基于擾動補償自適應的Hexapod微激勵系統低頻振動控制

沈靖豪，黃 海，張 澤

（1.北京航空航天大學 宇航學院，北京 100191； 2.貴州大學 機械工程學院，貴陽 550025）

0 引言

空間飛行器在軌運行期間會產生難以避免的微振動，雖然該振動幅值很小，對精密設備的影響卻是極其顯著的。為了研究微振動對航天器上有效載荷的影響以及驗證相應隔振系統的有效性和可靠性，需要設計微激勵設備來模擬空間環境中的微振動。Hexapod平臺是一種六自由度并聯機構[1]，能夠同時產生六自由度的振動激勵，具有定位精度高、剛度大、結構穩定、承載能力強、自身慣量小、動態特性好等特點，可以模擬復雜振動環境，被廣泛應用于各類振動試驗設備設計中，如美國空軍實驗室的高頻振動臺[2]及MTS公司的Model 353[3]振動臺。

如何有效控制Hexapod平臺產生期望的振動信號一直是研究的重點。文獻[4]提到的三參量（位移、速度和加速度）控制是多自由度振動臺控制器中最常見的控制算法，但在應用時需要對其中的6個參數反復手動調節，致使控制效率低下；文獻[5]指出在基于動力學的控制方法中，六自由度運動平臺的動力學模型精度很重要，而實際系統往往難以精確建模，由此引入的模型誤差降低了控制精度；文獻[6]針對Hexapod平臺中非線性特性引起的諧波失真提出的自適應諧波消除算法，必須根據實驗結果中所有的諧波頻率來對應設計每一個頻率的諧波消除器，故當諧波頻率繁雜時難以取得理想效果。

為有效解決以上問題，本文基于自適應控制，針對其穩定條件，提出了一種擾動補償自適應控制器。該控制器將系統的相位滯后特性看作內部擾動，將其和系統的外擾一同作為系統總擾動加以補償，既不需要被控對象和擾動的精確數學模型，也不需要反復手動調節參數，通過自適應算法即可使系統輸出信號與參考信號保持一致。

1 控制器設計

1.1 基于LMS濾波器的自適應控制

自適應濾波器由系數可調的數字濾波器和自適應控制算法2部分組成，通過某種自適應算法對濾波器系數進行調整，以獲得期望響應。本文選用的自適應算法為最小均方（least mean square,LMS）算法。該算法的系數迭代更新公式[7]為

其中：w(n)為權系數，w(n)=[w1(n),w2(n)]T；μ為收斂系數；x(n)為參考信號，x(n)=[x1(n),x2(n)]T=[cos(2πf0n),sin(2πf0n)]T；e(n)為誤差信號。

相應地，應用該算法進行權系數更新的線性自適應濾波器稱為LMS自適應濾波器（LMS濾波器）。圖1所示為利用LMS濾波器在單輸入單輸出（SISO）系統中進行定頻正弦振動激勵的控制框圖。

圖1 基于LMS濾波器的自適應控制Fig.1 Adaptive control based on LMS filter

圖1中，u(n)和y(n)分別為對象的輸入和輸出信號，u(n)=wT(n)x(n)；振動激勵系統期望產生的振動信號為任一正弦信號

其中：D為振幅；f0為頻率；γ為初始相角。

假設控制對象在頻率f0處的幅頻特性值為A、相頻特性值為φ，若誤差信號e(n)=d(n)-y(n)=0，則輸出信號y(n)=d(n)=Dsin(2πf0n+γ)，那么控制信號u(n)應該滿足：

然而，實際控制對象的幅頻和相頻特性難以精確獲知，無法通過式(4)直接求得，故由式(1)迭代求解，將它們分別與相應參考信號相乘并相加后輸入系統，便可獲得期望的輸出信號。

但該算法的缺點是對控制對象的相頻特性要求很高，式(1)迭代收斂的條件為考慮到μ＞0，A＞0，相頻特性φ的絕對值應為(0,90°)，且當φ的絕對值越接近90°，μ的收斂域越小，因而控制頻帶寬度受限；并且從式(3)可以看出，參考信號頻率單一，無法應對由系統非線性特性產生的諧波失真以及系統外部干擾等造成的復雜情況。因此，需要從改變對象本身頻率特性出發，輔以補償系統擾動，引入線性自抗擾技術。

1.2 線性自抗擾技術

文獻[8]以線性化形式設計自抗擾控制器，提出線性自抗擾控制（linear active disturbance rejection control,LADRC）。對于SISO系統，典型二階線性自抗擾控制器結構如圖2所示。

圖2 二階線性自抗擾控制器結構Fig.2 Two-order linear active disturbance rejection control

二階線性自抗擾控制器各參數為

其中：z1、z2和z3分別為輸出的觀測項、輸出變化的觀測項和觀測擾動項；β1、β2和β3為各狀態觀測器系數；b為補償因子；kp、kd分別為PD調節器的比例系數和微分系數。

線性自抗擾技術本身也可應用于正弦振動控制中，但其在某個頻點為獲得高精度而設定好的參數應用于其他頻點時往往效果不理想，需要重新調節參數；而本文提出的控制算法將其與自適應算法結合，無須調節參數即可在寬頻帶實現高精度的正弦信號追蹤，具體對比見本文第2章。

1.3 擾動補償自適應控制算法

本文針對基于LMS濾波器的自適應控制的收斂要求，從改變對象本身頻率特性的角度出發，提出擾動補償自適應控制算法（active disturbance rejection with adaptive control,ADRAC）來實現更寬頻帶的SISO系統的高精度輸出，算法結構如圖3所示。算法包括線性自抗擾和自適應控制2個部分：線性自抗擾作為內環，將被控對象相位滯后特性看作對象內部擾動，通過主動觀測補償，改善對象的相頻特性，進而提高自適應控制時對象的可控頻帶寬度，以實現期望的頻帶寬度；除此以外，狀態觀測器（LESO）的引入還能有效觀測系統外部擾動并進行補償，增強系統抗外界擾動的能力，從而提高自適應控制應對復雜情況的能力，提高控制的精度?；贚MS濾波器的自適應控制作為外環控制，其輸出并不直接作用于對象，而是作用到調節相頻特性后的系統上，最終實現對期望信號的跟蹤控制。

圖3 擾動補償自適應控制Fig.3 Active disturbance rejection with adaptive control

下面以具體對象為例，詳細說明新設計的擾動補償自適應控制器如何實現改變對象頻率特性以拓寬自適應可控頻帶，及其在抗擾能力上的優勢。

1.3.1 拓寬可控頻帶

以傳遞函數

所示的二階系統為對象，其幅頻和相頻響應曲線（即波特圖）如圖4實線所示。

由圖4可知，該對象在3 Hz左右相位滯后便大于90°，因此自適應穩定頻率上限小于3 Hz，不滿足實際需求。通過調整擾動補償參數[b,ω0,kp,kd]，可以實現對對象頻率特性的調節，其中補償因子b反 映了對象系統的固有特性，是決定補償強弱的因子。對理想二階系統，b是系統傳遞函數分子上的常系數[9]，因此這里的b=400。文獻[10]給出了用帶寬概念確定觀測器系數的簡便方法：觀測器的特征多項式為

為了更好地估計對象的狀態和總擾動，觀測器系數的選取應當使得特征多項式穩定，而穩定且有較好過渡特性的特征多項式形式[10]為

因此，為獲得穩定的狀態觀測器，觀測器系數應選取為

通過選取不同的ω0可以使得觀測器的頻率特性發生改變。一般情況下ω0的適應范圍很廣，這里主要針對對象相頻特性的調節結果來選取。

根據圖4所示的系統相頻特性，調節擾動補償參數，使得系統相頻曲線在(-90°,90°)區間的頻帶滿足實際需求，且盡量遠離邊界，以滿足自適應控制收斂的必要條件。最終參數設置為[b,ω0,kp,kd]=[400,100,20,0.2]。調整后系統的幅頻特性曲線如圖4虛線所示，系統相位滯后達到90°的頻點約在40 Hz，遠大于之前的3 Hz，實現了針對該對象拓寬自適應可控頻帶范圍的目的。

擾動補償參數[b,ω0,kp,kd]的取值不是唯一的，例如對于補償因子b， 假設b的 理想值為b?，實際運用中當b∈[0.1b?,10b?]或更大的范圍都能滿足穩定[9]。圖5是在參數成倍變化時對象的波特圖，可見針對系統的相頻要求，擾動補償參數有很寬的適應范圍。這說明按相頻特性要求尋找到合適的擾動補償參數并不困難，且這種對參數的不敏感體現了算法的魯棒性。

圖5 不同參數設置下系統波特圖Fig.5 Bode plots for different parameters

1.3.2 抗擾性

仍以傳遞函數式(6)為仿真對象，仿真程序通過MatLab/SimuLink軟件編寫。線性自抗擾控制中同名參數設置均與1.3.1節的擾動補償參數設置一致，自適應收斂系數設置為0.001，采樣頻率3200 Hz。期望信號為幅值為1 mm的1 Hz正弦信號。

1）對象無干擾，即擾動D(t)=0，穩定后3種控制仿真結果的誤差如圖6所示?？梢钥吹?，自適應與擾動補償自適應中由于控制器中具有“自我求解”能力的自適應算法的存在，誤差基本為0；而同擾動補償參數的線性自抗擾控制器還存在著幅值約為0.02 mm的誤差。

圖6 3種控制仿真的誤差對比（無干擾）Fig.6 Errors in three different simulations

2）對象有干擾

然而實際微激勵系統受到外界干擾，如摩擦等影響，輸出中存在著諧波（參見圖7），同時系統的不完全卸載造成位移上存在一定量的偏置。

圖7 實際微激勵系統1 Hz、z向0.4 mm平動自適應控制位移響應（頻域）Fig.7 Actual displacement error of adaptive control in frequency domain

從圖7分析可知，外界干擾可以表示為

其中：A為期望正弦信號幅值；f為期望正弦信號頻率。

在對象輸出端加入如式(10)的擾動，穩定后3種控制仿真結果的誤差如圖8所示?？梢钥吹?，基于LMS的線性自適應控制器對控制對象輸入信號單一，對于擾動無補償能力，誤差峰-峰值高達0.18并且存在著0.05的偏置；線性自抗擾控制與擾動補償自適應控制中存在對擾動具有觀測能力的線性狀態觀測器（LESO）以及相應補償措施，其誤差結果無常量偏置，線性自抗擾的誤差峰-峰值略大于0.03，擾動補償自適應的誤差峰-峰值略小于0.03。

圖8 3種控制仿真的誤差對比（有干擾）Fig.8 Errors in three different simulations

綜合1.3.1節中對于擾動補償自適應控制器中算法對控制對象頻率特性調節能力的說明，擾動補償自適應算法在有效改變控制對象頻率特性的同時，還能夠實現對輸出端擾動的觀測和補償，提高控制精度。

2 Hexapod微激勵系統振動控制聯合仿真

Hexapod多自由度微激勵系統屬于多輸入多輸出（MIMO）系統。圖9為Hexapod平臺多自由度微激勵系統及針對其于Adams軟件中搭建的相應仿真模型。

圖9 Hexapod平臺多自由度微激勵系統及其仿真模型Fig.9 Diagram and Adams model of Hexapod platform

微激勵系統在低頻段時，加速度傳感器的響應很小，控制中主要采用位移反饋，其控制框圖如圖10所示：以上平臺各自由度的位移為期望信號，通過運動學反解得到各作動桿的位移期望信號，從而將多輸入多輸出控制問題轉化為多個單輸入單輸出控制問題；各桿位移期望信號與該桿實際位移的誤差輸入擾動補償自適應，同時實際位移信號作為擾動補償自適應中狀態觀測器的輸入，并將與所期望產生的振動同頻率的單位正弦和余弦信號作為擾動補償自適應的參考信號輸入，即可得到各作動桿的控制輸入。

圖10 擾動補償自適應低頻控制框圖Fig.10 Low-frequency control using ADRAC

仿真設定：激勵系統臺體沿z向平動，期望信號為幅值0.4 mm正弦信號，前10 s為0.5 Hz定頻仿真，10 s后掃頻仿真，掃頻頻率0.5～20 Hz、速率0.5 Hz/s，自適應收斂系數0.005，線性自抗擾參數及擾動補償自適應中擾動補償參數設置均為[b,ω0,kp,kd]=[400,100,2.5,0.1]。聯合仿真結果如圖11和圖12所示。

圖11 自適應仿真z向位移響應誤差Fig.11 z-direction displacement error in adaptive control simulation

圖12 線性自抗擾和擾動補償自適應仿真z向位移響應誤差Fig.12 z-direction displacement error in LADRC and ADRAC simulation

由圖11可以看到，自適應控制很快發散，臺體z向運動量遠超模型設計值，模型解構。這表明基于LMS濾波器的自適應控制應用于Hexapod多自由度微激勵系統低頻控制可控頻帶非常窄，上限小于0.5 Hz。

由圖12可見，擾動補償自適應掃頻時由于自適應算法迭代需要一定的時間，所以誤差（峰值0.008 mm）相對于定頻時大一些；在49 s掃頻結束后，算法很快恢復定頻時的更高精度（誤差峰值0.001 mm）。圖13顯示，對于仿真模型的力輸入符合運動學規律，證明仿真無誤。

圖13 擾動補償自適應仿真中的模型輸入量Fig.13 Input in ADRAC simulation

圖11 與圖12實線對象的差異，驗證了擾動補償自適應應用于Hexapod多自由度微激勵系統以拓寬控制頻帶的有效性。圖12虛線對象驗證了在1.2節所提的線性自抗擾對于正弦振動控制，在不調節擾動補償參數的情況下，難以在寬頻帶實現高精度的正弦信號追蹤的缺陷；其與圖12實線對象的對比，驗證了擾動補償自適應無須反復調節參數的優越性。

聯合仿真的結果證明了擾動補償自適應控制算法用于Hexapod多自由度微激勵系統的可行性與高效性。對比3種控制算法的聯合仿真結果，擾動補償自適應控制算法在改變控制對象頻率特性、拓寬自適應控制頻帶的同時，實現了對Hexapod多自由度微激勵系統的高精度控制。

3 實驗驗證

實驗于如圖14所示的Hexapod平臺多自由度微激勵系統上進行。

圖14 Hexapod平臺多自由度微激勵系統實物Fig.14 Picture of the Hexapod platform

自適應算法因穩定條件中對被控對象相位延遲的要求而限制了其在工程上的應用，經典的超前校正環節[11]與擾動補償自適應中的線性自抗擾環節一樣具有調節被控對象頻率特性的作用，可以盡量減小校正環節與被控對象構成的廣義控制對象的相位延遲，從而使得基于LMS濾波器的自適應控制能夠應用于Hexapod多自由度微激勵系統低頻控制中。圖15為引入超前校正的自適應控制框圖。

圖15 引入超前校正的自適應低頻控制框圖Fig.15 Low-frequency control diagram using adaptive control with lead correction

利用已有的Hexapod多自由度微激勵系統，應用上文所述的擾動補償自適應及引入超前校正環節的自適應搭建實時控制系統進行實驗，驗證控制策略的有效性。實驗中自適應收斂系數為0.005，擾動補償參數設置為[b,ω0,kp,kd]=[400,100,8,0.5]。臺體沿z向平動，期望信號為幅值0.4 mm的1 Hz正弦信號。擾動補償自適應控制的實驗結果見圖16?？梢钥闯?，仿真中所添加的干擾近似地模擬了實際工況中的干擾，實驗在控制上取得了與仿真相近的結果，為探究Hexapod多自由度微激勵系統干擾模型的建立提供了一定經驗。

擾動補償自適應控制與引入超前校正環節的自適應控制的對比（圖17）證明，兩者均能有效調節被控對象頻率特性，使得自適應控制得以應用于Hexapod多自由度微激勵系統低頻控制中；但前者在調節被控對象頻率特性的同時，可以有效補償系統所受外部擾動，獲得更高的控制精度，誤差峰-峰值僅為0.035 mm，而后者的自適應控制的誤差峰-峰值為0.15 mm；并且前者消除了常量偏置。同時，由圖18可以看到，擾動補償自適應控制取得所需的工作頻帶（實驗做到25 Hz），未發散。

圖17 引入超前校正的自適應和擾動補償自適應z向位移響應誤差對比Fig.17 z-direction displacement error in experiments of adaptive control with lead correction and ADRAC

圖18 擾動補償自適應25 Hz定頻z向位移響應誤差Fig.18 z-direnction displacement error in the ADRAC experiment

4 結束語

本文以二階系統為對象，詳細介紹了擾動補償自適應控制如何針對對象相頻特性，調節算法中的擾動補償參數，拓寬自適應可控頻帶，以獲得期望的控制頻帶。通過有無干擾的仿真對比，體現了擾動補償自適應算法相比于改進前的自適應算法在抗擾性上的優勢。

以Hexapod多自由度微激勵系統為對象的仿真和實驗結果表明，擾動補償自適應控制算法相比于單獨使用線性自抗擾算法，以及引入超前校正環節的自適應算法，在低頻控制時能夠更有效地實現所需頻帶高精度正弦微振動信號復現，顯示出該控制算法的實際工程應用價值。