且行且思且運(yùn)算

漆光宗

解析幾何的核心是坐標(biāo)法，這種方法運(yùn)算過程往往比較繁雜，對運(yùn)算能力要求較高，下面通過具體的例子，我們就如何減輕解析幾何運(yùn)算負(fù)擔(dān)的方法、思路與技巧加以探討，以幫助同學(xué)們提高運(yùn)算能力，

一、且審且調(diào)整——巧選變量繁亦簡.

本題要求△ABC面積的最大值，自然會(huì)想到三角形的形狀是變化的，很容易注意到由于k的變化導(dǎo)致了三角形的形狀變化，從而三角形的面積在變化，k-旦確定，三角形的形狀就確定了，其面積也就確定了，因此變量k的值決定了三角形的面積.同學(xué)們一般都會(huì)首先想到先用k表示出S，然后再求其最值.

這一方法，容易人手，但運(yùn)算卻相當(dāng)繁雜.從剛才的解析中，我們明白了一點(diǎn)：為了表示△ABC的面積，應(yīng)先選擇適當(dāng)?shù)淖兞?，而變量的選擇取決于影響確定圖形的因素，剛才的解法是直接選用題設(shè)中的變量k，但函數(shù)解析式較為復(fù)雜，導(dǎo)致最值不易求出.能否考慮另換變量以簡化解題呢？如果改用弦心距為自變量，很明顯，由于設(shè)出的變量即為高，而底（弦長）又極易用高表示，因此運(yùn)算量會(huì)相對較小.

可見，變量的選取不同往往會(huì)導(dǎo)致解題過程難易有別、運(yùn)算繁簡各異.恰當(dāng)選取變量，往往會(huì)讓解題變得更為容易.

二、且數(shù)且圖形——幾何性質(zhì)助解題

在解決與圓有關(guān)的問題時(shí)，如果能夠借助于圓的幾何性質(zhì)，或者畫出圖形，充分利用圖形發(fā)掘幾何特征，往往會(huì)簡化思路，簡便運(yùn)算.

思路二 注意到直徑所對的圓周角為直角這一圓的幾何性質(zhì)，可知直線PM與直線QM互相垂直，其斜率互為負(fù)倒數(shù)，因此只需設(shè)一個(gè)變量k，運(yùn)算將變得簡單明了.因此可以對以上方法做如下優(yōu)化：

設(shè)直線PM的斜率為k，則直線QM的斜率為-1/k.

三、且算且思考——想清“算理”運(yùn)算簡

在一些復(fù)雜的運(yùn)算過程中，時(shí)刻需要以想代算，琢磨透每一個(gè)“算理”，一般不要把中間式子盲目地化簡到底，而是需要在運(yùn)算的過程中，不人為破壞“規(guī)律”，保持好式子結(jié)構(gòu)的“特征”，以便于約分、通分、相消等，否則，往往會(huì)破壞結(jié)構(gòu)規(guī)律，導(dǎo)致運(yùn)算量增大，甚至算不下去.且算且思考，才能真正達(dá)到簡算、巧算的目的.

例3 已知圓C x²+y²=9與x軸的交點(diǎn)分別為A，B.點(diǎn)P為定直線x=4上一動(dòng)點(diǎn)（除去與x軸的交點(diǎn)），設(shè)AP與圓C交于點(diǎn)M，BP與圓C交于點(diǎn)N，問直線MN是否恒過一定點(diǎn)，若是求出定點(diǎn)坐標(biāo)，

解 A（-3，0），B（3，0），設(shè)P（4，t），則直線AP的方程為y=t/7（x+3）.

因?yàn)閗_MH=k_NH，所以M，N，H三點(diǎn)共線，即直線MN經(jīng)過定點(diǎn)H（9/4，o）.

綜上，無論t為何值，直線MN必經(jīng)過定點(diǎn)H（9/4，o）.

本題中求x₁和x₂就沒有直接去解方程，而注意到已經(jīng)知道方程的一個(gè)解（點(diǎn)A或B的橫坐標(biāo)），只需利用兩根之積求得另一根.在本題的整個(gè)運(yùn)算的過程中，并沒有把中間的任何一個(gè)式子化簡到最簡，而是保留好t²+1，t²-1，t²+49，t²-49這些整體結(jié)構(gòu)，在中間過程中，一些數(shù)字和式子的乘積也都沒有乘出來，反而有利于通分和約分，使運(yùn)算得以順利進(jìn)行.

同學(xué)們，在解決解析幾何問題時(shí)，既要重視思路方法，還要注意變量的選取，運(yùn)算技巧，以及圖形特征和幾何性質(zhì)的運(yùn)用，既要有整體和求簡意識，又要養(yǎng)成以想代算，注重“算理”，保持中間式子的結(jié)構(gòu)特征、數(shù)學(xué)規(guī)律不破壞的習(xí)慣.各種策略是相互依存的，在具體解題的過程中往往需要綜合考慮、穿插運(yùn)用、相互補(bǔ)充，才能真正達(dá)到變難為易、化繁為簡的效果.