巧用三角形定則破解相對運動疑難問題

(江蘇省如東縣馬塘中學，江蘇 如東 226401)

在高三力學專題復習階段，關于求解“兩根動直桿交叉點合速度大小和方向”之類的相對運動問題，是學生們感到困惑的難點。事實上，只要根據“運動合成與分解”的基本方法，找準根據、重視過程、巧妙變通，靈活運用與平行四邊形定則本質一致的三角形定則，這類疑難問題就能迎刃而解。

圖1

經典例題:如圖1所示，在同一豎直平面內，直桿甲和乙足夠長，與水平面夾角分別為α=30°、β=45°。當兩桿分別以水平速度v甲=4m/s向右和v乙=6m/s向左在兩桿所確定的豎直平面內平動時，求兩桿交點P的速度。

方法1:應用速度分解，組合新三角形求解。

解題依據：P點實際速度vP按照平行四邊形定則分解，平行四邊形定則又可簡化為三角形定則。對甲桿，如圖2所示，vP分解為沿著甲桿向下分速度v甲1和水平向右分速度v甲。對乙桿，如圖3所示，vP分解為沿著乙桿向下分速度v乙1和水平向左分速度v乙。

圖2

圖3

圖4

方法2：應用速度分解，構造四點共圓求解。

解題依據：如圖5所示，P點速度按平行四邊定法則可進行4次分解：分解為沿著甲桿方向分速度v甲1和水平向右分速度v甲，得矢量△PCE；分解為沿著乙桿方向分速度v乙1和水平向左分速度v乙，得矢量△PDE；兩次正交分解得矢量直角△PAE和△PBE，它們有同一外接圓，即P、A、E、B四點共圓(圓未畫出)，vP為該圓直徑。

圖5

設圖5中vP方向與甲桿夾角為α1，則v1=vPsinα1，代入數據得sinα1≈0.461，即α1≈27.5°，vP與水平方向夾角為α2=α+α1≈57.5°，兩種方法結果一樣。

現對上面兩種解法及結果評析如下：

(1) 解題依據一致。都采用了“運動合成與分解”的思想觀念，靈活運用平行四邊形定則即三角形定則進行矢量運算。

(2) 求解過程推證周密。方法1中由兩個矢量三角形巧妙地合二為一，在新三角形中運用余弦定理和正弦定理，通過求解三角形得解。方法2中靈活變通出兩個矢量直角三角形，且有同一外接圓，用余弦定理和正弦定理推論，求解圓直徑得解。求解過程都是由矢量關系圖與數學定理公式相結合，數學上稱“數形結合”，即物理上的“圖式并用”。

變式訓練：僅將前例中乙桿速度方向改為豎直向上，其他條件不變，求交點P的速度。

方法1：應用速度分解，組合新三角形求解。

圖6

方法2：應用速度分解，構造四點共圓求解。

圖7