由一道課本題巧解一道高考題和三道大學自主招生題

甘志國

全日制普通高級中學教科書（必修）《數學·第一冊（下）》（2006年人民教育出版社）第46頁的第15，17題分別是：

（l）已知α+β+γ=nπ（”∈Z），求證：tanα +tanβ +tanγ）=tan α tanβtanγ.（提示：在等式α+β=nπ-γ），兩邊同時取正切.）

（2）求證：tan（x-y）+tan（y-z） +tan（z-x）=tan（x-y）tan（y-z） tan（z-x）.

在題（1）中可令α=x-y，β=y-z，γ=z -x，n=O，便得題（2）成立.由此可見，題（1）是一個有用的結論.不過，在使用題（1）這個結論時，要注意tanα，tanβ，tanγ），均要有意義.

由題（1）還可得下面的結論：

定理 在不是直角三角形的△ABC中，有tan A+tan B+tan C=tan Atan B tan C.

該定理也即普通高中課程標準實驗教科書《數學4.必修.B版》（人民教育出版社）第154頁“鞏固與提高”的第7題.

所有的考題都是源于教材的，自主招生試題也不例外.但好的考題會對教材知識重新整合、綜合、拓展、加工，形成“源于課本，高于課本”的創新程度高的考題，

這四道題都源于課本上的一道典型基礎題f該題結論的一個伴隨結論用途也很廣：在△ABC中，∑tanA/2tanB/2=1，但它們在難度、知識考查上還有差異：

題1題干簡潔但解法靈活、技巧性強.解題的策略有二：一是用換元法變多元函數為一元函數，再求最值；二是用均值不等式求多元函數最值.

題2常規基礎，但要使用小學生經常使用的“在比例分配中設一份是K”的小技巧，若忽視了這一點，難以順利解答本題，

題3難度大，題中使用了競賽知識高斯函數符號且不作說明（體現了部分自主招生試題的競賽性質），解題的切人點就是使用兩邊夾法則化不等式為等式，再由不等式取等號的條件得出三個等式，增加了已知條件；而后是解不定方程，要使用大部分考生都感到陌生的知識放縮技巧、減元思想、整數性質（因數、倍數）來求解.

題4不難但高于高考，要求考生能熟練使用和差化積、積化和差公式（而這八個公式記不住的考生很多，原因是高考不用）.而高考中不會用到它們嗎？按高考要求，不用它們也能解答相應的高考題，這八個公式均是課本上的例題或習題，整體記憶是容易的，很多考題，用它們兩三步即可簡潔求解，不用它們須七八步才能求解，這說明我們的學習要扎實、鞏固，對待自主招生更是如此.本題還有陷阱：角的取值范圍容易弄錯，導致答案不全或漏掉.