長度為奇素?cái)?shù)的完備高斯整數(shù)序列構(gòu)造法

李玉博，陳邈，劉濤，張穎

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長度為奇素?cái)?shù)的完備高斯整數(shù)序列構(gòu)造法

李玉博1,2，陳邈1,2，劉濤1,2，張穎1,2

（1. 燕山大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，河北 秦皇島 066004； 2. 河北省信息傳輸與信號(hào)處理重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，河北 秦皇島 066004）

提出一類基于分圓類構(gòu)造完備高斯整數(shù)序列的方法。分別通過有限域()上的2階和4階分圓類，構(gòu)造得到自由度分別為3和5的高斯整數(shù)序列，序列長度為奇素?cái)?shù)，該序列具有良好的完備自相關(guān)性能。該構(gòu)造方法解決了以往利用分圓類計(jì)算復(fù)雜度較高，不易求解的問題，簡化了序列的生成方法。該序列在無線通信中具有良好的應(yīng)用前景。

完備高斯整數(shù)序列；偽隨機(jī)序列；分圓類；離散傅里葉變換

1 引言

為避免分圓類構(gòu)造高斯整數(shù)序列時(shí)方程組不易求解的問題，本文根據(jù)完備序列的離散傅里葉變換均為恒模序列的性質(zhì)，在頻域上進(jìn)行構(gòu)造，得到完備高斯整數(shù)序列。首先利用分圓類在時(shí)域上得到幾乎完備序列，將其轉(zhuǎn)換到頻域得到譜序列，然后通過在零點(diǎn)處進(jìn)行補(bǔ)值的方式，使其成為恒模序列，并經(jīng)離散傅里葉逆變換得到完備高斯整數(shù)序列。該方法與文獻(xiàn)[16]中的構(gòu)造方法相比，簡化了構(gòu)造高斯整數(shù)序列所需滿足的條件，避免了非線性方程組的求解問題，使構(gòu)造方法更加簡便。但采用本文的構(gòu)造方法所構(gòu)造出的完備高斯整數(shù)序列的長度有限制，只能構(gòu)造出序列長度為奇素?cái)?shù)的完備高斯整數(shù)序列。

2 基本概念

若為偶數(shù)，其2階分圓數(shù)為

表1 f為奇數(shù)時(shí)的4階分圓數(shù)

表2 f為偶數(shù)時(shí)的4階分圓數(shù)

通過上述分圓類可以構(gòu)造幾乎完備序列，且這類幾乎完備序列經(jīng)過離散傅里葉變換之后的譜序列具有除零時(shí)刻外，其余時(shí)刻的模值均相等的性質(zhì)。通過在零時(shí)刻進(jìn)行補(bǔ)值，使其滿足恒模條件，對(duì)構(gòu)造后的譜序列進(jìn)行離散傅里葉逆變換可以得到完備序列。

其中，為模值。

3 完備高斯整數(shù)序列構(gòu)造

本節(jié)介紹了兩種構(gòu)造方法，分別利用2階分圓類和4階分圓類構(gòu)造自由度為3和5，序列長度為奇素?cái)?shù)的完備高斯整數(shù)序列。首先通過經(jīng)典分圓類的方法構(gòu)造出幾乎完備序列，然后利用DFT得到其譜序列，最后將該序列構(gòu)造為恒模序列，并將序列進(jìn)行IDFT，得到時(shí)域序列。由引理4可知，所得時(shí)域序列即為完備高斯整數(shù)序列。

構(gòu)造法1

由上述討論可知，引理5成立。

證畢

定理1通過2階分圓類產(chǎn)生的幾乎完備序列轉(zhuǎn)換到頻域，并采用零點(diǎn)補(bǔ)值的方法使其成為恒模序列，根據(jù)再經(jīng)IDFT轉(zhuǎn)換到時(shí)域，由引理4得到自由度為3的完備高整數(shù)序列。

自相關(guān)值分布如下。

構(gòu)造法2

證明 分以下兩種情況討論。

將式(18)中的進(jìn)行化簡得

同理可以求出為

綜上可得

自相關(guān)函數(shù)值分布如下所示。

4 分析與對(duì)比

通過對(duì)上述構(gòu)造方法所得結(jié)果進(jìn)行總結(jié)，可以得到如表3所示結(jié)果，表3中列舉了一些自由度分別為3和5、長度不同的完備高斯整數(shù)序列所需滿足的和的值。

表3 不同長度完備高斯整數(shù)序列

該方法與文獻(xiàn)[16]的方法相比明顯簡化了序列的生成方法。在文獻(xiàn)[16]中分別給出了利用2階和4階分圓類構(gòu)造完備高斯整數(shù)序列的方法及其滿足條件，但是在文中利用4階分圓類構(gòu)造完備高斯整數(shù)序列時(shí)只給出了所需滿足的方程組，而沒有進(jìn)行求解。當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，4階分圓類構(gòu)造高斯整數(shù)序列所需滿足的條件如式(24)所示，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，4階分圓類構(gòu)造高斯整數(shù)序列所需滿足的條件如式(25)所示。

5 結(jié)束語

本文提出了一類完備高斯整數(shù)序列的構(gòu)造方法。該方法通過2階和4階分圓類能夠構(gòu)造出自由度為3和5、序列長度為奇素?cái)?shù)的完備高斯整數(shù)序列。根據(jù)完備序列經(jīng)DFT得到的譜序列為恒模序列的性質(zhì)，首先采用分圓類構(gòu)造序列()，通過對(duì)其譜序列在零時(shí)刻進(jìn)行補(bǔ)值，使其成為恒模序列。再將該譜序列進(jìn)行IDFT得到時(shí)域序列，則該序列即為完備高斯整數(shù)序列。該方法與同類方法相比具有構(gòu)造方法簡單的優(yōu)點(diǎn)，通過對(duì)序列在頻域進(jìn)行操作，解決了利用分圓類構(gòu)造高斯整數(shù)序列時(shí)計(jì)算量大、非線性方程組不易求解的問題。從目前情況來看，具有高自由度的完備高斯整數(shù)序列構(gòu)造方法并不多，本文方法僅得到了自由度為3和5的完備高斯整數(shù)序列。因此研究具有更大自由度的完備高斯整數(shù)序列是一個(gè)有意義的方向。

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Constructions of perfect Gaussian integer sequences of odd prime length

LI Yubo1,2, CHEN Miao1,2, LIU Tao1,2, ZHANG Ying1,2

1. School of Information Science and Engineering, Yanshan University, Qinhuangdao 066004, China 2. The Key Laboratory of Information Transmission and Signal Processing of Hebei Province, Qinhuangdao 066004, China

Constructions of perfect Gaussian integer sequences (PGIS) based on the cyclotomic classes were proposed. The PGIS with degree 3 and 5 were constructed respectively from the cyclotomic classes of order 2 and 4. The presented sequences with odd prime length have ideal autocorrelations. The methods solved the problem that the traditional constructions of PGIS from the cyclotomic classes have high computational complexity. As a result, this kind of sequences will be useful in the applications of wireless communications.

perfect Gaussian integer sequence, pseudo-random sequence, cyclotomic classes, discrete Fourier transform

TN911.2

A

10.11959/j.issn.1000?436x.2018230

李玉博（1985?），男，河北衡水人，博士，燕山大學(xué)講師，主要研究方向?yàn)榫幋a理論、序列設(shè)計(jì)、信息處理。

陳邈（1993?），男，河北唐山人，燕山大學(xué)碩士生，主要研究方向?yàn)闊o線通信、序列設(shè)計(jì)。

劉濤（1987?），女，河北秦皇島人，燕山大學(xué)博士生，主要研究方向?yàn)榻M合編碼、信息安全、序列設(shè)計(jì)。

張穎（1997?），女，山西平定縣人，本科生，主要研究方向?yàn)闊o線通信、編碼理論。

2017?10?24；

2018?09?26

李玉博，liyubo6316@ysu.edu.cn

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（No.61501395）

The National Natural Science Foundation of China (No.61501395)