初探“順反粘數”

馬思琪

編者按：“數學寫作”聯盟始終堅守“常態閱讀，深度思考，精致表達，共同發展”的理念，為推動數學寫作活動的開展，展現學生的學習成果，鼓勵學生深入思考、探究創新、合理表達，“數學寫作”學校聯盟開展了第一屆“數學寫作”學校聯盟中學生數學寫作競賽活動，并取得圓滿成功.

這次數學寫作活動得到了多所學校的支持，其中涌現出許多優秀的作品.這些作品有的是對所讀的文章或圖書的深度思考，有的是對課堂內容在現實生活中的拓展和應用，有的是自己做一道題或一類題的感悟，有的是在使用數學工具的過程中的大發現，有的是數學相聲、數學詩歌……以下擇取其中的一些文章與讀者共享.每年高考題中均會出現“拉分”的新題，這些同齡人文章里的新思路和體現出的理性思維、探究精神，對你拓寬思維、破解新題一定會有所助益.

翻開《新高考（高二版）》2017年第9期，看到刊首《閑人莫入》一文給出了以下一組神奇的等式，引起了我的興趣：

8^2-4^2 =48；

68^2-34^2=3468；

668^2-334^2 =334668；

6668^2-3334^2=33346668：

文中說：“這樣的等式，可以一直寫下去，直到無窮大，統統都是成立的”“迄今為止，這樣的一系列無窮等式，除此之處，別的地方再也沒有看到過，真正說得上‘只此一家，別無分店了！”

我想：這組等式長得這么美，為什么會那么“孤獨”呢？是她太“高冷”了嗎？還是“曲高和寡”呢？難道沒有相似的同伴？

我好想給她找個伴！

我找啊找，可就是找不到和它規律一樣的數，但我找到了她的姐妹花——并蒂蓮，請看：

14^2-7^2 =147；

134^2-67^2 =13467；

1334^2-667^2 =1334667；

13 334^2-6667^2 =133346667；

這兩組數，是不是怎么看都有謎一樣的蹊蹺呢？

我為什么會發現這組等式呢？——國慶長假，全國各地到處各種堵，我就宅在家里來了一次有趣的數字發現之旅——這是一次奇特的旅游！以下是這一次的“游記”：

第一站風景：原題的證明

第二站風景：原題的推廣

為方便敘述，對于這樣的數，我給它取了個名字，叫“反粘數”：

第三站風景：原題的類比

有“反”為什么不能有“順”呢？

第四站風景：全新的發現

此外，我還發現了一個非常有趣的現象.在有些類似的反粘數中：

1025^2-640^2=641025：

1276^2-870^2 =871276.

有一個“0”被“吃掉”了！在順粘數里也有類似的現象：

30^2-24^2=324：

280^2-224^2=28224：

330^2-275^2=33 275.

終點站：留下一段“碎碎叨”

我為什么稱之為“順粘數”和“反粘數”呢？

因為“順粘數”的平方差是按x，y的前后順著粘在一起的，而“反粘數”的平方差是按x，y的前后反著粘在一起的.是不是很“Interesting”呀！

《閑人莫入》一文中說，不出現其他數字，只出現3，4，6，8四個數字.我從“順反粘數”中也想找到這樣的數.功夫不負有心人，我也有了新發現，不但找到本文開頭列出的五個新數字（1，3，4，6，7），而且還發現了只出現兩個數字（4和8）的數：

8^2-4^2 =48；

848^2-484^2 =484848；

84 848^2-48484^2 =4848484848；

這等式也可以一直繼續下去直至無窮.但是如果右邊的“48”成偶數對出現，它們就國慶撒歡兒去了，消失無影蹤（左邊化歸為0了）；只有“48”成奇數對出現時，此規律才會源遠流長，永無止境.

如此神奇的式子，你能證明嗎？

如果規定等式兩邊只出現確定的數字，不規定是否按原數的數字順序“順粘”或“反粘”，又會有怎樣的一番風景呢？我已經把這種數的名字都想好了，叫“排他數”.你是否愿意和我一起探尋新的風景呢？

點評 本文所研究的問題，從知識層面上看，不超過初中數學內容.但從數學思維角度看，已經完整地包含了數學研究的基本要素：給所研究“新伙伴”命名并下一個精確的定義，發現更多的實例、從中找出規律并證明之，然后對其進行類比推廣，最后提出進一步研究的問題.在這篇數學寫作的過程中，作者已經完整地經歷了一次真實的“數學研究”過程.