步驟4).

5) 退出迭代，輸出全局最優值(即層數)。

2 改進雙樹復小波變換和高階累積量的信號去噪

2.1 理論分析

假設信號中含有未知功率密度譜的零均值高斯噪聲，信號模型可以表示為：

x(k)=f(k)+n(k) .

(22)

假設xj是尺度j上的小波系數，因為小波是線性變換，而且信號相互獨立，所以

xj=fj+nj.

(23)

式中，n是高斯噪聲，f是信號成分。利用高斯隨機過程的四階累積量為0，則：

(24)

可以得到：

(25)

含信號成分的小波系數的四階累積量大于0，而噪聲的4類累積量等于0，因此去掉了小波系數的噪聲，保留小波系數的有用信號。估計噪聲方差值[7]：

(26)

在尺度j上，噪聲的方差是：

(27)

其中，G是高、低通濾波器增益。

對各層小波系數進行處理時采用如下原則：

(28)

2.2 實施步驟

1) 利用粒子群算法，選擇雙樹復小波分解最優分解層數。

2) 對含噪信號按粒子群所尋到的最優分解層數進行雙樹復小波分解。

3) 將各層雙樹復小波系數進行反變換，分別重構出各層系數。

4) 對重構后的高頻小波系數進行式(27)的門限降噪處理。

5) 將降噪后的信號與傳統的閾值處理雙樹復小波系數降噪得到的信號進行對比，得出結論。具體流程如圖2所示。

圖2 實施流程圖Fig.2 Implementation flow chart

3 仿真及實驗結果對比和分析

3.1 仿真信號分析

構造如下齒輪局部故障仿真信號驗證本文方法的可行性和有效性，調幅-調頻信號的表達式：

x(t)=0.2[1+cos(2π×30t)]+[1+cos(2π×30t)]×cos(2π×120t)+[1+cos(2π×30t)]×cos[2π×150t+cos(2π×5t)] .

(29)

由圖3可以看出用粒子群尋優時，當分解層數為3層時所得適應度值最大。

圖3 適應度值隨分解層數的變化Fig.3 Fitness values varies with the number of decomposed layers

圖4為純凈信號的波形圖和頻譜圖。在以上純凈信號中加入隨機白噪聲，如圖5所示為含噪信號波形圖和頻譜圖。30 Hz頻率被淹沒在噪聲中，無法識別出。

采用本文方法進行降噪處理，降噪效果如下圖6所示，可以清晰地識別出各特征頻率成分，降噪效果比較理想。

圖7所示為用硬閾值方法降噪后的信號的波形及頻譜圖。從圖中可以看出30 Hz的特征頻率被淹沒在噪聲中，降噪效果不理想。

圖4 純凈信號波形圖及頻譜圖Fig.4 Pure signal waveform diagram and spectrogram

圖5 含噪信號波形圖及頻譜圖Fig.5 Noise signal waveform diagram and spectrogram

圖6 本文降噪信號波形圖及頻譜圖Fig.6 This article noise reduction signal waveform diagram and spectrogram

圖8所示為用軟閾值方法降噪后的信號的波形及頻譜圖。從圖中可以看出30 Hz的特征頻率被淹沒在噪聲中，降噪效果不理想。

通過對比從波形圖中可以明顯、清晰地看出經本文方法處理后的信號降噪效果比較理想且從頻譜圖可以識別出各特征頻率成分，和軟、硬閾值法相比更能有效地降低信號噪聲，提高信噪比。

3.2 實驗信號分析

圖7 硬閾值降噪信號波形圖及頻譜圖Fig.7 Hard threshold noise reduction signal waveform diagram and spectrogram

圖8 軟閾值降噪信號波形圖及頻譜圖Fig.8 Soft threshold noise reduction signal waveform diagram and spectrogram

實驗信號是通過齒輪疲勞強度實驗臺通過傳感器采集到的振動信號。如圖9所示，加速度傳感器安裝在齒輪箱端蓋上，電動機轉速保持在1 200 r/min左右，扭矩為800 N左右。采樣點數為1 024，采樣頻率為1 000 Hz.試驗齒輪的傳動比為1∶1，采取半齒嚙合。

圖9 齒輪疲勞強度實驗臺Fig.9 Gear fatigue strength test bench

在齒輪嚙合的實測振動信號中，由于在齒輪嚙合過程中故障信號(齒輪點蝕)被淹沒在電動機轉動和散熱大風扇轉動等強背景噪聲下，因而難以從采集到的信號中直接判斷出齒輪箱是否存在故障。采用本文的降噪方法處理含噪信號，使之能夠有效降噪，從而能更好地提取故障特征。圖10為無故障的實驗信號波形圖及其頻譜和包絡譜圖，從圖中可以看出嚙合頻率的半頻55 Hz和一倍頻110 Hz處雖然比較明顯，但有干擾頻率存在。

圖10 無故障實驗信號及其譜圖Fig.10 No trouble experimental signal and its spectrum

圖11為降噪后的無故障信號的波形圖、頻譜圖和包絡譜圖，從包絡譜圖中可以看出半頻和一倍頻非常清晰、明顯且干擾頻率成分明顯減少。

圖11 降噪后的信號及其譜圖Fig.11 Signal after noise reduction and its spectrum

圖12是經過軟閾值處理后的信號波形圖和幅值譜、包絡譜圖。從包絡譜和幅值譜圖中可以看到在100～500 Hz之間干擾頻率較多。

圖12 軟閾值降噪后的信號及其譜圖Fig.12 Signal after soft-threshold noise reduction and its spectrum

通過圖10—圖12的對比，可以清晰地看到本文方法的降噪效果要優于傳統的軟閾值降噪方法，從兩種方法的包絡譜圖中可以看出，本文方法比軟閾值法更加有效的消除噪聲信號，減少了頻率干擾。

因為無法知道降噪前信號的信噪比，因此將降噪后信號的信噪比絕對值的大小作為適應度函數。選取降噪后信號信噪比絕對值的最大值所對應的小波分解層數為最優分解層數。由圖13可以看出在第二層之后，降噪后信號的信噪比基本趨于平穩，因此本文選擇的小波最優分解層數為3層。

圖13 信噪比的大小隨分解層數的變化Fig.13 Size of the signal to noise ratio varies with the number of decomposed layers

圖14所示為加速度傳感器安裝在齒輪箱端蓋上，電動機轉速保持在1 200 r/min左右，扭矩為1 000 N左右。采樣點數為1 024，采樣頻率為1 000 Hz，采集到的是有故障的實驗信號。因轉速控制有偏差因此計算得到的嚙合頻率存在偏差。

通過傳感器和信號采集儀采集到的實驗信號波形圖以及包絡譜圖如圖14所示。由于故障信號比較微弱，而且淹沒在強背景噪聲下，從幅值譜圖和包絡譜圖中看出有邊頻成分和很嚴重的頻率干擾20 Hz以及其他干擾頻率成分。從信號的包絡譜圖中不能準確地反映出故障特征頻率。

圖14 故障信號波形及其頻譜圖Fig.14 Fault signal waveform and its spectrum

為了能更好地降低噪聲干擾，診斷出故障信號，故使用本文方法進行降噪，降噪后的信號波形圖和包絡譜圖如圖15所示。從圖中可以很清晰地看出半頻50.55 Hz處和嚙合頻率107.4 Hz與正常齒輪(圖12)對比發現，在半頻和嚙合頻率周圍，邊頻成分明顯，由此可看出存在故障特征。與圖14對比看出，波形清晰，干擾信號幅值有很大程度降低，干擾頻率成分被消除，去噪效果明顯；且與無故障圖11相比邊頻成分明顯，幅值不均一。

圖15 故障信號降噪后的波形及其頻譜圖Fig.15 Waveform of the fault signal after noise reduction and its spectrum

4 結論

1) 將四階累積量方法引入雙樹復小波變換降噪中，根據信號和噪聲的統計特性進行信噪分離。取得了很好的降噪效果。

2) 因為雙樹復小波分解不同分解層數會影響降噪效果，分解層數少則降噪效果不理想，而分解層數太大則容易丟失有用信號。即使分解層數大，降噪效果很好，但丟失有用信號后，信噪比反而會降低。利用信噪比作為適應度函數，通過粒子群優化選擇信噪比最大的分解層數。

3) 仿真信號降噪結果表明，和雙樹復小波變換的傳統軟、硬閾值法相比，該方法在不同信號和噪聲水平下均能表現出良好的自適應性和降噪效果。

4) 實驗信號處理結果表明，該方法能夠有效抑制齒輪箱振動信號中的強背景噪聲，信號處理中能更好地減少干擾頻率，有效提取故障頻率。