追根溯源，回歸課本

渠東劍

本學(xué)年我代高一的數(shù)學(xué)課，上學(xué)期發(fā)生的一幕，我至今記憶猶新.我的一些學(xué)生因此而改變了學(xué)習(xí)方法，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)重視課本，會(huì)用課本了，學(xué)習(xí)就能取得明顯的進(jìn)步.

我相信，這個(gè)故事對(duì)大家肯定是有啟發(fā)的.

一、背景

在學(xué)習(xí)“函數(shù)的單調(diào)性”之后，我給學(xué)生布置了一道課本上的題作為書面作業(yè)題：

已知函數(shù)y=f（x）的定義域是[a，b]，a

當(dāng)x∈[a，c]時(shí)，f（x）是單調(diào)減函數(shù);

當(dāng)x∈[c，b]時(shí)，f（x）是單調(diào)增函數(shù).

求證：f（x）在x=c時(shí)求得最小值.

在批改作業(yè)時(shí)發(fā)現(xiàn)，小明同學(xué)的解答如下，其他大部分同學(xué)的證明與之類似：

如圖1，當(dāng)x∈[a，c]時(shí)，f（x）是單調(diào)減函數(shù);當(dāng)x∈[c，b]時(shí)，f（x）是單調(diào)增函數(shù)，所以f（x）在x=c時(shí)取最小值.

你認(rèn)為小明的證明正確嗎？

小明說的沒錯(cuò)，畫出圖形說明他對(duì)題目是理解的，

問題是這樣的表述算證明嗎？怎樣證明呢？我決定和同學(xué)們一起回到課本中去.

二、經(jīng)過

課外活動(dòng)，我（記為D）把他們（記為S）叫到辦公室，并讓他們把課本帶著，下面是當(dāng)時(shí)對(duì)話的要點(diǎn)：

D 首先要弄清楚“它是什么”，什么叫函數(shù)的最小值？

S 函數(shù)值沒有比它更小的了，它本身要是函數(shù)值.

D概念你可能是理解的.但是，你怎樣才能很清楚地說明這些呢？你還能以另一種形式表述嗎？比如用數(shù)學(xué)符號(hào)語言.

S這……（搖頭）

D 遇到搞不明白的問題怎么辦？

S 問老師啊.

D 老師不可能總在你身邊啊，除了問老師，還有什么辦法嗎？

S……哦，看課本.

D 那你們現(xiàn)在就——

（同學(xué)們馬上打開了課本，找到課本上的“最小值的概念”：一般地，設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)锳，如果存在x₀∈A，使得對(duì)于任意的x∈A，都有f（x）≥f（x₀），則稱f（x）在x₀處取得最小值f（x₀）

D課本上的定義找到了，你怎樣把定義用到具體的問題上去？

S …

D或者說，要證明本題的結(jié)論，必須要完成怎樣的過程？

（同學(xué)們進(jìn)行了討論，把一般定義落實(shí)到具體的問題上，認(rèn)識(shí)到要證明：對(duì)任意的x∈[a，b]，都有f（x）≥f （c），找到了解決問題的切入點(diǎn).）

D 看來要先設(shè)任意的x∈[a，b]，下面怎樣證明呢？請(qǐng)結(jié)合題目具體條件分析.

S 由于已知“當(dāng)x∈[a，c]時(shí)，f（x）是單調(diào)減函數(shù);當(dāng)x∈[c，b]時(shí)，.f（x）是單調(diào)增函數(shù).”應(yīng)該分x∈[a，c]和x∈[c，b]兩種情況.

D 當(dāng)x∈[a，c]時(shí)，怎樣證明f （x）≥f（c）？“條件f（x）是單調(diào)減函數(shù)”怎樣利用呢？單調(diào)性的定義是什么呢？

（同學(xué)們又一次打開課本，再一次理解“……x₁2