分式變形有“四拳”

陳桂明

轉化和化歸思想是數學解題中最基本的思想方法之一，解決數學問題離不開等價轉化思想，在數學學習中，我們會經常碰到含有分式的問題，特別是有些分式常規處理起來比較復雜，甚至解決不了.若能進行合理的等價轉化，會產生出乎意料的精彩，讓人耳目一新.以下舉幾例提供一些策略和方法供同學們參考.

一、上下共變，尋其根源

小結 部分分式的背后隱藏著幾何意義，本題通過分子、分母上下共同變形，發現其結構特征，實現分式的等價轉化和數式與圖形的轉化.

二、一分為二，先分再合

點評 本題是將一個分式化歸為兩個函數，即一分為二，然后在同一直角坐標系內畫出這兩個函數的圖象，即先分再合，可以很快發現零點的位置特征，從而解決問題.此外，這種分式的化歸方法可延伸至某些整式中，仍然適用.

三、化分為整，重構函數

點評 本題要證明原分式不等式，若直接證明，比較困難，且運算復雜，若能運用“化分為整”進行等價變形，就能使天塹變通途，讓我們感受到“柳暗花明又一村”的奇妙詩意.

四、轉換視角，整合重組

小結 本題直接作差構造函數難以求出導數的零點，但通過分式不等式的等價變形重組后，得到一個新的分式不等式，再去構造函數，證明命題，過程清晰簡潔.當然，在重組的過程中，我們要敢于嘗試，大膽變形.沒路走要敢于找路走，同時要做點預判，選擇好的方案，多想一點，就可以少算一點.

我們在解題中遇到復雜或不易于處理的分式型問題時，“上下共變”、“一分為二”、“化分為整”、“整合重組”猶如一套組合拳，總能讓你在分式的等價變形中找到合適的思路.