“重心圓”的有趣性質及其推廣

何重飛

熟知圓周上任意一點到該圓一直徑兩端點的距離的平方和為定值，事實上，有更一般的結論，

命題1平面內以線段中點為圓心的任意圓周上的點到該線段兩端點的距離的平方和為定值，推論1空間中任意給點兩點，則以該兩點構成線段的中點為球心的任意球面上的點到該兩點的距離的平方和為定值。

延續這一思路，線段推廣到三角形便可得到：

定理1以三角形重心為圓心的任意圓周上的點到三角形三個頂點的距離的平方和為定值。

推論2以三角形重心為球心的任意球面上的點到三角形三個頂點的距離的平方和為定值。

當ΔAABC的重心G與其外心O重合時，易知ΔABC為正三角形，再由定理1便可得到：

推論3[2]正三角形外接圓周上的點到三角形三個頂點的距離的平方和為定值。

筆者發現，在四邊形中，也有類似定理：

定理2以平面四邊形重心為圓心的任意圓周上的點到平面四邊形四個頂點距離的平方和為定值。

推論4以四邊形的重心為球心的任意球面上的點到四邊形四個頂點的距離的平方和為定值。

當四邊形ABCD的重心G與其外心O重合時，易知四邊形ABCD為矩形，再由定理2便可得到：

推論5矩形外接圓周上的點到矩形四個頂點的距離的平方和為定值。

當四邊形ABCD的重心G與其對角線的交點重合時，易知四邊形ABCD為平行四邊形，再由定理2便可得到：

推論6以平行四邊形對角線的交點為圓心的任意圓周上的點到平行四邊形四個頂點的距離的平方和為定值。

事實上由定理1、2及其證明，以及引理l得：

推論7[3]在由互相平分且交于一點G的n（n≥2）條線段所構成的平面或立體圖形中，以G為球心的任意球面上的點到該n條線段端點的距離的平方和為定值。

推論8以平行六面體體對角線交點為球心的任意球面上的點到平行六面體頂點的距離的平方和為定值。

證明每一個平行六面體都可由四條互相平分且交于一點的線段端點構成的幾何體，由推論7便可得證。

推論9以正多邊形重心（中心）為圓心（或球心）的圓周上（或球面上）的點到正多邊形各頂點的距離的平方和為定值。

將以上定理及推論推廣到空間，即可得到：

定理3以四面體的重心為球心的任意球面上的點到四面體的四個頂點的距離的平方和為定值。

要證定理3，需要用到以下引理：

“重心圓”或者“重心球”上的點是否具有其他冪和式為定值的性質或者其他有趣的性質？留給感興趣的讀者探究。

參考文獻

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