傾斜橢球各向異性介質彈性波傳播特征

梁 鍇 曹丹平* 印興耀 吳國忱

(①中國石油大學(華東)地球科學與技術學院，山東青島 266580；②海洋國家實驗室海洋礦產資源評價與探測技術功能實驗室，山東青島 266071)

1 引言

地球介質廣泛存在各向異性，地震各向異性主要表現在地震波傳播速度是傳播方向的函數、體波間的相互耦合、橫波分裂等。地震各向異性為研究地球介質結構、組分提供了新的信息[1]。一般將沉積巖近似為橫向各向同性(TI)介質[2]，特別地，當ε=δ(ε為度量qP波各向異性強度的參數，δ為影響TI介質對稱軸方向附近的qP波速度的參數)時，稱為橢球各向異性(EA)介質。EA介質是TI介質的一種特例，其獨立的彈性常數只有4個。與傾斜橫向各向同性(TTI)介質類似[3-11]，當EA介質的對稱軸與觀測坐標系有夾角時就形成傾斜橢球各向異性(TEA)介質。Byun[12]根據射線理論研究了EA介質的地震參數。Helbig[13]總結了橢球各向異性的特征和意義。Thomsen[2]給出了表征EA介質的Thomsen參數。李磊等[14]討論了EA介質參數的約束條件。

速度和偏振方向是彈性波傳播的重要特征，也是研究地震波傳播規律的重要參數，在理論研究和實際應用中具有重要作用。在各向同性介質中，彈性波速度不隨傳播方向而變化，P波的偏振方向與傳播方向平行，S波的偏振方向與傳播方向垂直。在EA介質中，彈性波速度可能隨傳播方向而變化，并且P波的偏振方向與傳播方向不平行，SV波的偏振方向與傳播方向不垂直。前人廣泛研究了TI介質(包括TTI介質)的速度和偏振現象[15-21]。

研究TEA介質傳播特征可以采用兩種方法。一種是在本構坐標系下求取EA介質的速度和偏振等特征，然后再利用坐標旋轉的方法[18]，得到觀測坐標系下的TEA介質的速度和偏振等特征。該方法得到的結果是相角(傳播方向與對稱軸夾角)的函數[18]，難以表示為關于觀測坐標系中平面波傳播的極化角θ和方位角φ的函數。本文采用第二種方法，即在觀測坐標系直接求取TEA介質彈性波速度和偏振特征參數。首先根據本構坐標系的EA介質剛度矩陣，利用Bond變換得到觀測坐標系下TEA介質的剛度矩陣；然后建立TEA介質Christoffel方程，通過求解本征值問題得到觀測坐標系下TEA介質彈性波相速度和偏振解析表達式；再通過Crampin公式由相速度推導群速度的解析表達式；最后給出了相應的數值算例。該方法的速度和偏振表達式均是關于觀測坐標系中平面波傳播的極化角θ和方位角φ的函數，形式直觀，物理意義明確。

2 TEA介質剛度矩陣

各向異性介質是由剛度矩陣C確定的，剛度矩陣C確定了應力與應變之間的關系，但由其確定彈性波波動方程系數的物理意義很不直觀。為方便理論研究和實際應用，Thomsen[2]提出了一套表征TI介質彈性的Thomsen參數

(1)

(2)

由彈性力學基本理論可知，在本構坐標系下，EA介質的剛度矩陣為

(3)

觀測坐標系中的TEA介質實質上可視為由本構坐標系中的EA介質旋轉形成 (圖1)。因此，可以利用Bond變換[22]對本構坐標系下的剛度矩陣進行坐標變換，從而得到觀測坐標系下TEA介質的剛度矩陣。

圖1 TEA介質對稱軸示意圖θ、φ分別為傳播極化角和方位角， θ0、φ0分別為對稱軸傾角和方位角， n為平面波傳播方向。

(4)

TEA介質剛度矩陣與三斜各向異性介質(極端各向異性介質)剛度矩陣的結構相似，即描述兩種介質的彈性波方程具有同樣的形式，但前者的獨立彈性常數個數與EA介質一樣(4個)。

3 TEA介質彈性波速度和偏振

3.1 相速度

彈性波傳播速度主要包括相速度和群速度，相速度和群速度是彈性波傳播的兩個重要特征。TEA介質的彈性波傳播特征不同于各向同性介質，其相速度和群速度不一定相等。

利用TEA介質剛度矩陣CTEA，結合彈性動力學的本構方程、牛頓運動微分方程和幾何方程，得到TEA介質彈性波波動方程

(5)

式中：U=(ux,uy,uz)T為位移矢量；ρ為介質密度；t為時間；F=(Fx,Fy,Fz)T為體力項；L為空間偏導數算子矩陣，其表達式為

設式(5)的平面波解為

U=pexp[ik(n·x-Vt]

(6)

式中：x=(x,y,z)T為位置矢量；n=(sinθcosφ,sinθsinφ,cosθ)T為平面波的傳播方向；V為平面波傳播的速度(相速度)；k為波數；p=(px,py,pz)T為平面波的偏振方向。

將式(6)代入式(5)，并忽略體力項的影響，得到TEA介質Kelvin-Christoffel方程

(7)

式中Γ11、Γ12、Γ13、Γ22、Γ23、Γ33為VP0、VS0、ε、γ、n和t的函數。為使式(7)有非零解，必須使其系數矩陣行列式為零，求解可得TEA介質中qP波、qSV波和SH波相速度的解析表達式

(8)

其中

(9)

式(8)表明：TEA介質中qP波的相速度為VP0、ε、θ、φ、θ0、φ0的函數，與VS0和γ無關。qSV波的相速度為一常數VS0，與VP0、ε、γ、θ、φ、θ0、φ0無關，說明在TEA介質中qSV波的相速度呈各向同性。SH波的相速度表達式與qP波類似，SH波的相速度為VS0、γ、θ、φ、θ0、φ0的函數，與VP0和ε無關。綜上所述：在TEA介質中qP波和SH波相速度呈各向異性，相速度空間等值面不是橢球面；SV波相速度呈各向同性，相速度空間等值面為球面。

3.2 群速度

群速度是各向異性介質彈性波的另一個重要特征，它決定波的能量傳播速度與方向，在地震波旅行時正演和反演中起重要作用。在各向異性介質中，群速度不能由Christoffel方程得到，群速度不僅是相速度的函數，而且依賴于傳播方向，在頻散關系中以隱函數形式出現，因此計算相對較復雜。

根據Crampin[23]推導各向異性介質群速度的思想，可得到一般各向異性介質群速度的三個分量表達式

(10)

其中V為平面波傳播速度(相速度)。根據TEA介質的相速度表示式(式(8))，可得TEA介質qP波、qSV波和SH波的群速度表示式。

qP波群速度的三個分量為

(11)

其中

G=sinθsinθ0cos(φ-φ0)+cosθcosθ0

qP波群速度的值為

(12)

對比式(8)與式(12)可知，在TEA介質中除某些特定方向外，qP波的相速度與群速度不相等。另外，在TEA介質中qP波的群速度與VS0和γ無關。

經過推導可知，qP波群速度的三個分量滿足

(13)

式(13)表示三維空間的一個對稱軸傾斜的橢球面，說明在TEA介質中qP波群速度等值面為對稱軸傾斜的橢球面，其扁率為

(14)

由式(14)可見：αP只與ε有關，ε越大，αP越大；ε越小，αP越小，群速度等值面越接近于球面； 當ε=0時，αP=0，群速度等值面由橢球面變為球面，即TEA介質退化為各向同性介質。

qSV波群速度與相速度大小相等、方向相同，即

(15)

qSV波群速度的值為

(16)

同理可以證明

(17)

式(17)表示三維空間中的一個球面，說明在TEA介質中qSV波的相速度和群速度等值面均為球面，呈各向同性特征。

SH波群速度的三個分量為

(18)

SH波群速度的值為

(19)

對比式(8)與式(19)可知，在TEA介質中除某些特定方向外，SH波的相速度與群速度不相等。另外，在TEA介質中SH波的群速度與VP0和ε無關。

同理可以證明

(20)

式(20)表示三維空間的一個對稱軸傾斜的橢球面，說明在TEA介質中SH波群速度與qP波類似，群速度等值面為對稱軸傾斜的橢球面，其扁率為

(21)

由式(21)可見：αSH只與γ有關，γ越大，αSH越大；γ越小，αSH越小，群速度等值面越接近于球面；當γ=0時，αSH=0，群速度等值面由橢球面變為球面，即TEA介質退化為各向同性介質。

3.3 偏振

將彈性波的相速度分別代入TEA介質Chris-toffel方程并求解，其歸一化的通解為相應波型的偏振方向(圖2)。

(22)

其中

圖2 qP波(a)、qSV波(b)、SH波(c)偏振示意圖

(23)

因為pP×n≠0，說明在TEA介質中P波偏振方向pP與傳播方向n不平行，而是存在一定角度，因此在TEA介質中將P波稱為準P波或qP波。

(24a)

(24b)

其中

(25)

因為pSV·n≠0，說明在TEA介質中SV波偏振方向pSV與傳播方向n不垂直，而是存在一定角度，因此在TEA介質中將SV波稱為準SV波或qSV波。

(26a)

(26b)

(27)

因為pSH·n=0，說明在TEA介質中SH波偏振方向pSH與傳播方向n垂直，為純S波。

假設傳播方向n=(sinθcosφ,sinθsinφ,cosθ)T和對稱軸方向t=(sinθ0cosφ0,sinθ0sinφ0,cosθ0)T都經過坐標軸原點，則有如下推論：

(1)經計算pP·pSH=0，pSV·pSH=0，pP·pSV=0，說明TEA介質中qP波、qSV波和SH波的偏振方向兩兩垂直，符合各向異性介質彈性波的偏振規律。

(2)經計算pSH·t=0，說明在TEA介質中SH波偏振方向pSH與t垂直，又由于pSH與n垂直，因此pSH垂直于t和n確定的平面。此外，由于qP波、qSV波和SH波的偏振方向pP、pSV、pSH兩兩垂直，則pP、pSV平行于t和n確定的平面。

(3)在TEA介質中pP、pSV是n、t、VP0、VS0和ε的函數，pSH僅是n、t的函數，而與TEA介質的VP0、VS0、ε和γ均無關。

(4)在TEA介質中，qSV波相速度和群速度呈各向同性特征，但其偏振方向呈各向異性特征。

4 數值算例

為了驗證前文對TEA介質彈性波速度和偏振現象的認識，設計了一組均勻TEA介質模型(表1)。模型1與模型2的對稱軸傾斜方向相同，各向異性參數不同；模型2與模型3的對稱軸傾斜方向不同，各向異性參數相同。

表1 模型介質參數

注：VP0=3000m/s，VS0=1500m/s，ρ=2000kg/m3

圖3～圖5分別為計算的模型1～模型3的彈性波速度。由圖可見：qP波和SH波相速度呈各向異性特征，相速度空間等值面不是橢球面(圖3a、圖3c、圖4a、圖4c、圖5a、圖5c)，qP波和SH波群速度等值面為橢球面，且隨著ε和γ的增大，橢球的扁率也增大，說明各向異性程度隨ε和γ的增大而增大(圖3d、圖3f、圖4d、圖4f、圖5d、圖5f)；qSV波的相速度和群速度大小相等，方向相同，速度等值面均為球面，表明qSV波的相速度和群速度是各向同性的，與各向異性參數和對稱軸傾斜方向無關(圖3b、圖3e、圖4b、圖4e、圖5b、圖5e)； 當各向異性參數保持不變，TEA介質對稱軸傾斜方向發生變化時，TEA介質彈性波相速度和群速度空間等值面的形狀也保持不變，只是發生了旋轉，旋轉的角度由對稱軸傾斜方向決定(圖4、圖5)。

圖3 計算的模型1的彈性波速度(a)qP波相速度； (b)qSV波相速度； (c)SH波相速度； (d)qP波群速度； (e)qSV波群速度； (f)SH波群速度

圖4 計算的模型2的彈性波速度(a)qP波相速度； (b)qSV波相速度； (c)SH波相速度； (d)qP波群速度； (e)qSV波群速度； (f)SH波群速度

圖5 計算的模型3的彈性波速度(a)qP波相速度； (b)qSV波相速度； (c)SH波相速度； (d)qP波群速度； (e)qSV波群速度； (f)SH波群速度

圖6～圖8分別為計算的模型1～模型3的彈性波偏振方向及角度。由圖可見：qP波、qSV波和SH波的偏振方向相互垂直；隨著各向異性參數的增大，qP波和qSV波偏振的各向異性程度也增大， SH波的偏振方向不隨各向異性參數變化而變化，qP波、qSV波和SH波的偏振方向與對稱軸的傾斜方向有關。

圖6 計算的模型1的彈性波偏振方向及角度(a)qP波偏振方向；波偏振方向；波偏振方向；

圖7 計算的模型2的彈性波偏振方向及角度(a)qP波偏振方向；波偏振方向；波偏振方向；

圖8 計算的模型3的彈性波偏振方向及角度(a)qP波偏振方向；波偏振方向；波偏振方向；

5 結束語

本文在觀測坐標系下直接求取了TEA介質彈性波速度和偏振方向，理論分析和數值算例結果表明：

(1)TEA介質qP波和SH波相速度呈各向異性特征，相速度空間等值面不是橢球面；兩者的群速度等值面為對稱軸傾斜的橢球面，其扁率隨各向異性參數增大而增大。

(2)TEA介質qSV波相速度與群速度大小相等、方向相同，速度空間等值面均為球面，即TEA介質qSV波相速度和群速度呈各向同性特征。

(3)TEA介質qP波和qSV波的偏振方向由傳播方向、對稱軸傾斜方向、VP0、VS0和各向異性參數ε共同確定，而與各向異性參數γ無關。

(4)TEA介質SH波偏振方向只由傳播方向和對稱軸傾斜方向確定，而與TEA介質的VP0、VS0、各向異性參數ε和γ均無關，并且SH波偏振方向垂直于傳播方向和對稱軸方向所確定的平面。