如何講好曲線的凹向及拐點這一節課

摘 要 曲線的凹向是高等數學在實際問題中應用最為廣泛的數學概念之一，在教學中如何講好這一節課，讓學生能正確理解這一數學概念，是本文的要點。

關鍵詞 函數的單調性 曲線的凹向 拐點

中圖分類號：G642 文獻標識碼：A

導數在高等數學中是一個十分重要的數學概念，在實際問題中，導數的應用非常廣泛。曲線的凹向是導數的應用這一章節中的重要內容。如何講好這一節課，使學生能夠直觀的正確的理解這一數學概念。下面我談一談在這一節課的教學中自己的一點體會。

1對教材進行客觀的分析

（1）本教材是21世紀高等教育公共基礎課規劃教材，由南京大學出版社出版，作者：趙文正、夏安銘。本教材以掌握概念、強化應用為出發點，注重講清概念、減少論證，加強對學生基本運算能力和分析問題、解決問題能力的培養。因此在教學中一定要把握好“直觀理解”這個度。

曲線的凹向及拐點是高等數學研究的重要內容之一，在教材的第三章第六節，它研究的是曲線的彎曲方向，在實際應用中有著廣泛的意義。通過對曲線的凹向及拐點的研究，能更準確的描繪出函數的圖象，反映了函數的變化情況，揭示了函數變化的一種性態，為我們以后高等數學的學習與研究打下了堅實的基礎。

（2）教學重點、難點。

教學重點：曲線的凹向及拐點的定義。

教學難點：曲線的凹向及拐點的實際應用。

解決問題的關鍵是如何運用曲線的凹向及拐點的定義及判別法，在授課中要講清判別法的實際意義及作用，求函數拐點的具體步驟。

（3）教學目標：

①知識目標：正確地掌握曲線的凹向及拐點的定義、定理及判別法，曲線的凹向及拐點的具體應用和實際意義。

②能力目標：培養學生正確的思維方式，正確地運用定義、定理解決實際問題。

③情感目標：培養學生嚴謹的學習習慣，認真求實的學習態度，提高學生學習數學的積極性，培養學生辯證唯物主義的科學思想————量變與質變。

2準備好復習的內容，復習內容要緊扣本節課的概念

（1）高等數學在高職高專的教學課程中是一門基礎學科，學生在學習過程中可能興趣不高或學習不太認真。

（2）學生對導數的概念理解不深，尤其是對導數的幾何意義理解的不透，可能會導致學生在學習本節課中，出現思維障礙。因此，本節課復習的內容是：

①導數的概念：重點講清導數的函數的導數指的是函數的變化率，它反映了函數在某一點變化的快慢程度。

②導數的幾何意義：講清的意義是曲線在點處切線的斜率。而是曲線在任意點處切線的斜率，又稱為導函數。讓學生建立起導函數的概念。

3對本節課教法的探討

（1）本節課是以講解曲線的凹向及拐點的定義為教學重點，繼而推出定理及判別法。定義和定理都是直接給出的，不需作理論上的證明，因此，本節課應該選用講練結合的方法。在講解的過程中，語言要富有啟發性，重點、難點要突出，定義要準確，啟發學生獨立思考，正確理解曲線的凹向及拐點的所有內涵。

（2）借用教具，做出直觀的幾何圖形，加強學生對曲線的凹向及拐點的理解，讓學生充分理曲線的凹向及拐點的抽象的意義和直觀意義。

首先讓學生觀察上述函數的兩種單調遞增情況，啟發學生注意曲線與切線的位置關系，從而得出上凹與下凹的定義。

第二，觀察上凹時不同點處曲線切線傾斜角的變化情況，由公式得出曲線切線斜率是單調遞增的。再利用復習內容得出函數的導函數是單調遞增的，由函數單調性的判別法當時，函數單調遞增。得出如果當導函數單調遞增時，就應，進而得出當時曲線上凹結論。以此類推得出當時，曲線下凹。

第三，在講授判別法時要做出函數的示意圖，通過圖形中函數切線斜率的變化情況，來理解上凹、下凹的規律，讓學生理解指得是曲線切線的斜率，指得是曲線切線斜率的變化率，從而正確理解曲線上凹與下凹的意義。

4啟發學生利用直觀分析的方法去得出結論

（1）讓學生正確理解定義、定理，理解時，曲線為上凹，時，曲線為下凹的含義，再引出拐點的定義及求拐點的具體方法。要講清拐點是坐標平面上的一個點，要有橫縱坐標，即。在講授完定義之后，引出一道相關的例題加以講解，再出示一道相關的習題讓學生練習，提高學生對定義的認識。

例1：求曲線的凹向區間及拐點.

練習：求曲線的凹向區間及拐點.

（2）指導學生利用定理、定義處理習題中出現的問題，解題時要注意函數的定義域、極值點、單調區間、凹凸性等等，啟發學生獨立思考，針對實際問題加以論證，做到講練結合。

5教學過程分析

（1）講述曲線的凹向及拐點在高等數學中的重要作用。

（2）授課格式：

①復習導入：導數的定義、導數的幾何意義。

②導入課題：函數的彎曲方向。

③展示課題：定義1，作出圖示說明。

④概括定義：凹性的判別法，拐點的定義及具體求法。

⑤課堂練習：教師指導，學生練習，講解帶有共性的習題。

⑥課堂總結：

（i）曲線的凹性及拐點的定義；

（ii）曲線的凹性及拐點的判別法；

（iii）練習中出現的問題。

⑦布置作業：作業題要針對本次授課的內容。

以上是我對本次課授課情況的一點體會。