PBL剪力鍵的彈性靜力解析解

司秀勇，劉麗芳，肖 林

(1.燕山大學(xué) 建筑工程與力學(xué)學(xué)院，河北 秦皇島 066004; 2.西南交通大學(xué) 土木工程學(xué)院, 四川 成都 610031)

由于PBL剪力鍵具有良好的剛度、延性以及疲勞性能，近年來PBL剪力鍵在鋼混組合結(jié)構(gòu),尤其是橋梁鋼混結(jié)合段中的應(yīng)用越來越廣泛[1-3]。

目前，國內(nèi)外學(xué)者對PBL剪力鍵的承載能力的研究，主要集中于其靜力性能如強(qiáng)度與剛度[4]，研究方法多以試驗(yàn)尤其是推出試驗(yàn)為主[5-6]。也有一些學(xué)者采用有限元方法進(jìn)行分析[7-8]，但由于PBL剪力鍵在傳力過程中的高度非線性行為，理論分析的難度較大，相關(guān)研究較少。

本文基于Airy應(yīng)力函數(shù)和Winkler彈性地基梁理論，進(jìn)行鋼混組合結(jié)構(gòu)中PBL剪力鍵在工作狀態(tài)下的彈性靜力解析解研究。

1 力學(xué)模型的建立

圖1為鋼—混結(jié)合段中PBL剪力鍵推出試驗(yàn)的結(jié)構(gòu)簡圖。

在加載初期，貫穿鋼筋基本不參與工作，主要是由混凝土榫提供抗力；PBL剪力鍵加載中期和加載后期的抗力則主要由貫穿鋼筋提供，此時(shí)混凝土榫剪切失效，退化為只傳遞壓力的混凝土圓環(huán)[9]。由于鋼板的厚度遠(yuǎn)小于混凝土板的厚度。鋼板及鋼板內(nèi)PBL剪力鍵部分在該方向上的位移受到混凝土巨大剛度的限制，可以將其簡化為一個(gè)平面應(yīng)變問題，如圖2所示；鋼板平面外埋置于混凝土之內(nèi)的貫穿鋼筋，可以用彈性支撐于混凝土中的Winkler地基梁模擬，如圖3所示。

圖1 PBL剪力鍵的一般構(gòu)造

圖2 混凝土圓環(huán)平面圖

圖3 貫穿鋼筋的Winkler地基梁模型

2 混凝土圓環(huán)力學(xué)分析

位于鋼板平面之內(nèi)PBL剪力鍵，可以將混凝土榫的受力等效為平面應(yīng)變狀態(tài)的厚壁圓環(huán)，環(huán)的內(nèi)外壁承受關(guān)于x軸的對稱分布荷載。

該問題的解析解可借助于采用極坐標(biāo)表示的Airy應(yīng)力函數(shù)的一般形式得到。

2.1 基本方程的建立

建立如圖4所示的混凝土圓環(huán)的力學(xué)模型，坐標(biāo)原點(diǎn)O取在圓環(huán)中心，建立r和θ為坐標(biāo)的極坐標(biāo)系。圖中：F1為垂直且指向圓環(huán)內(nèi)表面的分布力的合力，其分布集度設(shè)為q1(θ)，分布范圍為[-β1,β1]；F2為垂直且指向圓環(huán)外表面的分布力的合力，其分布力集度為q2(θ)，分布范圍為[-β2,β2]。

圖4 混凝土圓環(huán)的受力狀態(tài)簡化模型

根據(jù)混凝土圓環(huán)受力平衡條件，有

F1=F2

(1)

其中，

式中：t為鋼板厚度。

借助于Airy應(yīng)力函數(shù)Φ可以得到滿足采用極坐標(biāo)(r,θ)表示的相容方程為

(2)

應(yīng)力邊界條件為

(3)

式中：σr和τrθ分別為混凝土圓環(huán)沿徑向和環(huán)向的應(yīng)力。

q1(θ)和q2(θ)關(guān)于x軸對稱分布，都是偶函數(shù)，可以展成傅里葉級數(shù)為

(4)

式中：A0，Ai，B0和Bi為待定系數(shù)，且有

(5)

假設(shè)q1(θ)和q2(θ)為按拋物線形式分布，則可以表示為

(6)

式中：q10和q20為分布載荷的極大值。

由式(6)和式(1)，可以得到q10和q20之間的關(guān)系為

(7)

將式(6)代入式(5)中，即可得到傅里葉系數(shù)Ai和Bi。

2.2 應(yīng)力解

在確定傅里葉系數(shù)Ai和Bi后，求解式(2)，得到其通解為

(8)

由于整環(huán)的位移是單值的，可得

(9)

式中：μ為泊松比。

根據(jù)余弦函數(shù)的對應(yīng)系數(shù)相等條件以及位移單值條件式(9)，并結(jié)合應(yīng)力邊界條件式(3)和傅里葉級數(shù)式(4)等條件，可以求得用傅里葉系數(shù)表示的待定系數(shù)，分別為

a1=A1a

c1=0，d1=0

an=-0.5a2b2(nBna2nb2+n+Ana3n+2-nAnanb2n+2+nAnan+2b2n-Anan+2b2n-nBna2n+2bn-Bna2nbn+2+Bnb3n+2)×[-n2a2nb2n(a2-b2)2+a2b2(a2n-b2n)2]-1(n-1)-1

bn=0.5(nBna2nbn+4+nAnan+4b2n-nBna2n+2bn+2-nAnan+2b2n+2-Anan+2b2n+2-Bna2n+2bn+2+Bna2b3n+2+Ana3n+2b2)[a2b2(a2n-b2n)2-n2a2nb2n(a2-b2)2]-1(n+1)-1

確定待定系數(shù)后，代入式(8)可得應(yīng)力函數(shù)。

應(yīng)力解根據(jù)參考文獻(xiàn)[10]，采用彈性力學(xué)極坐標(biāo)中應(yīng)力分量的經(jīng)典表達(dá)式[10]為

(10)

式中：σθ為混凝土圓環(huán)的切向正應(yīng)力；σz為垂直于混凝土圓環(huán)的法向應(yīng)力。

將已確定待定系數(shù)的應(yīng)力函數(shù)代入式(10)即可得到混凝土的應(yīng)力分量。

2.3 位移解

各個(gè)位移和應(yīng)變分量可以在應(yīng)力分量確定后，根據(jù)彈性力學(xué)平面應(yīng)變問題的物理方程和幾何方程確定。

彈性體的位移可以分為變形位移和剛性位移2部分。所以有

(11)

式中：ur為徑向總位移；uθ為切向總位移；ur1為變形徑向位移；uθ1為變形的切向位移；ur2為剛性徑向位移；uθ2為剛性切向位移。

ur1和uθ1通過積分得到，有

(12)

式中：εr和εθ分別為徑向應(yīng)變和切向應(yīng)變。

極坐標(biāo)下的表達(dá)式為

(13)

式中：kx和ky分別為直角坐標(biāo)系中的平移量；k3為繞z軸的旋轉(zhuǎn)量。

假設(shè)在內(nèi)表面極坐標(biāo)(a,π)位置只約束圓環(huán)的環(huán)向位移，而在(a,0)位置約束圓環(huán)的環(huán)向位移和徑向位移，則位移邊界條件為

(14)

考慮圓環(huán)位移邊界條件、應(yīng)力邊界條件以及幾何形狀的對稱性，可知uθ2為奇函數(shù)，ur2為偶函數(shù)，則有ky=0，k3=0。

對式(13)進(jìn)一步簡化為

(15)

位移最終表達(dá)式為

(16)

將式(16)代入式(14)求解出kx。

3 貫穿鋼筋的力學(xué)分析

若梁上所受分布載荷集度為q(x)，則由梁的撓曲軸近似微分方程為

(17)

式中：ζ為梁和地基的彈性性質(zhì)相關(guān)的綜合參數(shù)；w為任意一點(diǎn)的撓度；EJ為抗彎剛度。

當(dāng)q(x)不超過x的3次冪時(shí)，式(17)的通解為

w=-e-ξx[C1cos(ξx)+C2sin(ξx)]+

(18)

式中：k為基礎(chǔ)彈性系數(shù)；C1,C2,C3和C4為待定系數(shù)。

以著力點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，除原點(diǎn)附近的著力區(qū)域外，載荷集度q(x)=0。且由于結(jié)構(gòu)的對稱性，只選取著力點(diǎn)右邊的半段分析。

梁的撓度及內(nèi)力在離開著力點(diǎn)相當(dāng)遠(yuǎn)處均應(yīng)趨于0，即C3和C4為0。

著力點(diǎn)處撓曲軸的切線在對稱基礎(chǔ)反力和載荷作用下應(yīng)為水平，即當(dāng)x=0時(shí)，有

(C1-C2)cos(ξx)]=0

(19)

所以C1=C2。

由此，梁在任一截面x處的撓度ω、轉(zhuǎn)角φ、彎矩M和剪力Q的計(jì)算式為

(20)

當(dāng)x=0時(shí)，式(20)簡化為

(21)

進(jìn)而可以算出鋼筋的最大彎曲應(yīng)力σmax和最大剪切應(yīng)力τmax分別為

(22)

4 算例分析

橋梁中鋼混結(jié)合段中PBL剪力鍵的混凝土采用C50，泊松比μ=0.20，彈性模量為EC=34.5 GPa，鋼板厚度為30 mm，開孔半徑b=30 mm，PBL剪力鍵的鋼筋半徑為a=8 mm，彈性模量為Es=206 GPa。假設(shè)該P(yáng)BL剪力鍵在彈性階段的承載力為12.6 kN，混凝土榫與鋼板和鋼筋接觸應(yīng)力的接觸范圍均為[-π/2,π/2]，亦即β1=β2=π/2，則根據(jù)式(1)、式(6)和式(7)計(jì)算出q10=32.40 N·mm-1，q20=8.64 N·mm-1。基礎(chǔ)系數(shù)k=115 N·mm-3，ζ=0.029 mm-1。

為了驗(yàn)證本文鋼混組合結(jié)構(gòu)中PBL剪力鍵在工作狀態(tài)下的彈性靜力解析解的正確性，在用該文推導(dǎo)的解析解求解的同時(shí)采用ANSYS建立有限元模型進(jìn)行對比分析。

采用ANSYS建立有限元模型時(shí)，混凝土圓環(huán)采用PLANE42單元，環(huán)向網(wǎng)格按每1.5°的角度進(jìn)行劃分，同一單元徑向網(wǎng)格尺寸與環(huán)向網(wǎng)格尺寸近似相等。混凝土圓環(huán)的有限元模型如圖5所示。

圖5 混凝土圓環(huán)的有限元模型

圖6給出了解析解和數(shù)值解得到的θ分別為0°，45°，90°，135°和180°時(shí)混凝土圓環(huán)的徑向位移曲線，徑向位移的方向以沿半徑向外為正。由圖6可以看出：隨著離開圓心距離的增大，混凝土圓環(huán)在θ=0°方向上的徑向位移快速增加；混凝土圓環(huán)徑向位移在θ大于90°后基本不隨離開圓心距離的變化而變化。各點(diǎn)徑向位移的解析解與數(shù)值解吻合程度都較好，其中混凝土圓環(huán)在θ=0°，r=30 mm位置徑向位移最大，相對誤差為0.12%。

圖6 圓環(huán)的徑向位移

θ=0°和θ=180°時(shí)，由于結(jié)構(gòu)的對稱性，環(huán)向位移為零，混凝土圓環(huán)在θ為45°，90°，135°方向上(位移方向以順時(shí)針為正)數(shù)值解和解析解得到的環(huán)向位移曲線如圖7所示。由圖7可以看出，隨著離開圓心距離的逐漸增加，環(huán)向位移在θ=45°和θ=90°方向上的變化較在θ=135°方向上變化大。各點(diǎn)環(huán)向位移的吻合程度都比較好，其中在θ=90°，r=30 mm位置環(huán)向位移最大，相對誤差為1.20%。

θ分別為90°，135°和180°時(shí)的徑向應(yīng)力較小，因此圖8只畫出了θ=0°和θ=45°時(shí)解析解和數(shù)值解得到的徑向壓應(yīng)力曲線。由圖8可以看出，隨著離開圓心距離的增加，0°和45°方向上徑向應(yīng)力逐漸減小，減小速率逐漸減緩。各點(diǎn)徑向應(yīng)力的吻合程度都較好，其中在θ=0°，r=8 mm位置徑向應(yīng)力最大，相對誤差為2.50%。

圖7 圓環(huán)的環(huán)向位移

圖8 徑向應(yīng)力

θ分別為0°，45°，90°，135°和180°時(shí)解析解和數(shù)值解得到的環(huán)向應(yīng)力(以受拉為正)曲線如圖9所示。由圖9可以看出：0°，45°和90°方向上的環(huán)向應(yīng)力相差較大，而135°和180°方向上的環(huán)向應(yīng)力相差不多。各點(diǎn)環(huán)向應(yīng)力的吻合程度都較好，其中在θ=90°，r=30 mm位置環(huán)向應(yīng)力最大，相對誤差為0.15%。

圖9 環(huán)向應(yīng)力

徑向位移云圖、環(huán)向位移云圖、徑向應(yīng)力云圖和環(huán)向應(yīng)力云圖如圖10—圖13所示，各物理量與圖6—圖9具有一致的分布規(guī)律。

C50混凝土抗壓強(qiáng)度標(biāo)準(zhǔn)值fck=32.4 MPa，由圖12得知混凝土圓環(huán)的最大應(yīng)力為32.23 MPa，未超過fck，說明混凝土材料處于彈性范圍之內(nèi)。

圖10 混凝土圓環(huán)徑向位移云圖(單位：mm)

圖11 混凝土圓環(huán)環(huán)向位移云圖(單位：mm)

對于貫穿鋼筋，根據(jù)式(19)和式(20)，可計(jì)算得出：w=-0.097 mm，φ=0，M=108.62 N·m，Q=-6.3 kN，σmax=270 MPa

貫穿鋼筋強(qiáng)度滿足要求。

5 結(jié) 語

根據(jù)現(xiàn)有鋼混凝土組合結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)理念，在正常使用階段，PBL剪力鍵大多工作在彈性階段，非線性問題并不突出。因此，根據(jù)正常工作狀態(tài)下的受力特性，鋼混結(jié)合段中單個(gè)PBL剪力鍵的彈性受力，可以簡化為貫穿鋼筋的Winkler彈性地基梁和混凝土圓環(huán)的平面應(yīng)變問題。建立簡化力學(xué)模型，應(yīng)用Airy應(yīng)力函數(shù)，求解相應(yīng)的解析解，通過與有限元分析結(jié)果的對比證明了其可靠性。

圖12 混凝土圓環(huán)徑向應(yīng)力云圖(單位：MPa)

圖13 混凝土圓環(huán)環(huán)向應(yīng)力云圖(單位：MPa)

本文方法在PBL剪力鍵工作狀態(tài)處于線彈性變形階段時(shí)有很好的適用性。所得到的混凝土圓環(huán)和貫穿鋼筋受力分析的解析解為PBL剪力鍵在工作狀態(tài)下的傳力機(jī)理的研究、結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)、提高承載能力提供了理論依據(jù)和計(jì)算方法，同時(shí)為PBL剪力鍵在非線性工作狀態(tài)下受力分析和求解解析解的研究打下了理論基礎(chǔ)。