Ding分次模和強Ding分次模

韓靜， 梁力

(蘭州交通大學 數理學院， 甘肅 蘭州 730070)

文中的環均指有單位元的結合環,模都是左模.關于Ding投射模的研究源于DING等[1]的工作,稱其為強Gorenstein平坦模.Ding內射模的研究源于MAO等[2]的工作,稱其為Gorenstein FP-內射模.GILLESPIE[3]進一步研究了這兩類模,并分別稱之為Ding投射模和Ding內射模.后來,HUANG等[4]介紹并研究了強Ding投射模和強Ding內射模.近來,MAO[5]在分次模范疇中研究了Ding投射對象和Ding內射對象(分別稱之為Ding分次投射模和Ding分次內射模).受以上工作的啟發,本文研究分次模范疇中的強Ding投射對象和強Ding內射對象(分別稱之為強Ding分次投射模和強Ding分次內射模),并研究了其與Ding分次投射模和Ding分次內射模之間的關系.同時,也給出了強Ding分次投射(內射)模與非分次的強Ding投射(內射)模之間的關系.

下面列出本文需要的一些概念.

設R是環,G是乘法群.若R=⊕σ∈GRσ,其中Rσ是R的加法子群,對任意σ,τ∈G滿足RσRτ?Rστ,則稱R是G-分次環(簡稱分次環).設M是R-模，若M=⊕σ∈GMσ,其中Mσ是M的加法子群,對任意σ,τ∈G滿足RσMτ?Mστ,則稱M是G-分次R-模(簡稱分次R-模).

設M,N是分次R-模.記

HomR-gr(M,N)={f∈HomR(M,N) |

f(Mσ)?Nσ,σ∈G},

即HomR-gr(M,N)是分次R-模范疇中M到N的所有態射構成的集合.

1 Ding分次投射模和Ding分次內射模

定義1(文獻[5]定義3.1、定義4.1) 設R是分次環.

(1) 如果存在一個分次投射R-模的正合列

使得M?Ker(P0→P1),且對任意分次平坦R-模F,HomR-gr(-,F)保持其正合，則稱分次R-模M是Ding分次投射的.

(2) 如果存在一個分次內射R-模的正合列

使得M?Ker(I0→I1),且對任意分次FP-內射R-模E,HomR-gr(E,-)保持其正合，則稱分次R-模M是Ding分次內射的.

引理1設R是分次環,0→M′→M→M″→0是分次R-模的正合列. 若M′,M″是Ding分次投射的,則M是Ding分次投射的.

證明類比文獻[6]引理3.1的證明……