基于外來物種的生物系統(tǒng)滑模控制器設計

張巧玲, 陸海霞, 張 翼

(1.宿遷學院 文理學院, 江蘇 宿遷 223800； 2.沈陽工業(yè)大學 理學院, 遼寧 沈陽 110870)

0 引 言

數(shù)學與我們的生活密切相關。隨著社會經(jīng)濟的不斷發(fā)展,人們不斷探索數(shù)學對生態(tài)學的研究[1-2],從而對生物種群的數(shù)學研究越來越細化[3-4]。文中是關于美國白蛾的研究，美國白蛾[Hyphantria cunea(Drury)]是危害園林植物的一種重要檢疫害蟲,作為外來物種入侵我國,造成了經(jīng)濟與環(huán)境的雙重損失[5]。滑模變結構控制是50年代末由前蘇聯(lián)學者S.V.Emelyanov 等最先提出,后經(jīng)進一步研究而發(fā)展起來的一類非線性控制系統(tǒng)綜合方法[6-7]。最早起源于對繼電器和 Bang-Bang 控制的研究。由于系統(tǒng)在滑動平面上的滑模運動對系統(tǒng)的參數(shù)攝動、外界參數(shù)的變化、系統(tǒng)不確定模態(tài)和模型不確定具有不變性,也就是完全魯棒性,滑模變結構控制引起人們的極大興趣[8]。

文中主要做了以下工作,首先,研究對象為入侵物種美國白蛾在某自治生態(tài)系統(tǒng)的引入或逸出密度,以及本地物種經(jīng)歷入侵過程中的引入或逸出密度。實際上,考慮物種引入或逸出密度是考察物種是否在該生態(tài)系統(tǒng)中占據(jù)穩(wěn)定的生態(tài)位,形成完整的生物鏈的重要依據(jù)。其次,將滑模變結構控制方法引入生物數(shù)學。最后,通過對控制器仿真效果的比較,揭示相應的生物學意義和實際應用價值。

1 系統(tǒng)描述

考慮如下具有外來物種入侵的系統(tǒng)模型：

(1)

u(t)----系統(tǒng)控制輸入；

A,B,C,D----相容維數(shù)的參數(shù)矩陣。

設計切換函數(shù)為：

S(x)=Θx

(2)

式中：Θ----相容維數(shù)的待定矩陣,且滿足Θ[B(-C)-1D]>0。

定義Lyapunov函數(shù)為:

2 滑模控制器的設計

2.1 常值切換控制

定理1對于系統(tǒng)(1),設計切換函數(shù)(2),設計控制律為：

u=-Ksgn(S)

(3)

其中,K>|[ΘB(-C)-1D]-1ΘAx|,sgn為符號函數(shù),|·|為絕對值函數(shù),則系統(tǒng)(1)漸近穩(wěn)定。

SΘAx+SΘ[B(-C)-1D]u=

SΘAx-SΘ[B(-C)-1D]Ksgn(S)=

SΘAx-Θ[B(-C)-1D]K|S|<

SΘAx-|SΘAx|<0

2.2 加權積分型增益的滑模控制器

定理2 對于系統(tǒng)(1),設計切換函數(shù)(2),設計控制律為：

u=ueq+ud

(4)

其中

ueq=-[ΘB(-C)-1D]-1ΘAx

ud=-Kw|ρ|sgn(S),Kw>0

則系統(tǒng)(1)漸近穩(wěn)定。

SΘ{Ax+[B(-C)-1D][-[ΘB(-C)-1D]-1ΘAx-Kw|ρ|sgn(S)]}=

SΘAx+SΘ[B(-C)-1D](-Kw|ρ|sgn(S))-SΘAx=

-KwSΘB(-C)-1D|ρ|sgn(S)=-KwΘB(-C)-1D|ρ||S|<0

式(3)為常規(guī)的滑模控制器,為了保證系統(tǒng)的魯棒性,控制器的增益必須足夠大,這就不可避免地產(chǎn)生抖振。當不在滑動模態(tài)階段時,S(t)值較大,S(t)的積分值也較大,造成切換項的增益也較大,抖振嚴重。為此,式(4)給出了一種具有積分形式增益的滑模控制器,又進一步在積分項中引入負的權值Kf,有效避免了當系統(tǒng)不在滑動模態(tài)階段時切換項增益的增大。

3 仿 真

根據(jù)對美國白蛾生物屬性的調(diào)研,取適當參數(shù)如下:

n=2

m=2

則x=(x1,x2)T,分別代表綠葉類白蛾喜食的植物在某生態(tài)系統(tǒng)的引入或逸出密度和以蛹蛾為食的鳥類在生態(tài)系統(tǒng)的引入或逸出密度。y=(y1,y2)T,分別代表幼蟲時期與成蟲時期的美國白蛾在生態(tài)系統(tǒng)的引入或逸出密度。

(a) 控制輸入(3)的狀態(tài)

(b) 控制輸入(3)下的x1,x2的狀態(tài)

(c) 控制輸入(3)下的y1,y2的狀態(tài)

(a) 控制輸入(4)的狀態(tài)

(b) 控制輸入(4)下的x1,x2的狀態(tài)

(c) 控制輸入(4)下的y1,y2的狀態(tài)

不同控制器確保滑動運動達到切換面的控制輸入信號有所不同,可以明顯地看出控制器(4)的輸入信號最先趨于穩(wěn)定。圖1和圖2說明,控制器均能夠使本生態(tài)系統(tǒng)的綠葉植物及食蛾鳥類的引入逸出密度變化調(diào)節(jié),具體地說,各種控制手段使得白蛾幼蟲的逸出率大幅度增加,成蟲的引入率有所下降,最終引入或逸出密度趨向于零。可以觀察到對抖震的處理效果,控制器(4)較為靈敏。

4 結 語

基于滑模控制理論研究了外來物種入侵下的物種密度波動變化問題。得到以下結論：對于一般的控制器如常值切換控制,由于外界擾動和系統(tǒng)參數(shù)變化等因素的影響,會使系統(tǒng)運動偏離滑模面。設計加權積分型增益的滑模控制器，該控制器包含切換函數(shù)S的積分的絕對值，并在積分項中使用了積分項的加權值。這樣有效地避免了當系統(tǒng)不在滑動模態(tài)階段時切換增益的增大。從應用角度出發(fā)，美國白蛾的控制也是各種手段加權的結果，生物防治如周氏嚙小蜂寄生防治；化學防治如高射程噴霧機防治、飛機施藥防治、噴霧防治、打孔注藥防治、樹干涂毒環(huán)防治；物理防治如人工捕蛾防治、燈光、性誘殺防治、摘除卵塊防治、剪除網(wǎng)幕防治、圍草誘蛹防治、人工挖蛹防治等。