基于帶隙性能評價函數的特征頻段隔振周期排樁選型

姜博龍，劉維寧，馬 蒙，李明航

(北京交通大學 土木建筑工程學院，北京 100044)

隨著軌道交通路網的加密，運行列車引起的環境振動問題也愈加凸顯。它對沿途居民的日常生活、精密儀器的正常運轉和文物古建的保護都造成了一定的影響。當軌道減振和敏感建筑被動隔振無法徹底解決振動問題時，作為綜合減隔振措施中重要一環的傳播路徑隔振具有不可替代性。

排樁作為典型的非連續波屏障，應用在傳播路徑隔振中，憑借其造價低、耐久不易損壞、隔振效果好等優勢，受到國內外學者廣泛關注，并針對其展開了大量研究。現有的針對隔振排樁的研究集中在波場求解方法方面，通常采用二維簡化模型對體波進行求解而采用三維數值模型對表面波進行求解[1-5]。這些研究考慮到的樁數目較少或僅僅是單排，且忽視了其周期性。直到石志飛等[6]充分考慮了群樁的周期性，將周期結構帶隙理論引入到工程隔振領域，為解決環境振動問題提供了新的思路和依據。周期結構對通過它的振動波具有選擇透過性，無法透過其傳播的振動波所處的頻帶被稱為禁帶或帶隙[7]。黃建坤[8-10]采用平面波展開法求解周期排樁帶隙，以首階完全禁帶的起、止頻率以及對應的帶寬作為評價指標，對周期排樁首階帶隙分布影響因素進行了分析；劉心男[11]對比了二維和三維模型中周期排樁對帶隙范圍內振動的衰減結果，發現隨著樁長的增加，三維數值結果逐步收斂于二維數值結果；蒲興波[12]提出了一種新的表面波識別方法，用于獲取二維土—周期排樁系統的面波帶隙。

目前對于周期排樁的帶隙描述、影響因素分析和作用效果評價主要是采用首階禁帶的起、止頻率以及對應的帶寬3個指標。周期排樁的隔振效果不僅與初始帶隙相關，與各階帶隙的分布也有關系。另外，目前周期排樁帶隙影響因素分析和結構優化選型都沒有充分考慮被阻隔對象特征，造成了結構優化選型針對性不強。因此，針對軌道交通環境傳播路徑隔振，本文提出以周期排樁帶隙性能評價函數Φ為單一指標、并考慮帶隙分布的選型方法。

1 隔振周期排樁帶隙計算

對周期排樁帶隙的求解可根據固體物理晶格理論[13]進行簡化：周期排樁可由某一根單樁通過周期性和對稱性的拓撲變換獲得，因此，計算時僅需以某一單樁作為基本單元，并對其施加周期邊界進行研究。根據周期結構帶隙產生機理的不同，隔振周期排樁可分為散射型排樁和局域共振型排樁，二者對應的基本單元如圖1所示，圖中：A，B，C分別代表土體、樁和填充體；R為樁半徑；r為填充體半徑；a為周期常數。

圖1 排樁基本單元平面示意圖

下面利用平面波展開法[7]進行周期排樁帶隙計算。土—周期排樁體系彈性動力學基本(維納)方程為

(1)

其中，

u(d,t)=(uxuyuz)

式中：t為時間；d為位置矢量；u(d,t)為位移矢量；ux,uy,uz為沿x,y,z方向的位移分量；ρ(d)為密度函數；λ(d)和μ(d)為與位置矢量d相關的Lamé常數。

由于密度函數ρ(d)，與位置矢量d相關的Lamé常數λ(d)和μ(d)在空間分布呈現周期性，故其可在倒格矢空間按傅里葉級數展開，為敘述方便，統一采用f來表示這3個材料參量，有

(2)

其中，

式中：i為虛數單位；G1為對應各組元材料參數分布場內的倒格矢；f(G1)為傅里葉系數；S為基本單元面積。

對于散射型周期排樁，有

(3)

其中，

式中：η為樁占整個基本單元的填充比；P(G)為結構函數； J1為第一類第1階的貝塞爾函數。

對于局域共振型周期排樁，有

(4)

其中，

式中：ηB，ηC，ηf分別表示樁、填充體以及散射體(填充體+樁)占整個基本單元的填充比；P(G1)，Ph(G1)為結構函數。

式(1)的解為

(5)

式中：ω為角頻率；G2為位移場中的倒格矢；K為限制在第一Brillouin區內的Bloch波矢；uK(G2)為與各材料參數具有相同周期的Bloch調幅函數。

將式(2)和式(5)代入式(1)，可得本征方程為

(6)

G2)(K+G2)(K+G3)uz(K+G2)

(7)

其中，

μG3-G2[(K+G2)j(K+G3)l]}

j=x,y；l=x,y

G3=G1+G2

式中：ux(K+G2)，uy(K+G2)和uz(K+G2)為沿x，y和z方向的位移分量；δjl為克羅內克函數。

令波矢K掃略第一不可約布里淵區便可得到整個結構的頻散曲線和帶隙特性[7]。

下面用1個具體算例驗證該計算方法，選取文獻[14]中的周期排樁。該排樁為圓截面實心樁結構，拓撲形式為正方晶格，排樁類型為散射型，周期常數a=2 m，樁的半徑R=0.65 m，具體材料參數參見表1。

表1 土—樁系統的材料組成及物理力學參數

圖2給出了本文和文獻[14]計算帶隙的結果。二者均在33.3～37.3 Hz存在1個完全帶隙。二者計算結果的吻合證明了本文方法的正確性。

圖2 本文和文獻[14]計算的帶隙結果

2 能帶結構帶隙性能評價函數

圖3給出了2種典型周期排樁的帶隙計算結果，圖3(a)為按照六角晶格布置的散射型排樁，周期常數為4 m，混凝土樁半徑為1.2 m；圖3(b)為按照六角晶格布置的局域共振型排樁，周期常數為3 m，混凝土樁半徑為1 m，橡膠填充體半徑為0.4 m。

目前對于周期排樁的帶隙描述、影響因素分析和作用效果評價主要是采用首階禁帶的起、止頻率以及對應的帶寬3個指標。由圖3可見，散射型排樁的首階帶隙起始頻率低于局域共振型排樁，且首階完全帶隙的帶寬要寬于局域共振型排樁；但局域共振型排樁80 Hz以下帶寬總和卻大于散射型排樁。因此，對于周期排樁的帶隙描述、影響因素分析和作用效果評價不能只關注于首階完全帶隙，也要綜合考慮關心頻段內各階帶隙的分布情況。

圖3 典型六角晶格布置排樁的帶隙分布對比

帶隙具備2個典型特征，一個是中心頻率，另一個是帶寬。圖4為被阻隔對象顯著頻率與周期隔振結構帶隙分布關系示意圖。被阻隔對象的顯著頻率為63 Hz，圖中帶隙1和帶隙2分別為2種周期隔振結構的帶隙分布。從圖4可以看出，與帶隙2相比，具有帶隙1的周期隔振結構的帶隙中心頻率更加接近被阻隔對象振動的顯著頻率，但是帶寬卻較窄。因此若想取得良好的隔振效果，需要使周期隔振結構的帶隙中心頻率貼近被阻隔對象的顯著頻率，且帶寬較寬。

圖4 被阻隔對象顯著頻率與周期隔振結構帶隙分布關系示意圖

基于上述分析，提出一種綜合考慮被阻隔對象振動特征、隔振排樁各階帶隙分布的周期排樁帶隙性能評價函數Φ為

(8)

式中：n為帶隙數目；ωj為出現帶隙的下限頻率；ωj+1為同一帶隙的上限頻率；(minωj+1-maxωj)為該帶隙的帶寬；(minωj+1+maxωj)/2為該帶隙的中心頻率；ωD為需要阻隔的關心頻率。

隨著帶隙中心頻率逐步逼近需要阻隔的關心頻率ωD，|ωD-(minωj+1+maxωj)/2|將取得極小值，同時隨著帶隙(minωj+1-maxωj)的增大，周期排樁帶隙性能評價函數Φ將取得極大值，Φ值越大表征該結構形式越適用于被阻隔對象的顯著頻率的振動阻隔。

3 軌道交通特征頻率隔振周期排樁選型

本文以東單地鐵站到建國門地鐵站區間隧道列車運行引起環境振動為研究背景[16]進行傳播路徑隔振周期排樁選型。

該段地鐵隧道初襯厚度為0.25 m，所采用的混凝土的彈性模量為28.5 GPa，泊松比為0.2，密度為2 450 kg·m-3，材料阻尼比為0.02。二襯厚度為0.3 m，二襯混凝土的彈性模量為30 GPa，泊松比為0.2，密度為2 500 kg·m-3，材料阻尼比為0.02。隧道基底混凝土參數與二襯一致，列車采用常見的6節編組，經過測試斷面的速度為60 km·h-1，扣件為普通DTⅥ2扣件。隧道埋深與地層相對位置關系如圖5所示，地層信息參考表2。

圖5 隧道與地層相對位置[16]

土體類型厚度/m剪切波速/(m·s-1)壓縮波速/(m·s-1)動彈性模量/(MN·m-2)動泊松比密度/(kg·m-3)阻尼比雜填土 2.5173.3356.5138.80.3501 6500.05粉質黏土 18.0235.0472.6308.00.3272 0100.04卵石和圓礫332.0620.0670.00.2862 0500.03

對該斷面進行地表環境振動監測時測得的距離隧道中心線40 m位置處的地表豎向振動響應如圖6所示。由圖6可以看出，DTVI2扣件軌道型式下地鐵列車以60 km·h-1速度運行引起的地表豎直方向振動峰值出現在63 Hz，此頻率為軌道和扣件系統的自振頻率。因此以該豎直方向振動的峰值頻率63 Hz作為關心頻率，即ωD=63 Hz。

隔振周期排樁選取按照正方晶格和六角晶格2種典型晶格類型布置的散射型排樁和局域共振型排樁，其布置如圖7所示。

根據文獻[15]可知，排樁埋深一般到粉質黏土層底部可取得較好效果，鑒于隧道也埋置于粉質黏土層，且排樁所在地層中粉質黏土的含量占比為主(約90%)，本文計算以粉質黏土—周期排樁的帶隙性能評價函數Φ作為選型依據。相應材料參數見表3。

圖6 距離隧道中線40 m處地表振動加速度響應測試值

組成材料彈性模量/MPa密度/(kg·m-3)泊松比A土體308.01 9000.327B混凝土30 000.02 3000.180C填充體(橡膠)7.81 3000.470

選取14種周期排樁進行優化選型，14種周期排樁的具體情況及對應的帶隙性能評價函數Φ值見表4。由表4可見， 5號周期排樁的Φ值最大，說明5號周期排樁最適宜用于隔離以豎直方向63 Hz為關心頻率的環境振動。

圖7 不同晶格類型布置的排樁

表4 各周期排樁的具體情況及對應的帶隙性能評價函數Φ值

圖8給出了5號周期排樁分別在雜填土和粉質黏土中的帶隙分布圖。從圖8可以看出，5號周期排樁在其穿過的2層土體中都有帶隙覆蓋63 Hz的關心頻率，且在80 Hz以下帶寬分布范圍較大。

圖8 5號周期排樁豎直方向帶隙分布

4 結果驗證

運用ABAQUS軟件，以前文提到的工程資料建立隧道—地層—周期排樁耦合的三維動力有限元分析模型(圖9)進行軌道交通環境振動傳播路徑隔振周期排樁的隔振效果分析，驗證第3節中選型結果的有效性。地層參數見表2，模型尺寸為100m×60 m×24 m，土體、隧道及排樁均采用實體單元模擬，在隧道基底上輸入的激勵為采用周期性車輛—軌道耦合解析模型[16]計算得到的扣件反力時程，邊界設置為彈簧阻尼吸收邊界。

圖9 三維動力有限元模型

采用加速度振幅衰減系數Ar[17]評價排樁隔振性能為

(9)

式中：a1和a2分別為隔振排樁后某點的加速度幅值與同一位置處無隔振排樁的加速度幅值。

Ar→0表明結構具有良好的隔振性能。

圖10為5號周期排樁后距離隧道中心線40 m位置(與實測點對應)處的振幅衰減系數及其帶隙分布。

圖10 距離隧道中心線40 m處振動加速度振幅衰減系數及其帶隙分布

由圖10可以看出，帶隙范圍內2層土體的振動都有較好的衰減，說明5號排樁隔振效果明顯，也間接證明了帶隙計算結果的正確性與選型方法的有效性。

5 結 語

本文提出了基于帶隙性能評價函數的軌道交通特征頻段隔振周期排樁的選型方法，性能評價函數作為單一評價指標綜合考慮了帶隙帶寬、中心頻率2個因素，規避了多指標分析的不確定性；其次，將軌道交通環境振動的顯著頻率作為關心頻率引入該函數，充分考慮了被阻隔對象的振動特征。該方法不再單獨以首階帶隙為選型依據，綜合考慮了各階帶隙的分布情況。本文通過建立三維動力有限元模型對選型結果進行了驗證，選出的隔振周期排樁在帶隙分布范圍內有較好的隔振效果。