解 直角三角形的應(yīng)用

文 /劉雅菲 扶澤妃

解直角三角形在測量、航空、航海、工程等方面的應(yīng)用廣泛.下面把解直角三角形的應(yīng)用類型歸納如下，供你學(xué)習(xí)時參考.

一、仰角、俯角問題

例1如圖1，兩座建筑物的水平距離BC為60m，從C點測得A點的仰角α為53°，從A點測得D點的俯角β為37°.求兩座建筑物的高度（參考數(shù)據(jù)．

解：過點D作DE⊥AB于E，

則DE=BC=60m.

在Rt△ABC中，

圖1

∴AB=80（m）.

在Rt△ADE中，

∴AE=45（m），

∴BE=CD=AB-AE=35（m）.

答：兩座建筑物的高度分別為80m和35m．

點評：仰角是向上看的視線與水平線的夾角，俯角是向下看的視線與水平線的夾角．解決測量建筑物的高度問題要了解角與角之間的關(guān)系，找到與已知和未知線段相關(guān)聯(lián)的直角三角形.當(dāng)圖形中沒有直角三角形時，要通過作高或垂線構(gòu)造直角三角形，在直角三角形中應(yīng)用三角函數(shù)的定義求解.

二、方位角問題

例2某區(qū)域平面示意圖如圖2，點O在河的一側(cè)，AC和BC表示兩條互相垂直的公路.甲勘測員在A處測得點O位于北偏東45°，乙勘測員在B處測得點O位于南偏西73.7°，測得AC=840m，BC=500m．請求出點O到BC的距離．

解：作OM⊥BC于M，ON⊥AC于N，

則四邊形ONCM為矩形，

∴ON=MC，OM=NC.

設(shè)OM=x，則NC=x，AN=840-x，

在Rt△ANO中，∠OAN=45°，

∴ON=AN=840-x，

則MC=ON=840-x.

在Rt△BOM中，

∵BM+MC=BC，

圖2

解得x=480.

答：點O到BC的距離為480m．

點評：在解決有關(guān)方向角的問題中，有時所給的方向角并不一定在直角三角形中，需要利用兩直線平行或余角的性質(zhì)求出直角三角形的角度，利用三角函數(shù)的定義求解．

三、坡比問題

例3日照間距系數(shù)反映了房屋日照情況．如圖3，當(dāng)前后房屋都朝向正南時，日照間距系數(shù)=L：（H-H1），其中L為樓間水平距離，H為南側(cè)樓房高度，H1為北側(cè)樓房底層窗臺至地面高度．

圖3

如圖4，山坡EF朝北，EF長為15m，坡度為i=1∶0.75，山坡頂部平地EM上有一高為22.5m的樓房AB，底部A到E點的距離為4m．

（1）求山坡EF的水平寬度FG；

（2）欲在AB樓正北側(cè)山腳的平地FN上建一樓房CD，已知該樓底層窗臺P處至地面C處的高度為0.9m，要使該樓的日照間距系數(shù)不低于1.25，底部C距F處至少多遠(yuǎn)？

解：（1）在Rt△EFG中，

∵∠G=90°，

設(shè)EG=4x，則FG=3x，

∵EF=15，

∴5x=15，x=3，

∴FG=3x=9．

即山坡EF的水平寬度FG為9m.

（2）∵L=CF+FG+EA=CF+9+4=CF+13，

EG=4x=12，

H=AB+EG=22.5+12=34.5，H1=0.9，

∴ 日照間距系數(shù)=L：（H-H1）＝，

∵該樓的日照間距系數(shù)不低于1.25，

∴CF≥29．

答：要使該樓的日照間距系數(shù)不低于1.25，底部C距F處至少29m遠(yuǎn)．

點評：坡度是坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比，又叫做坡比.它是一個比值，體現(xiàn)了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常寫成i=1：m的形式．正確將坡比轉(zhuǎn)化為直角三形中兩條直角邊的比是解這類問題的關(guān)鍵.

四、其他問題

例4如圖5，窗框和窗扇用“滑塊鉸鏈”連接，圖7是圖6中“滑塊鉸鏈”的平面示意圖，滑軌MN安裝在窗框上，托懸臂DE安裝在窗扇上，交點A處裝有滑塊，滑塊可以左右滑動，支點B，C，D始終在一直線上，延長DE交MN于點F.已知AC=DE=20cm，AE=CD=10cm，BD=40cm．

（1）窗扇完全打開，張角∠CAB=85°，求此時窗扇與窗框的夾角∠DFB的度數(shù)；

（2）窗扇部分打開，張角∠CAB=60°，求此時點A，B之間的距離（精確到0.1cm）．

圖5

圖6

圖7

解：（1）∵AC=DE=20cm，AE=CD=10cm，

∴四邊形ACDE是平行四邊形，

∴ AC∥DE，

∴∠DFB=∠CAB，

∵∠CAB=85°，

∴∠DFB=85°.

（2）如圖7，作CG⊥AB于點G，

∵AC=20，∠CGA=90°，∠CAB=60°，

∵BD=40，CD=10，

∴CB=30，

∵BG2=BC2-CG2，

即A，B之間的距離為34.5cm．

點評：解實際問題的思考方法是：①將實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題（畫出平面圖形，構(gòu)造出直角三角形，把實際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題，本題給出了平面圖形）；②根據(jù)題目已知條件選用適當(dāng)銳角三角函數(shù)或邊角關(guān)系去解直角三角形，得到數(shù)學(xué)問題的答案，從而得到實際問題的答案．