一類廣義非線性似變分不等式的輔助問題研究

高海燕

(1. 大連財經學院 基礎教育學院，遼寧 大連 116622;2. 東北財經大學 數學與數量經濟學院，遼寧 大連 116025)

0 引言

變分不等式理論是應用數學學科中一個非常重要的研究領域．它被廣泛的應用于海洋學、彈性力學、控制論、非線性最優化、經濟平衡理論、物理和工程科學等多種學科．變分不等式理論中最重要的問題之一是構造有效的迭代算法找出變分不等式的逼近解．文獻[3-16]中介紹了多種逼近解的迭代算法．Glowinski, Lions和Tremolieres[8]引入了輔助原理技術，此后，Ding[3,4]，Ding和Tan[5]，Ding和Yao[6]，Gao等[7]， Liu等[9-12]，Zhang等[14]，Zeng 等[15]，Zeng等[16]，高[17]，以及很多學者都研究了不同的求解廣義非線性變分不等式的逼近解的迭代算法．

受上述工作[3-16]的啟發，本文研究了一類廣義非線性似變分不等式，證明了此類廣義非線性似變分不等式解的存在性，并利用Chang[1,2]的結論和輔助原理技術構造了一種新的逼近解的迭代算法，同時證明了這種算法的收斂性．文中的結果推廣和改進了Ding[3]，Gao等[7]，Liu等[9]，Liu等[11]，Yao[13]，高[17]以及其他學者的相關結論．

1 預備知識

設H為實Hilbert空間，H*為其對偶空間，表示元素u∈H與v∈H之間的偶對．設K為H的非空閉凸子集．假設a:K×K→(-∞,+∞)為強制連續雙線性型，即存在系數c,d>0滿足：

(i)a(u,v)≥c‖v‖2,?v∈K;

(ii)|a(u,v)|≤d‖u‖‖v‖,?u.v∈K.

由(ⅰ)和(ⅱ)可以推知c≤d.

設b:K×K→(-∞,+∞)是不可微的并且滿足以下條件：

(ⅲ)b(·,·)在第一變元是線性的;

(ⅳ)b(·,·)在第二變元是凸的;

(V)b(·,·)是有界的, 即存在系數l>0使得|b(u,v)|≤l‖u‖‖v‖,?u.v∈K.

(ⅵ)b(u,v)→b(u,w)≤b(u,v-w),

?u.v∈K.

考慮如下廣義非線性似變分不等式(以下簡稱GNVLI):

對于給定的g∈H，求u∈K滿足

〈N(Au,Bu,Cu)-g,η(v,u)〉+a(u,v-u)-b(u,u)+b(u,v)≥0,?v∈K,

(1)

特殊情況

如果N(Au，Bu,Cu)=Au-Bu,g=0,

b(u,v)=f(v),?u,v∈K,

其中f:H→(-∞,+∞)是一個函數, 那么GNVLI等價于求u∈K滿足

〈Au-Bu,η(v,u)〉≥f(u)-f(v),?v∈K.

(2)

詳見 Ding[3]．

定義1 設映射A，B：K→H,N:H×H×H→H,η：K×K→H*.

(1) 稱A為r-Lipschitz連續, 如果存在常數r>0滿足

‖Au-Av‖≤r‖u-v‖,?u,v∈K.

(3)

(2) 稱N關于第一元A為s-η-強單調，如果存在常數s>0滿足

〈N(Ax,u,v)-N(Ay,u,v),η(x,y)〉≥s‖x-y‖2,?x,y∈K,?u,v∈H.

(4)

(3) 稱N關于第二元A為η-強單調，如果滿足

〈N(u,Ax,v)-N(u,Ay,v),η(x,y)〉≥0,?x,y∈K,?u,v∈H.

(5)

(4) 稱N關于第三元A為t-Lipschitz連續，如果存在常數t>0滿足

‖N(u,v,x)-N(u,v,y)‖≤t‖x-y‖,?x,y,u,v∈H.

(6)

(5) 稱N關于第一元A和第二元B為η-半連續，如果滿足對任意給定的x,y,z∈K映射g:[0,1]→(-∞,+∞)在0+連續，其中

g(t)=〈N(A(tx+(1-t)y),B(tx+(1-t)y,z),η(x,y)〉

(6) 稱η為s-Lipschitz連續，如果存在常數s>0滿足

‖η(u,v)‖≤s‖u-v‖,?u,v∈K.

(7)

(7) 稱η為t-強單調，如果存在常數t>0滿足

≥t‖u-v‖2,?u,v∈K.

(8)

引理1[1,2]設X是Hausdorff線性拓撲空間E的一個非空閉凸子集，如果兩個映射φ,ψ:X×X→(-∞,+∞)滿足如下條件：

(Ⅰ)ψ(x,y)≤φ(x,y),?x,y∈X,并且ψ(x,x)≥0,?x∈X；

(Ⅱ) 對每個x∈X,ψ(x,·)在X上是上半連續的；

(Ⅲ) 對每個y∈X,集合{x∈X:ψ(x,y)<0}是凸的；

(Ⅳ) 存在一個非空緊集K?X和元素x0∈K使得ψ(x0,y)<0,?y∈XK,

2 主要內容

首先考慮 GNVLI (1)的輔助問題．

(9)

其中ρ>0是個常數．

定理1 設K是H的非空閉凸子集，并且g∈H．設a:K×K→(-∞,+∞)滿足(ⅰ)，(ⅱ)，b:K×K→(-∞,+∞)滿足(ⅲ)- (ⅵ) ，映射A,B,C:K→H，及N:H×H×H→H滿足N關于第一元A和第二元B為η-半連續．設η:K×K→H*為δ-Lipschitz連續和τ-強單調的，對每個y∈K，η(·,K)連續且滿足η(y,x)=-η(x,y),?x,y∈K．假設N關于第一元A為α-η-強單調, 關于第二元B為η-強單調．如果對于給定的x,y,z∈H及v∈K，映射〈N(x,y,z),η(v,·)〉是凹的和上半連續的，則輔助問題(9)在K中有唯一解．

證明設u∈K．定義函數φ,Ψ：K×K→R如下：

φ(v,w)=〈v,η(v,w)〉-〈u,η(v,w)〉+ρ〈N(Av,Bv,Cu)-g,η(v,w)〉+ρa(v,v-w)-ρb(u,w)+ρb(u,v),?v,w∈K

(10)

ψ(v,w)=〈w,η(v,w)〉-〈u,η(v,w)〉+ρ〈N(Aw,Bw,Cu)-g,η(v,w)〉+ρa(w,v-w)-ρb(u,w)+ρb(u,v),?v,w∈K

(11)

先證明映射φ,ψ滿足引理 1的條件．易證對任意的v,w∈K，有

φ(v,w)-ψ(v,w)=〈v-w,η(v,w)〉+ρ〈N(Av,Bv,Cu)-N(Aw,Bw,Cu),η(v,w)〉+ρ〈N(Aw,Bv,Cu)-N(Aw,Bw,Cu),η(v,w)〉+ρa(v-w,v-w)≥[τ+ρ(α+c)]‖v-w‖2≥0

(12)

(13)

(14)

顯然，M是K的弱緊子集，對任意的w∈KM，

(15)

(16)

(17)

注意到b在第二變元是凸的，〈N(x,y,z),η(v,·)〉是凹的和上半連續的．由(ⅵ)和(17)推知

(18)

因此

(19)

在以上不等式中令t→0+，可得

(20)

以下證明唯一性．設w1,w2∈K是(9)的兩個解，則對任意的?v∈K有

〈w1,η(v,w1)〉≥〈u,η(v,w1)〉-ρ〈N(Aw1,Bw1,Cu)-g,η(v,w1)〉-ρa(w1,v-w1)-ρb(u,v)+ρb(u,w1),

(21)

〈w2,η(v,w2)〉≥〈u,η(v,w2)〉-ρ〈N(Aw2,Bw2,Cu)-g,η(v,w2)〉-ρa(w2,v-w2)-ρb(u,v)+ρb(u,w2),(22)

分別取(21)中v=w2，(22)中v=w1，并將兩個不等式相加可得

τ‖w1-w2‖2≤-ρ〈N(Aw1,Bw1,Cu)-N(Aw2,Bw1,Cu),η(w1,w2)〉-ρ〈N(Aw2,Bw1,Cu)-N(Aw2,Bw2,Cu),η(w1,w2)〉-ρα(w1-w2,w1-w2)≤-ρ(α+c)‖w1-w2‖2,

(23)

根據定理1, 構造以下逼近 GNVLI 的解的迭代算法．

迭代算法假設a:K×K→(-∞,+∞)滿足(ⅰ)，(ⅱ)，b:K×K→(-∞,+∞)滿足(ⅲ)- (ⅵ)，A,B,C:K→H,N:H×H×H→H，η:K×K→H*為映射．對給定的u0∈K，按如下算法計算序列{un}n≥0?K：

〈un+1,η(v,un+1)〉≥〈un,η(v,un+1)〉-ρ〈N(Aun+1,Bun+1,Cun)-g,η(v,un+1)〉-ρa(un+1,v-un+1)-ρb(un,un+1)+〈en,η(v,un+1)〉,?v∈K,n≥0,

(24)

其中{en}n≥0?H，且ρ>0是常數．

其次, 考慮GNVLI解的存在唯一性, 以及由迭代算法產生的迭代序列的收斂性．

定理2 設a,b,A,B,N,η與定理1中相同，設C:K→H為ξ-Lipschitz連續，N關于第三元為σ-Lipschitz連續及關于第三元C為β-η-強單調，并且滿足

(25)

如果存在一個常數ρ滿足

(26)

和下列條件之一：

(27)

(28)

則GNVLI存在解u∈K，并且由迭代算法定義的迭代序列{un}n≥0強收斂到u．

證明根據定理 3.1的證明可知存在映射G:K→K滿足G(u)=w,?u∈K其中w是(9)的唯一解．下面證明G是一個壓縮映射．設x1,x2,y是K中的任意元. 由(9)可得

〈Gx1,η(y,Gx1)〉≥〈x1,η(y,Gx1)〉-ρ〈N(A(Gx1),B(Gx1),Cx1)-g,η(y,Gx1)〉-ρa(Gx1,y-Gx1)-ρb(x1,y)+ρb(x1,Gx1),

(29)

〈Gx2,η(y,Gx2)〉≥〈x2,η(y,Gx2)〉-ρ〈N(A(Gx2),B(Gx2),Cx2)-g,η(y,Gx2)〉-ρa(Gx2,y-Gx2)-ρb(x2,y)+ρb(x2,Gx2),

(30)

分別取(29)中y=Gx2，(30)中y=Gx1，并將兩個不等式相加可得

(31)

亦即

‖Gx1-Gx2‖≤θ‖x1-x2‖

(32)

其中

(33)

結合(26)和(27) (28)之一，得θ<1．故此，G:K→K是一個壓縮映射且有唯一的不動點u∈K．根據(9)知

〈u,η(v,u)〉≥〈u,η(v,u)〉-ρ〈N(Au,Bu,Cu)-g,η(v,u)〉-ρa(u,v-u)-ρb(u,v)+ρb(u,u),?v∈K.

(34)

即有

〈N(Au,Bu,Cu)-g,η(v,u)〉+a(u,v-u)-b(u,u)+b(u,v)≥0,?v∈K,

(35)

由此證明了u是GNVLI的解．

下面證明由上述迭代算法產生的迭代序列的收斂性．分別取(34)中v=un+1，(24)中v=u，并將兩個不等式相加可得

(36)

因此，

‖un+1-u‖≤θ‖un-u‖+‖en‖→0,n→∞

(37)

其中θ與(33)中相同．結合(25)和(37)可以推知，由上述迭代算法產生的迭代序列{un}n≥0強收斂到u．證畢．

注記 定理1和定理2推廣和改進了文獻[3,7,9,11,13]，和文獻[17]中的相關結果．