基于地震動參數的房屋震害矩陣曲線化分析方法*

陳 波，溫增平，趙文哲

(中國地震局地球物理研究所，北京 100081)

0 引言

我國是世界上陸地地震災害最嚴重的國家之一，特別是隨著經濟建設和城市化進程的不斷加快，地震災害潛在風險水平不斷提高。易損性分析作為災害風險分析的3個主要部分(地震危險性分析、承災體的易損性分析、災情損失評估)之一，其核心是建立建筑結構出現或超越各種破壞狀態的概率與地震強度之間的關系。開展建筑結構地震易損性分析對于地震破壞和損失預測以及減輕地震災害具有十分重要的意義。

在實際地震現場和震害預測的工作中，研究人員積累了大量基于烈度的建筑結構震害經驗關系，即用烈度-震害程度的比例或概率構成的易損性矩陣，然而烈度的獲得是基于人的感覺、器物反應、房屋為主的工程結構破壞、地表破壞等4類宏觀現象來評定(胡聿賢，2006；中國地震烈度表，GB/T 17742—2008；明小娜等，2017)。這也意味著隨著我國建筑抗震設防水平的提高，不同時期烈度本身的度量尺度也會發生變化，所以基于烈度的易損性矩陣具有較大的不確定性(Lagomarsino，Cattari，2014)。然而以往大多數震害預測中關于房屋建筑易損性的評估，都是基于烈度進行，即表示結構在不同烈度下出現各破壞狀態的概率(韓淼等，2009)。為了準確預測建筑結構的抗震性能，更好地進行結構抗震設計，完成對現有建筑物的加固和維修，加快地震保險在全國范圍內的推行，基于烈度的易損性矩陣很難滿足實際需要，特別是對于土木結構、磚石結構等簡易房屋，難以通過結構模擬分析獲取其易損性曲線，如何完善現有的易損性矩陣，并將基于烈度的易損性矩陣轉化為更合理的基于地震動參數的易損性矩陣顯得尤為重要(胡少卿等，2007；劉如山等，2009；李靜等，2012；馬玉宏等，2015)。

本文采用最大似然估計的曲線方法對震害資料進行分析。選取PGA作為地震動參數，根據烈度與地震動參數之間的對應關系，將結構基于烈度的不同破壞狀態的概率矩陣轉化為基于PGA的不同破壞狀態的概率矩陣，得到連續的基于地震動參數的易損性曲線。

1 易損性矩陣曲線化方法

地震易損性是指結構在不同地震作用下，出現各種破壞狀態的條件概率，它從概率的角度定量表征結構的抗震能力，表達式為：

F(IM=x) =P(IM≥IMC/IM=x) =P(IMC≤x)

(1)

式中：IM為地震動強度指標；IMC是結構物達到破壞狀態時對應的地震動參數；F(IM)為易損性函數。

建筑結構易損性主要通過地震易損性曲線和震害矩陣來表示。一般易損性曲線橫坐標為地震的強度指標，如烈度、峰值加速度、峰值速度、地震動反應譜值等，縱坐標為達到不同破壞等級的超越概率。易損性曲線的獲得可以通過經驗法(Colombietal，2008)、解析法(Lagomarsino，Cattari，2014)及混合法(Aldemiretal，2013)。在易損性的研究進程中對易損性函數的選用，不同學者提出了不同的數學模型，如：邏輯回歸函數(Singhal，Kiremidjian，1998)、威爾遜分布函數(Shinozukaetal，2007)、對數正態分布函數(Shinozukaetal，2000；Yamazakietal，2000)等，其中對數正態分布最為常用。

易損性曲線的擬合方法有很多種，如多項式擬合、最小二乘法擬合、最大似然估計法擬合等(Shinozukaetal，2000；Baker，2013；陳力波等，2012；吳子燕等，2014；林慶利等，2017)。本文采用最大似然估計法，通過MATLAB程序做具體計算和繪制易損性曲線，獲取基于地震動參數的易損性曲線的具體流程，如圖1所示。

圖1 震害矩陣的曲線化計算方法

1.1 建筑物破壞等級分類

建筑物破壞等級通常可分為5類(GB/T 24335—2009)：DSk(k=0，1，…，4)分別表示基本完好、輕微破壞、中等破壞、嚴重破壞、毀壞5種破壞狀態。LSs(s=1，2，3，4)為5種破壞狀態之間的閾值，分別代表“輕微破壞”“中等破壞”“嚴重破壞”“毀壞”4種破壞狀態的極限值，如圖 2所示。

圖2 易損性超越概率曲線不同破壞狀態示意圖

1.2 烈度與地震動參數對應關系

地震烈度是地震引起的地面震動及其影響的強弱程度。鑒于早期監測條件的限制，詳細的強震記錄很難獲得，但是通過烈度評定，地震工作者積累了豐富的宏觀烈度資料。胡聿賢和張敏政(1984)提出了缺乏強震觀測資料地區地震動參數的估算方法；田啟文等(1986)進行了根據烈度資料估算我國地震動參數衰減規律的一系列研究；特別是《中國地震烈度表》(GB/T 17742—2008)作為我國地震烈度的評定標準，給出了烈度與峰值加速度(PGA)和峰值速度(PGV)之間的對應關系。本文采用《中國地震烈度表》(GB/T 17742—2008)給出的烈度與地震動參數之間的對應值，從表1中可以看出，每一個烈度對應的PGA和PGV。

表1 地震烈度與峰值加速度PGA和峰值速度PGV的對應關系

1.3 基于最大似然估計法確定易損性雙參數

在易損性研究的進程中，對數正態分布數學模型作為易損性的概率模型已經被驗證是一種成熟、理想的模型，本文也采用對數累計正態分布函數作為易損性函數。易損性函數定義為：

(2)

式中：P(C|IM=x)是地震動強度達到IM=x時，結構物到達某一極限狀態的概率；Φ是標準累積正態分布函數；θ是易損性函數的中位數，β為lnIM的標準差。

對于超越破壞狀態的結構，由式(2)定義的易損性函數，可以得到在IM=xi處的似然函數的密度函數：

(3)

相應的，對于未超越破壞狀態的結構，在IM=xi處的似然函數的密度函數為：

(4)

根據不同的破壞狀態有不同的中位數θ和對數標準差β，定義似然函數為：

(5)

式中：N為統計結構總數；xi表示第i棟結構對應的峰值加速度；ti為伯努利事件，如果達到破壞狀態，ti=1，否則，ti=0。

雙參數θ和β計算公式為：

(6)

2 震害矩陣曲線化實例

2.1 震害資料的收集和統計

地震現場作為大的原型實驗場，工程結構的真實震害經驗是地震工程學發展的重要支柱，人類如何抗御地震災害的認識很大程度也來源于此(溫增平等，2009)。四川省地質構造復雜，地震活動頻繁，房屋結構類型多樣，歷史上發生過多次7級以上特大地震，特別是2008年汶川8.0級地震、2013年蘆山7.0級地震造成了嚴重的經濟損失和人員傷亡。孫柏濤等(2014)采用不同分級和分區域的方法研究了南北地震帶各類房屋建筑的分布特征和抗震能力，以四川省為例，將其分為：I區，西部地區；II區，中北部地區；III區，中南部地區。結合6個地級市204個調查點的23 964棟房屋建筑調查結果和汶川地震等歷史震害經驗對其房屋建筑進行調查，給出了分區域各類結構房屋的基于烈度的易損性矩陣。

2.2 土木結構房屋易損性曲線

本文首先以孫柏濤等(2014)統計給出的III區土木結構易損性矩陣為例，計算結構超越概率易損性曲線。圖 3為分別以散點圖和直方圖來直觀地表達III區土木結構房屋在不同烈度作用下的破壞比結果。

通過基于烈度的土木結構房屋易損性矩陣，從破壞狀態DSi的破壞概率累積計算出超越每個極限破壞狀態LSi的累計概率，得到相應土木結構房屋的超越概率矩陣，詳見表2。

通過最大似然估計法，結合表 1，利用MATLAB軟件即可求得土木結構房屋超越概率，計算得到其對數正態分布的易損性函數雙參數θ和β，如表3所示。

表2 III區土木結構房屋超越概率矩陣(%)

圖3 III區土木結構房屋震害矩陣散點圖(a)及直方圖(b)

易損性曲線雙參數輕微破壞LS1中等破壞LS2嚴重破壞LS3毀 壞LS4θ0.0730.1370.2630.482β0.8390.7060.7790.711

采用易損性曲線雙參數θ和β即可繪制出III區基于地震動參數PGA土木結構房屋的超越概率易損性曲線，如圖4所示。超越概率的離散點是通過實際震害資料調查計算得到的，與最大似然估計法擬合的易損性超越概率校核曲線一致，可以得到理論分析的最大似然估計曲線是合理的、準確的。由此通過擬合的易損性曲線可以得到不同PGA(單位：g，1 g=9.8 m/s2)對應的不同破壞狀態的超越概率(表4)。

圖4 土木結構房屋易損性超越概率曲線

PGA/g輕微破壞LS1中等破壞LS2嚴重破壞LS3毀 壞LS40.01 0.89 0.01 0.00 0.000.10 64.66 32.78 10.72 1.350.20 88.55 70.40 36.28 10.810.30 95.41 86.66 56.74 25.260.40 97.88 93.55 70.51 39.670.50 98.91 96.67 79.55 52.060.60 99.40 98.18 85.54 62.100.70 99.65 98.96 89.58 70.010.80 99.79 99.38 92.36 76.190.90 99.86 99.62 94.30 81.011.00 99.91 99.76 95.69 84.76

為了得到處于不同破壞狀態的概率，用PDSk表示在DSk狀態下的概率；PLSs表示極限破壞狀態的概率。結構不同破壞狀態下的損害概率，通過以下公式求得：

PDS0(xi)=1-PLS1(xi)

(7)

PDSk(xi)=PLSk(xi)-PLSk+1(xi)=

(8)

表5 基于PGA的土木結構房屋易損性矩陣(%)

式中：k=1,2,3。

PDS4(xi)=PLS4(xi)

(9)

根據土木結構易損性超越概率曲線結果，結合表4，通過式(7)～(9)可以得到不同破壞狀態下的易損性矩陣，如表 5所示。

通過式(7)～(9)繪制基于PGA土木結構房屋的易損性曲線，如圖5所示，可直觀看到不同破壞狀態的損害概率隨PGA增大的變化趨勢，得到給定PGA下結構超越不同破壞狀態的概率。

圖5 基于PGA土木結構房屋震害矩陣易損性擬合曲線

2.3 多種房屋建筑的易損性曲線

與III區土木結構房屋易損性曲線計算一致，通過最大似然估計方法，利用烈度與PGA之間的對應關系，本文將提供不同結構處于不同破壞狀態下的易損性函數的雙參數θ和β，并繪制出其易損性曲線，如表 6所示。基于易損性曲線雙參數繪制四川省3個分區不同類型結構的易損性曲線，如圖 6所示。

按照烈度與PGV之間的對應關系，同樣可以給出了基于PGV的不同結構房屋在不同破壞狀態下的θ和β，如表7所示。

3 結論與討論

本文提出一種房屋震害矩陣雙參數曲線化方法，該方法基于烈度與地震動參數之間的對應關系，采用最大似然估計方法，將既有房屋易損性矩陣或實際震害統計的破壞比結果轉化為雙參數易損性曲線。具體認識如下：

(1)該方法彌補了基于烈度易損性曲線的不足，特別是針對難以進行模擬分析的結構類型，如土木結構、磚石結構等簡易房屋，提供了更為簡便的途徑來得到相應的易損性曲線。

(2)以四川省房屋震害矩陣為例，基于中國地震烈度表中烈度與地震動參數的關系，給出了各類房屋結構的地震易損性曲線特征參數，分析結果可為四川省基于地震動參數的房屋建筑震害評估提供基礎數據。需要注意的是，在實際工程應用中，針對不同的區域特征，應合理選擇烈度-地震動參數(PGA，PGV)的關系模型。

圖6 四川省分區域各類型房屋結構震害矩陣擬合曲線

分區及結構類型輕微破壞LS1中等破壞LS2嚴重破壞LS3毀 壞LS4θβθβθβθβ土木結構0.0700.6960.1260.6750.2390.7320.4670.694西部地區磚木結構0.0830.7030.1710.7390.3460.6780.7840.720(I區)穿斗木結構0.1020.6690.2120.7260.5190.8481.7300.926磚石結構0.0920.6890.1530.5470.2380.6130.4910.845土木結構0.0730.8390.1370.7060.2630.7790.4820.711中北部地區(II區)磚木結構0.0900.7320.1850.7370.3650.6870.8080.707穿斗木結構0.1090.6660.2240.6960.5580.8541.7500.851土木結構0.0730.8390.1370.7060.2630.7790.4820.711中南部及東部地區(III區)磚木結構0.0910.7230.1900.7420.3710.6880.8250.694穿斗木結構0.1050.6730.2130.7010.5420.8681.6960.853高層建筑(高設防)0.2980.5990.7370.6241.3650.4761.1580.077高層建筑(一般設防)0.2770.5310.6340.5951.2760.5141.1340.075鋼混結構(高設防)0.2670.7850.5400.5480.8410.5061.6290.558鋼混建筑(一般設防)0.2280.7380.4810.5840.6960.4661.5270.607設防磚混(高設防)0.1760.8610.3570.7340.6020.6001.6240.740設防磚混(一般設防)0.1390.8450.2920.7090.5100.6081.3720.828未設防磚混0.1190.7700.2230.6230.3960.6601.0310.786

表7 基于PGV的不同結構不同破壞狀態下的易損性曲線雙參數θ(單位：m/s)和β

(3)本文提出的易損性矩陣曲線化方法具有較高的可靠性和適用性，在進一步研究工作中可應用該方法對已有的易損性矩陣或曲線進行校驗和完善，以便更好地服務于地震災害快速評估、風險評價和保險估算等。

考慮到目前直接獲取的強震記錄均為未修正的結果，烈度與地震動參數對應關系還需要進一步完善，本文通過基于房屋震害矩陣曲線化方法得到的易損性曲線與真實情況相比存在一定誤差。隨著烈度與地震動參數對應關系的完善，本文方法可得到更加廣泛的應用。