解其題，研其式，歸其道，養(yǎng)其心

陳紀(jì)韋華 林勁松

2017年是福建省各地市統(tǒng)一使用同一份中考試卷的第一年，意義非同尋常，本份試卷的第24題，以兩個(gè)相似矩形共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)為載體，探究變化過程中的不變性，具有典型性、示范性、拓展性、研究性，承載知識(shí)的“生長點(diǎn)”和“延伸點(diǎn)”，對思維的靈活性、深刻性、發(fā)散性、獨(dú)創(chuàng)性有較高的要求，本文以該題為例，對其評題、析題、解題、變題，揭示蘊(yùn)含其中的數(shù)學(xué)思想方法，挖掘隱含其中的問題本質(zhì)屬性，引導(dǎo)學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)。

1試題呈現(xiàn)及評價(jià)

原題呈現(xiàn)

本題是2017年福建省中考卷的幾何壓軸題，它承載著更多的功能，主要考查：矩形的性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形斜邊中點(diǎn)的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、圓的概念和性質(zhì)，考查學(xué)生運(yùn)算能力、推理能力、創(chuàng)新意識(shí)、分類與整合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，解題思路靈活，入口較寬，又有深度，方法多樣。

圖形看似復(fù)雜，其實(shí)是兩個(gè)相似矩形共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)并研究變化過程中的不變性，看似靜止的圖形，其實(shí)靜中有動(dòng)，變化中探尋本質(zhì)，圖形似曾相識(shí)，是基于傳統(tǒng)題進(jìn)行創(chuàng)新，內(nèi)涵豐富，不僅將初中數(shù)學(xué)中核心的知識(shí)（矩形、相似、圓、等腰三角形等）巧妙融合，而且將知識(shí)、技能、思想方法融為一體，深度結(jié)合，兩小題互相獨(dú)立，螺旋上升，穩(wěn)步提升，完成每一問的推理證明又都需對題目的已知條件進(jìn)行挖掘、創(chuàng)造，通過不斷地轉(zhuǎn)化，尋求解題的途徑，對學(xué)生的思維水平有很高的要求，突出了壓軸題應(yīng)有的選拔區(qū)分功能，同時(shí)，解法的多樣性，圖形的熟悉感為不同層次的學(xué)生提供了廣闊的想象空間，為不同思維層次的學(xué)生搭建了不同的平臺(tái)。

2解法展示及分析

3由解法引發(fā)的思考

3.1解其題，研其式

一道高效的中考題，特別是壓軸題，經(jīng)過命題者精心編制，具有典型性、示范性、拓展性、研究性，涉及核心內(nèi)容多，數(shù)學(xué)思想方法廣，應(yīng)充分挖掘其內(nèi)在價(jià)值，可以從各個(gè)“思維觸發(fā)點(diǎn)”對其解法探究，能夠鞏固學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，同時(shí)形成數(shù)學(xué)思想方法，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，拓展思維能力，例如上文中對2017年福建中考題的解法探究，在幾何直觀的基礎(chǔ)上從不同的角度產(chǎn)生多種典型解法，達(dá)到“千山競秀，草木蒙其上，若云興霧蔚”，同時(shí)，解題后應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生對多種解法進(jìn)行思維整理，總結(jié)思維觸發(fā)點(diǎn)，比較解法優(yōu)劣，優(yōu)化思維過程，提煉出更好、更優(yōu)、更典型、更便捷的解題方法，加深對知識(shí)的理解、掌握，形成自己的解題經(jīng)驗(yàn)，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

3.2歸其道，養(yǎng)其心

在“解其題，研其式”的過程中，處處體現(xiàn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的融入，此題的解答過程主要體現(xiàn)了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)有幾何直觀和推理轉(zhuǎn)化，整個(gè)解題過程，直觀想象是此題具體解題方法的基礎(chǔ)——通過觀察對圖形整體感知，做出判斷ΔADP～ΔCDF.在此基礎(chǔ)上推理轉(zhuǎn)化是核心，要證明ΔADP～ΔCDF，分別從角入手，從對應(yīng)邊的比入手，尋找一系列等線段、等角、等比例轉(zhuǎn)化與化歸，幾何推理貫穿始終，因此，在平時(shí)解題的教學(xué)過程中，應(yīng)考慮如何在數(shù)學(xué)活動(dòng)過程中積累、轉(zhuǎn)化、深化活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，向更高層次飛躍，內(nèi)化升華為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)？從上文的過程中，我們可以略窺如何讓學(xué)生養(yǎng)成探究問題的思路：發(fā)現(xiàn)了什么結(jié)論？這個(gè)結(jié)論正確嗎？怎么證明？當(dāng)前問題與已有知識(shí)、方法有何聯(lián)系（不同點(diǎn)、相同點(diǎn)），能否轉(zhuǎn)化為已有知識(shí)、方法，如何轉(zhuǎn)化、遷移（上下游命題的聯(lián)想系統(tǒng)）？如果不能，又如何另辟蹊徑？這個(gè)結(jié)論是否具有一般性？在這個(gè)過程中，引導(dǎo)學(xué)運(yùn)用學(xué)過的數(shù)學(xué)知識(shí)，觀察、試驗(yàn)、聯(lián)想、類比、演繹、歸納、分析、綜合等手段，對問題多角度分析思考，層層探究，凸顯數(shù)學(xué)思維，突出數(shù)學(xué)本質(zhì)，提煉數(shù)學(xué)思想方法，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

4試題的進(jìn)一步延伸探究

除了對解法的探究外，還應(yīng)對試題本身進(jìn)一步探討研究，以期對以后的命題工作提供借鑒參考。

4.1從“靜”到“動(dòng)”，對題目進(jìn)一步探究

平面幾何主要是研究幾何圖形在圖形變換（旋轉(zhuǎn)、平移、軸對稱、位似變換、相似變換）下保持不變的性質(zhì)，因此，歷年各地市的中考?jí)狠S題經(jīng)常出現(xiàn)以幾何圖形為載體，點(diǎn)或線等元素運(yùn)動(dòng)為呈現(xiàn)方式的動(dòng)態(tài)幾何題，其目的在于引導(dǎo)學(xué)生在運(yùn)動(dòng)的變化過程中體會(huì)“變”與“不變”、“運(yùn)動(dòng)”與“靜止”、“特殊”與“一般”的辯證關(guān)系，是對幾何直觀和推理的綜合考查。

就本題第（Ⅱ）小題而言，ΔADP和ΔCDF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)過程中，AP與CF在數(shù)量和位置上保持不變性的問題，但本題在設(shè)置上形式比較簡單，AP固定賦值時(shí)，圖形固定，缺乏引導(dǎo)學(xué)生探究數(shù)學(xué)問題，不利于學(xué)生探究體會(huì)幾何圖形變換中的不變性，體現(xiàn)在上文的解法4中，可以看出不屬于動(dòng)態(tài)幾何題，因此看山不是山，跳出本題看本題，我們可以讓圖形運(yùn)動(dòng)起來，在運(yùn)動(dòng)變化的過程中，探求一些保持不變的量或圖形形狀，揭示圖形變化的內(nèi)在規(guī)律。

4.2抽離“幾何圖形結(jié)構(gòu)”，對題目進(jìn)行歸納延伸

“共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)”圖形變式順暢自然，結(jié)論顯而易見，不同的題目解法多樣（利用中點(diǎn)可以有不同的解法，有興趣的讀者可以自己證明），變式角度多端（ΔABC的形狀可以進(jìn)一步一般化或特殊化），受到各地中考命題專家的眷顧，值得注意的是對“共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)”圖形結(jié)構(gòu)進(jìn)行探究，并非為了多創(chuàng)造幾個(gè)新結(jié)論，多記憶幾個(gè)新圖式，把一切幾何問題模式化，走“題型+技巧”的老路，而是為了“研其式”——將題目發(fā)散、提煉，層層深入，將一系列問題，以策略方法為主，從特殊到一般雙向溝通，逐次展開，拾級(jí)而上，環(huán)環(huán)相扣，一題多變形成問題串，煉題成型、凝題成環(huán)、聯(lián)題成片、多題歸一，進(jìn)而“歸其道，養(yǎng)其心”：通過問題的探究，積累經(jīng)驗(yàn)，達(dá)到課標(biāo)提出的“發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題”的問題解決的過程性目標(biāo)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

教師對中考?jí)狠S題要認(rèn)真鉆研，學(xué)會(huì)拓展延伸、類比遷移，才能讓自己從一個(gè)單純的執(zhí)行者轉(zhuǎn)變?yōu)殚_發(fā)者，從而能夠很好地訓(xùn)練學(xué)生思維的創(chuàng)造性，教學(xué)也必將更加有效，平時(shí)的課堂中應(yīng)關(guān)注好的“著落點(diǎn)”，遠(yuǎn)離“題型+技巧”、“記題型、對模式”的教學(xué)，拒絕題海戰(zhàn)術(shù)，關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的積累，抓住數(shù)學(xué)的教育價(jià)值在于思維的訓(xùn)練和創(chuàng)造性，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，使數(shù)學(xué)“易學(xué)、好懂、能懂、會(huì)用”。