基于灰色GM（1，1）—馬爾科夫模型的深圳市生產總值的預測

劉宇翔　喬美英

摘要：城市經濟對一個國家和地區的發展起著龍頭引領作用，生產總值則是衡量經濟實力的一個重要標準。通過對一個城市生產總值的精確預測，可以為城市未來提供經濟決策服務。文章以灰色理論GM（1，1）模型為基礎，有效地結合馬爾科夫模型的預測優點，對深圳市2006～2016生產總值進行了預測研究。依據相對殘差、平均相對誤差和歸一化誤差這三個評價指標，表明灰色馬爾科夫模型預測的結果可以與原始序列很好的擬合，預測精度較高，預測結果可靠，能夠為深圳市未來的經濟決策提供參考依據。

關鍵詞：經濟；生產總值；預測；灰色GM（1，1）；馬爾科夫模型

改革開放以來的四十年間，深圳從一個3萬人的邊陲小鎮快速崛起為現代化的大都市，創造了世界工業化、城市化發展史上的奇跡。如今的深圳，擁有430多萬人口，綜合經濟實力已躋身全國大中城市前列，人均GDP和人均可支配收入躍居首位，已初步成為一個經濟繁榮、法制健全、環境優美、生態優良、文明和諧的現代化城市。生產總值雖不能很精準、全面地表明一個地區的經濟綜合實力，但它畢竟是衡量經濟實力的一個重要的參考指標。因此，以歷史經濟數據為基礎，從實際出發，對深圳市生產總值進行預測，可以深化對經濟活動內在規律的認識，為未來的經濟決策服務。

目前，已有200多種預測方法被提出，有些方法在不同的領域里得到了廣泛的應用，例如，對城市的生產總值預測，可以使用灰色GM（1，1）模型或馬爾科夫模型等。自從鄧聚龍教授提出灰色系統理論以來，已被廣泛運用到各個領域中，且帶來了很滿意的效果。達瓦利用灰色模型對西藏農村未來人均消費支出進行預測，并運用灰色關聯分析的方法，系統地分析了影響消費支出的主要因素。周健等利用灰色GM（1，1）模型對蘭州市的生態安全評價指數進行預警分析。趙卓峰等對原始GM（1，1）模型進行殘差修正，得到了修正GM（1，1）模型，

并用于車流量預測中，結果表明改進后的模型的預測精度有了明顯的提高。資料表明：不管使用GM（1，1）模型還是改進的GM（1，1）模型，其都是根據已有的數據對未知的數據進行的預測，基本屬于單一灰色預測范圍。而灰色理論模型主要適用于時間短、數據少、波動小等類別的預測與預報問題，當數據波動性較大，且需要中長期預測時，其擬合效果較差，預測的精度相對較低。馬爾科夫鏈預測模型的所研究的對象是一個隨機變化的動態系統，主要依據研究系統對象的不同狀態之間的轉移概率來預測或預報系統未來的發展變化，以及反映各隨機因素的影響程度的大小。馬爾科夫鏈預測模型的優勢在于對各隨機序列與具有波動性較大數據序列的預測與預報效果較好，這一優點正好彌補了灰色理論預測的局限。1992年，何勇提出灰色馬爾科夫模型，而灰色馬爾科夫預測模型綜合了灰色模型的分析數據少、精度高、可反映系統長期發展趨勢以及馬爾科夫模型可較好地處理隨機波動性較大的動態過程的優點，其被廣泛應用于航空、瓦斯流量預測、交通等方面。利用單一的灰色GM（1，1）或者馬爾科夫預測模型，來研究或者分析城市生產總值，具有一定的局限性，對數據要求較高，且預測精度較低，因此，筆者將灰色理論中GM（1，1）模型與馬爾科夫模型進行結合，首先采用灰色GM（1，1）模型方法，利用原始數據進行預測，在預測值的基礎上，再使用馬爾科夫模型，進而繼續預測。經過二次預測，就能夠在一定程度上減小某些突變數據對預測模型的影響。實例表明，將灰色GM（1，1）-馬爾科夫模型用于深圳市本地生產總值的預測，具有較高的預測精度，可靠性較好。

一、灰色系統GM（1，1）模型的建立

（一）原始數據的處理

原始時間序列具有一定的隨機性，為弱化此特點，增加其平穩性，要先對原始序列進行預處理。此處用級比檢驗的方法。

1. 設原始時間序列為

X（0）={x（0）（1），x（0）（2），…，x（0）（n）}（1）

2. 計算級比M（K）

M（K）= （2）

3. 對級比進行判斷。對絕多數的M（K），若有M（K）∈（e ，e ），（K=2，3，……，n），則可以使用X（0）作為滿意的GM（1，1）模型的原始數據序列。否則，需要對原始數據進行預處理，其中主要方法有數據開方、取對數和平滑處理。

（二）模型的建立與求解

對原始時間序列做一次累加，

X（1）={x（1）（1），x（1）（2），x（1）（n）}，其中

X（1）（K）= x（0）（i）（3）

（K=1，2，3，……，n）。

GM（1，1）模型的白化微分方程可表示為：

+ax =u（4）

其中，a稱為發展系數；u為灰作用量。

將公式（4）進行離散處理，可得

x（0）（k+1）=a[- （x（1）（k）+x（1）（k+1））]+u（5）

改寫為矩陣形式為：x （2）x （3） ┆x （4）=- （x （1）+x （2）） 1- （x （2）+x （3）） 1 ┆ ┆- （x （n-1）+x （n）） 1au，

即Y=B[a u]T。模型參數a，u可運用最小二乘法求取，即（a，u）T=（BTB）-1BTY，將求取的參數帶入時間響應序列，求出其離散解如公式（6）所示

X^（1）（K+1）=（X（0）（1）- ）e + （6）

再經過累減計算，還原到原始數據的估計值X^（0）（K+1）=（1-e ）[X（0）（1）- ]e （7）

二、灰色系統GM（1，1）-馬爾科夫模型

馬爾科夫鏈是一個隨機的過程，它的系統未來狀態只與現在的狀態有關，而與過去的狀態無關，具有無后效性的良好特點，其這一特點就可以避免當數據出現非時效性時，給預測模型預測精度上帶來的影響。馬爾科夫預測作為一種預測隨機過程的變化規律的技術，是利用其中一種變量的現狀和變動趨勢來預測該變量的未來狀態與變動趨勢的技術。具體步驟如下：

1. 狀態區間Ω的劃分。如果劃分的狀態較少時，則可采取相對保守的預測原則，取灰元區間臨界值的較低值作為預測值。對于一個n階的馬爾科夫不平穩的隨機序列，一般以其相對變化率來劃分狀態，劃分為3～5個狀態最好。

2. 計算狀態轉移的概率矩陣。假設一個事件有n個狀態隨機過程，把它們分別記為E1，E2，E3，…，En，記pij為從狀態i轉移到狀態j的轉移概率（其中i，j=1，2，3，…，n），則可計算出：pij=p{y（k+1）=j|y（k）=i }。當狀態Ei只和狀態Ej有關，而與n無關時，可稱矩陣P=（pij）為轉移矩陣如下表示：

P=pij=p p … p p p … p … … … …p p … p ，

其中，pij≥0且矩陣P中每一行元素之和應等于1。

設系統由狀態Ei經K步轉移到狀態Ej的次數為Mij（k），狀態Ei出現的次數為Mi（k），

則可得出狀態轉移概率矩陣

P = （8）

3. 確定灰色GM（1，1）模型的預測值的相對值所在的狀態區間，將其平均值代替灰色區間作為模型的預測值

X^（t）=0.5（Ωi1+Ωi2）·X（t）（9）

式中Ωi1、Ωi2分別為第i種狀態區間范圍的左右邊界值，i=1，2，3

三、模型的誤差檢驗

1. 殘差序列

δ（k）=X（0）（K）-X^（0）（K），（K=1，2，…，n）（10）

2. 相對誤差序列

Δ（k）= （11）

3. 平均相對誤差序列

p= Δ（k）（12）

4. 歸一化誤差

s（k）= [ δ2（k）] （13）

式中，α為數據的標準差，Nt為樣本總數。

四、深圳市本地生產總值預測的實例分析

根據深圳統計網中的深圳國民經濟和社會發展統計公報，本文采用深圳市2006～2016年本地生產總值（單位：億元）數據作為原始時間序列數據，原始序列為X（t）=（5813，6801，7786，8201，9510，11515，

12971，14572，16001，17502，19492）。

（一）灰色GM（1，1）模型的預測

根據以上灰色GM（1，1）模型，計算出模型參數a和u分別為-0.11643和59040，并將其帶入公式（6），得到離散解為：X^（1）（K+1）=56521e0.11643k-50708，還原到原始數據的估計值為： （0）（K+1）=6212.0874e0.11643k，這樣就可以得到2006～2016年的本地生產總值的預測值，以及相對值和誤差，如表1所示。

（二）馬爾科夫預測模型

1. 狀態區間的劃分

根據表1中的相對值，對深圳市本地生產總值情況進行狀態劃分，劃分為3種狀態，其狀態劃分如表2所示。

2. 建立狀態轉移概率矩陣

根據表1中本地生產總值情況的預測，以及狀態區間的劃分，可以確定狀態出現的次數和狀態轉移概率矩陣。根據公式（8）可計算出3步狀態轉移概率矩陣：

p（1）=0.5 0 0.50.25 0.75 00 0.25 0.25，

p（2）=0.2500 0.1250 0.62500.3125 0.5625 0.12500.0625 0.3750 0.5625，

p（3）=0.1563 0.2500 0.59380.2969 0.4532 0.25000.1250 0.4219 0.4531

3. 生產總值的預測

選取2014、2015、2016年生產總值數據，根據時間先后，分別確定轉移步數為1、2、3，并確定出其對應的狀態轉移概率矩陣。對新的狀態轉移概率矩陣的列分別求和，算出最大的那一列，將其所在列的狀態作為2017年生產總值所在的狀態，如下表3所示。

由表3可以看出，狀態E3所處的概率最大為1.21875，因此可以確定2017年生產總值所在狀態為E3。由公式（7）可以計算出灰色GM（1，1）模型預測的2017年生產總值，再根據公式（9）就可以計算出最終的預測值為22816億元。

（三）兩模型的預測值與實際值的對比分析

灰色GM（1，1）與灰色GM（1，1）—馬爾科夫模型預測的生產總值對比分析如表4和圖1所示。從表4可以看出，灰色馬爾科夫模型預測的相對誤差明顯小于灰色GM（1，1）模型，灰色GM（1，1）模型預測的平均相對誤差為2.76%，灰色馬爾科夫模型預測的平均相對誤差為1.17%。另外，根據公式（13），計算出灰色馬爾科夫模型的歸一化誤差為0.0306，相比于灰色GM（1，1）模型減少了0.05。

同時，從上圖1可以看出，原始數據與預測數據都呈現出一條平滑的上升曲線，體現了生產總值長期增長的良好趨勢，而灰色馬爾科夫預測模型能夠更好的擬合原始數據列，其預測值更接近實際值，可靠性更高，從而可以更好對深圳市本地生產總值預測。

五、結論

1. 本文將經典的GM（1，1）模型與馬爾科夫模型進行結合，充分利用了兩個模型的優點，不僅解決了數據非穩定、波動性與隨機性較大的問題，而且經過仿真實驗表明，相比于灰色模型，灰色GM（1，1）-馬爾科夫模型的平均相對誤差減小了1.59%，歸一化誤差減小了0.5，說明灰色GM（1，1）-馬爾科夫模型預測的精度比單一使用灰色模型預測的精度要高很多，其預測值更加接近實際值，因此，可為城市生產總值的預測提供參考。

2. 從預測結果可以看出，深圳市的生產總值在逐年增加，保持了經濟穩中有進、逐步向好的發展態勢，這為將來經濟發展奠定了良好的基礎。

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（作者單位：劉宇翔，河南理工大學電氣學院；喬美英，河南理工大學電氣學院、煤炭安全生產河南省協同創新中心）