立體幾何中探索性問題的求解策略

劉衛東

在立體幾何試題中，探索性問題是一種具有開放性和發散性的問題，是高中數學最難掌握的一類問題，它既能突出以能力立意為核心的命題原則，又能開發學生的思維和解決問題的能力.一般情況下探索性問題主要是針對平行、垂直關系以及二面角的探索，對條件和結論不完備的開放性問題的探究，解決這類問題一般是根據探索性問題的設問，假設其存在并探索出結論，然后在這個假設下進行推理論證，若得到合乎情理的結論就肯定假設，若得到矛盾就否定結論，立體幾何中的探索性問題主要包括以下三類：條件追溯型、存在判斷型、結論探索型，本文通過探索性問題一題多解的方法來闡述解題策略，使學生的解題能力有所提升.探索性問題的求解步驟為：

第一步，寫出探索的最后結論；

第二步，證明探求結論的正確性；

第三步，給出明確的答案；

第四步，反思回顧，查看關鍵點、易錯點和答題的規范性、完備性.

當然也可以按類似分析法的格式書寫步驟：從結論出發“要使……成立”“只需使……成立”.下面我們來看具體的例題.例 如圖1，在三棱柱ABC-A₁B₁c₁中，AA₁⊥平面ABC，E在線段B₁C₁上，B₁E=2EC₁，BC=1，AC=CC₁=2，AB₁=3.

（l）求證：BC⊥AC；

（2）探究：在AC上是否存在點F，滿足EF∥平面A₁ABB₁？若存在，請指出點F的位置，并給出證明；若不存在，請說明理由.

由AA₁⊥平面ABC?BC⊥AA₁，進而證明BC⊥平面AA₁C₁C得到結果.

（2）信息提取：B₁E=2EC₁，

F在線段AC上，滿足EF∥平面A₁ABB₁.

破題思路：技巧一 假設存在，利用空間向量進行計算得到點的坐標，達到題目所要求的結果，但要注意直線平行于平面必須是直線的方向向量與平面的法向量垂直.（空間向量解決問題的優點是利用向量計算得到所要的結果，但是它的缺點是要求準確地找到坐標以及準確的運算，否則就會前功盡棄）

技巧二 假設存在，由E是B₁C₁靠近C₁的三等分點，猜想F可能是AC且靠近C的三等分點，通過假設確定F的位置，即取AF=2FC，再證明EF∥AM.（給中點找中點，給等分點找等分點，利用等分點之間比例得到直線與直線平行）

技巧三 假設存在，通過假設確定F的位置，即AF =2FC，BN=2NC，再證明平面EFN∥平面AA₁B₁B.（要得到直線與平面平行，可以通過平面與平面平行得到）

所以點F在靠近C的三等分點處.

策略二：線平行于面，可以通過線平行于線得到，線平行于線最常見的方法是三角形的中位線平行、平行四邊形的對邊平行.（其中解題技巧要牢記：給中點找中點，即三角形的中位線；給等分點找等分點，利用等分點之間線段成比例，得到線線平行）

審題視角 在A₁B₁上取點M使B₁M=2A₁M，由B₁E=2C₁E得EM∥A₁c₁且EM=2/3A₁C₁（或直接作EM∥A₁C₁交A₁B₁于M），連結AM，推導出四邊形EFAM是平行四邊形，從而EF∥AM，由此能證明EF∥平面A₁B₁BA.

解答過程 當AF=2FC時，EF∥平面A₁ABB₁.

理由如下：在平面A₁B₁C₁內，過E作EM∥A₁C₁交A₁B₁于點M.

因為B₁E=2EC₁，EM∥A₁C₁，

所以ME=2/3A₁C₁

因為AC =A₁C₁，AC∥A₁C₁，

所以ME=2/3AC， ME∥AC.

又因為AF =2/3AC，

所以ME=AF，ME∥AF.

所以四邊形AFEM為平行四邊形.

所以EF∥AM.

因為AM?平面AA₁B₁B，EF?平面AA₁B₁B，

所以EF∥平面AA₁B₁B.

策略三：線平行于面，可以通過面面平行得到，利用兩平面平行，其中一個平面內的線平行于另一個平面即可證得.

審題視角 過E作EN∥BB₁交BC于N，連結FN，可得EN∥平面A₁ABB₁，再證FN∥平面A₁ABB₁，得到平面EFN∥平面A₁ABB₁，則有EF∥平面AA₁B₁B.

解答過程 當AF=2FC時，EF∥平面A₁ABB₁.

理由如下：在平面BB₁C₁C內，過E作EN∥BB₁交BC于N，連結FN.

由EN∥BB₁，BB₁?平面AA₁B₁B，EN?平面AA₁B₁B，

則有EN∥平面AA₁B₁B.

因為EN∥BB₁，B₁E =2EC₁，

所以BN=2CN.

又因為AF=2FC

所以FN∥AB.

因為AB?平面AA₁B₁B，FN?平面AA₁B₁B，

所以FN∥平面AA₁B₁B.

又因為FN∩EN =N，

所以平面EFN∥平面AA₁B₁B.

因為EF?平面EFN，

所以EF∥平面AA₁B₁B.

解題反思

本題求解時常出現的四種錯誤：

一是對探索性問題的求解思路不明；二是在證明平行關系時，線面關系表示不清；三是線面平行中會丟掉線在面內、線在面外的表達語句；四是利用空間向量解決問題時，求直線方向向量和平面法向量的運算一定要準確無誤，否則可能會導致結論錯誤，

立體幾何中的探索性問題是一種具有開放性和發散性的問題，有利于培養同學們探索、分析、歸納、判斷、證明與實踐等方面的能力，使大家經歷一個發現問題、研究問題、解決問題的全過程，其類型多樣，解法靈活多變，本文通過立體幾何中的探索性問題的解題策略，談了一些自己的看法，希望對同學們有所幫助.