淺談大學數學教師如何有效使用教材

嚴冬梅

摘 要： 課程改革指出新課程要立足于學生適應現代生活和未來發展的需要，適應21世紀科學技術和社會可持續發展的需要，培養適合時代要求的高素質的人才。為了更好地促進新課程改革和提高教師業務水平，本文從領悟教材編寫意圖，把握章節內容結構；注重教學情境的創設，培養學生的思維能力；開發、挖掘例題、習題資源，對學生進行數學思想和方法的滲透等幾方面來闡述高等數學教師應如何有效地使用教材。

關鍵詞： 高等數學；有效使用；教材

數學是研究現實世界數量關系和空間形式的學科。隨著現代科學技術和數學科學的發展，“數量關系”和“空間形式”有了越來越豐富的內涵和更加廣泛的外延。數學不僅是一種工具，而且是一種思維模式； 不僅是一種知識，而且是一種素養； 不僅是一門科學，而且是一種文化。數學教育在培養高素質科技人才中具有其獨特的、不可替代的作用。對于高等學校的本科生而言，高等數學課程是一門非常重要的基礎課，它內容豐富，理論嚴謹，應用廣泛，影響深遠。不僅為學習后繼課程和進一步擴大數學知識面奠定必要的基礎，而且在培養學生抽象思維、邏輯推理能力，綜合利用所學知識分析問題解決問題的能力，較強的自主學習的能力，創新意識和創新能力上都具有非常重要的作用。因此教師深刻理解教材，如何有效使用教材，用活教材是教學工作中一項重要的內容。

同濟大學《高等數學》上冊共有七章，包括極限，導數，積分，微分方程四大塊內容。每一章中不僅有定義、性質和定理的學習，又有鞏固知識、形成能力的例題和習題，更有培養學生空間想象能力，邏輯推理能力和抽象概括能力的大量資源。對這些內容的學習，本人認為應該做到以下幾點。

一、領悟教材編寫意圖，把握章節內容結構

案例1：為什么把極限放在第一章？

首先極限的產生和發展歷史悠久，正是有了極限的概念，數學才從有限升華到無限。戰國時代哲學家莊周所著的《莊子-天下篇》有一句話：一尺之棰，日取其半，萬世不竭。其含義是：一尺長的木棍，每天截取它的一半，千秋萬代也截不完，也就是說這個過程可以無限地進行下去。隨后，三國時期的數學家劉徽利用圓內接正多邊形來推算圓面積。設有一圓，作圓的內接6×2n-1正邊形，其面積記為An，當n越大，An作為圓面積的近似值也越精確。當邊數無限增加的時候，An也無限地接近于某一確定的數值，這個確定的數值就是一個極限值。

極限給“無窮逼近”的思想一個嚴格的數學定義，沒有這個基礎，以后的微分、積分可以說是不可信的，不牢靠的。在牛頓和萊布尼茲發明微積分時就受到過各種責難，其中影響最大的就是對“無窮小”的定義。由于當時還沒有對極限的準確定義，所以人們對這門學科實際上是持懷疑態度的，也就是認為雖然微積分可以當作一個工具使用來解決某些問題，但它未必就是正確的。直到極限的準確定義出現后，微積分才成為真正意義上的科學。

其次極限是高等數學中非常重要的一章，是整個學科的理論基礎。此概念貫穿整個高等數學始末，導數、定積分、偏導數、多元函數積分、級數等概念都是用極限來定義的。以定積分的定義為例，設函數f（x）在區間[a，b]上連續，將區間[a，b]分成n個子區間 ，其中 。可知各區間長度依次是：

，在每個子區間[xi-1，xi]中取一點 ，作和式 。該和式叫做積分和，設 （即λ是最大的區間長度），如果當λ→0時，積分和的極限存在，則這個極限叫函數f（x）在區間[a，b]的定積分，記為 ，并稱函數f（x）在區間[a，b]上可積。[1]從此定義中可以看出定積分與極限之間的關系是很緊密的，可以用定積分來解決很多極限問題。

只有理解了教材的編寫意圖，把握了章節內容結構，才能更進一步利用教材，才能更好地把知識傳授給學生。

二、注重教學情境的創設，培養學生的思維能力

在課堂教學中我們要善于創設教學環境，將學生的注意力引導到最佳的思維狀態。比如通過設疑讓學生經過思考、分析、比較來加深對知識的理解；通過加強思維訓練，讓學生掌握科學的思維方法。

案例2：第五章第一節定積分概念的引入

定積分的概念是學生進入“積分”世界必須跨過的第一道門檻，它上乘極限的運算、導數、不定積分，下接定積分的性質、計算，以及定積分在幾何、物理、經濟等其它學科中的應用。

首先給出引例1、求曲邊梯形的面積。告知學生曲邊梯形的定義后，拋出問題：如何求曲邊梯形的面積？引導學生把要解決的問題轉化為已學過的問題，要計算的是曲邊梯形的面積，而學過的是規則幾何圖形的面積。設置問題：怎樣把曲邊梯形轉化為規則圖形呢？得出思路：曲邊梯形分割成若干小曲邊梯形，再把每個小曲邊梯形看成小矩形。再次拋出問題：小矩形面積加起來和曲邊梯形面積相等嗎？最后得出求面積的四個步驟：分割，近似，求和，取極限，即 。

接著給出引例2、求變速直線運動的路程。

設置問題：和引例1的解題思路一樣嗎？得出求變速直線運動的路程步驟：分割，近似，求和，取極限。先讓學生獨立思考，再分小組討論、交流，總結出類似的問題都可以通過這種方法來解決，得出 。

最后把問題遷移，設置問題：能不能將在區間[a，b]上連續函數f（x）的問題歸結為這種類型的和式的極限？從而引出定積分的定義： 。

在提問題時要抓住教材的重點、難點和關鍵，問題的內容應潛伏著教材內容的內在聯系和符合知識積累的邏輯順序，一環扣一環，由淺入深，由簡單到復雜，叩開學生思維的大門，使學生感到新穎，造成連續的思索，形成持久的內驅力，引起學生思想上的共鳴，活躍課堂氣氛，有效地調動每個學生的思維積極性，這樣可收到預想不到的效果。

在課堂教學過程中，教師還需要把發散性思維和收斂性思維辨正地統一起來。運用發散性思維，從一個目標出發，啟發引導學生在已有知識的基礎上，利用全部信息，進行放射性，多方位發散，多方位論證，多因素分析。例如，高數計算題的一題多解，就有利于培養學生的發散思維，爆發出創造思維的火花。但發散性若沒有收斂性思維作補充，容易發散無邊，變成幻想空想瞎想。因此，當學生的思維發散到一定程度，就要適當收斂。例如，學生對同一題進行多種計算后，教師要啟發、引導學生對這些計算方法進行比較和可行性檢驗，從而尋求較好的計算方法，從而優化學生的思維品質。

三、開發、挖掘例題、習題資源，對學生進行數學思想和方法的滲透

同濟版教材中的例題和習題都是經過專家反復甄選而配置的，把例題和習題仔細分析講解給學生聽，可以讓學生立即體會到剛剛學習的知識點在實際中的應用價值，從而激發或強化學生學習該知識點的熱情與興趣；可以幫助學生及時鞏固和記憶該知識點的內容；可以讓學生見識該知識點在實際題目中的應用類型，以及該知識點和其它知識點的聯系方式，從而幫助學生拓展眼界，并為以后解決該類型問題提供示范和模板。同時，在講解題目時，滲透著分析問題的基本方法和思路，以及解答和表述問題的規范格式。

案例3：教材P271第4題，求極限

看上去這是一道求極限的題，有些學生可能會想到一些求極限的方法，比如：等價無窮小替換，兩個重要極限，洛必達法則，夾逼原理，單調有界原理……實質上這是一道利用定積分的定義來求n項和數列極限的題，就是用連續來研究間斷的一種典型方法。

隨著數學的發展，對函數連續與間斷的認識也在深化，在一定條件下，實現了連續與間斷的相互轉化。

案例4： 教材P217例6

數學中的轉化比比皆是，如：未知向已知的轉化，命題之間的轉化，數與形的轉化，空間向平面的轉化，多元向一元的轉化，高次向低次的轉化等，都是轉化思想的體現。

設 ，于是

最后再把u換回x，得

這是一個典型的應用換元進行轉化的題目，為了去掉根號，把整個根號令為u。

我們教師要有從教材中跳出來并反過來駕馭教材的能力，還要有全面了解學生學習過程的能力。對于如何使用教材，不少教育工作者都在探討，如[2]，[3]，[4]等文獻，總之，如何更有效的用好教材，用活教材是我們一直要探討的問題。

參考文獻

[1]同濟大學數學系.高等數學[M].北京：高等教育出版社，2014.226-227.

[2]王自華. 大學文科“高等數學”教學改革初探——兼論文科高等數學教材建設[J]. 高等理科教育， 2003（2）：72-76.

[3]董薇薇， 李億江. 教師創造性使用教材存在的問題及分析[J]. 中國數學教育， 2011（5）：6-9.

[4]王興國. 高等數學教學中如何合理使用教材—從“微積分基本公式”一節的教材使用談起[J]. 貴陽學院學報（自然科學版）， 2009， 4（2）：78-80.