隧道沉降引起的軌道結構變形與脫空

楊成永，程 霖, 余 樂，韓薛果

(1.北京交通大學 土木建筑工程學院，北京 100044；2.北京城市快軌建設管理有限公司，北京 100027)

城市地鐵穿越施工引起既有地鐵隧道結構變形，進而引起其內(nèi)的軌道結構產(chǎn)生變形。軌道結構的變形直接關系到地鐵列車的運營安全，其變形大小決定著新建工程設計方案和施工方法的選擇，也決定著既有線列車運營采取的安全保證措施。

但在目前穿越施工的結構分析中，沒有考慮鋼軌—道床—隧道結構間的相互作用，簡單地視鋼軌的沉降等同于隧道結構沉降。實際的監(jiān)測結果表明：當隧道結構沉降較小時，鋼軌與道床間、道床與隧道底板間的沉降差異被測量誤差所掩蓋；當隧道結構沉降較大時，鋼軌、道床、隧道間的沉降差異就較大，明顯超過測量誤差(目前測量誤差可控制在0.3 mm以下)，嚴重時軌道與道床、道床與隧道底板間還會產(chǎn)生脫離[1-3]。

鋼軌—道床—隧道的相互作用問題具有復雜性，加之道床還有不同形式，以往一般采用數(shù)值方法進行模擬，理論分析方面的研究主要采用彈性地基梁法。根據(jù)可處理變形大小的不同，理論分析方法又分為小變形問題的彈性地基梁模型[4-6]和大變形問題的彈性地基梁模型[7-8]。

本文針對盾構隧道中的支承塊式道床軌道結構，采用彈性地基梁模型和傅里葉三角級數(shù)解法，分析鋼軌—支承塊—道床—隧道間的共同變形問題。在提出軌道(這里指鋼軌或者鋼軌與道床組成的疊合梁)變形的簡化假設后，直接從微元體的平衡出發(fā)，建立了控制微分方程。假設隧道沉降符合正態(tài)曲線，并引入階梯函數(shù)描述軌道與基底脫空段及接觸段的地基抗力，推導了求解軌道沉降的傅里葉系數(shù)的線性方程組。采用北京地鐵支承塊式軌道參數(shù)計算了沉降大小、沉降槽寬度、脫開方式等因素對軌道變形和內(nèi)力的影響。

1 控制微分方程

把軌道視為一維桿件，并采用下列假設。

(1) 軌道變形滿足平截面假設，即垂直于軌道軸線的橫截面變形后仍為平面且垂直于軸線。

(2) 基底對軌道的作用力垂直于軌道軸線。

(3) 軌道剛度保持不變。

(4) 軌道的軸向變形和軸力只發(fā)生在沉降槽附近一定范圍內(nèi)并且是一常量。

圖1為軌道微元的受力圖。圖中：N為軌道軸力，N；Q為軌道剪力，N；M為軌道彎矩，N·m；q為軌道荷載，N或N·m-1，向上為正；w(x)為軌道豎向位移，m，向上為正；x為沿軌道軸線的坐標(基底沉降槽中點處x=0)，m。

圖1 軌道微元的受力

由軌道微元的受力可得軌道變形的平衡方程為

(1)

式中：ζ為軌道的一維度規(guī)(軌道變形后長度與變形前長度的比值)。

引用Love-Kirchhoff假設，有彎矩M與撓度w(x)的關系

(2)

式中：E為軌道彈性模量，Pa；I為軌道橫截面的慣性矩，m4。

將式(2)代入式(1)中第1式得

(3)

采用前述假設(4)，式(1)中的第2式被舍去。然后把式(3)代入式(1)中第3式得軌道變形的控制微分方程為[8]

(4)

假定軌道的沉降變形符合正態(tài)曲線，則軌道一維度規(guī)和軸力的表達式分別為[8]

(5)

(6)

式中：w0為軌道在沉降槽中點處(x=0)的最大沉降，m；j為軌道沉降槽半寬，即沉降曲線反彎點距x=0處的水平距離，m；A為軌道的橫截面積，m2；L為軌道計算范圍的半寬，m。

2 軌道荷載及邊界條件

置于基底(隧道底板)上的軌道，在軌道與基底保持接觸區(qū)段，受其自重和Winkler地基反力作用；在軌道與基底脫空區(qū)段，只受自重作用。式(4)中右端的軌道荷載q可表示為

(7)

式中：γ為軌道的線密度，kg·m-1；g為重力加速度，m·s-2；K為地基系數(shù)，Pa·m-1；b為軌道寬度，m；S(x)為基底沉降，m；c為軌道與基底在沉降槽中部脫開范圍的半寬，m。

假定基底沉降遵從正態(tài)曲線，即

(8)

式中：S0為基底在沉降槽中點處(x=0)的最大沉降，m；i為基底沉降槽半寬，即沉降曲線反彎點距x=0處的水平距離，m。

對于無縫線路，軌道長度可以視為無限長。在不考慮道床板沉降縫影響條件下，軌道的兩端在沉降槽以外，其邊界條件視為固支；由于對稱，中間點(x=0處)的轉(zhuǎn)角為0，則有

(9)

3 控制方程的傅里葉級數(shù)解法

由于要考慮軌道與基底的脫空，需要用到Heaviside階梯函數(shù)，即

(10)

把式(7)代入式(4)，并引入階梯函數(shù)得到

gγ=0

(11)

進行傅里葉級數(shù)求解，需要把式(11)中的w(x)，S(x)及H(x)均展開成三角級數(shù)。由于w(x)，S(x)及H(x)均為偶函數(shù)，均可在[-L, +L]上展成余弦級數(shù)。

軌道沉降w(x)在[-L, +L]上的傅里葉級數(shù)展開為

(12)

式中：a0和ak為待求的傅里葉級數(shù)的系數(shù)。

應注意到，式(12)已滿足邊界條件式(9) (中點和兩端點轉(zhuǎn)角為0)。

由式(12)，得軌道沉降的各階導數(shù)為

(13)

(14)

(15)

(16)

基底沉降S(x)在[-L, +L]上的級數(shù)展開為

(17)

其中，

式中：b0和bk為級數(shù)的系數(shù)。

當L取3i以上時，則[9]

(18)

(19)

階梯函數(shù)H(x)在[-L, +L]上的級數(shù)展開為

(20)

其中，

式中：H0和Hk為級數(shù)的系數(shù)。

為將式(11)中第3項表示成級數(shù)，需要計算階梯函數(shù)H(x)與軌道沉降w(x)及基底沉降S(x)的乘積。

w(x)與H(x)相乘的傅里葉級數(shù)為

(21)

根據(jù)傅里葉級數(shù)相乘的法則[10]，則

(22)

(23)

S(x)與H(x)相乘為

(24)

其中，

將式(14)、式(16)、式(21)和式(24)代入微分方程(11)式后得到

(25)

式 (25)為無窮線性代數(shù)方程組。把式(22)的α0、式(23)的αk代入式(25)，且只取前n項有

(26)

式(26)即為確定式(12)中待定系數(shù)a0和ak的線性代數(shù)方程組。式(26)有n+1個方程，n+4個未知量：a0至an，c(含在Hk(k=0～2n)中)以及度規(guī)ζ和軸力N。根據(jù)式(5)和式(6)，式(26)中未知量度規(guī)ζ和軸力N可用另外2個未知量軌道沉降槽參數(shù)w0和j來表示。

下面分3種情況討論3個多余未知量的確定方法。

(1) 考慮軌道的伸長，但不考慮軌道與基底的脫空。僅考慮伸長時，由于無脫空，有c=0。式(26)中有a0至an及ζ和N共計n+3個未知數(shù)，多出2個未知數(shù)ζ和N。采用迭代方法確定如下：

第1次按無伸長計算，取ζ=1,N=0，求解線性方程組得到待定系數(shù)a0和ak。然后根據(jù)得到的撓曲線找出w0(1)和j(1)。第2次按照w0(1)和j(1)進行伸長計算得到w0(2)和j(2)。以此類推直到2次計算的w0和j相差足夠小為止。

(2) 不考慮軌道的伸長，但考慮軌道與基底的脫空。僅考慮脫空時，由于無伸長，有ζ=1，N=0。式(26)中有a0至an及c共計n+2個未知數(shù)，多出1個未知數(shù)即脫空范圍c。同樣采用迭代方法確定如下：

第1次求解時首先假設全長接觸無脫空，即c=0。根據(jù)計算得到撓曲線w(x)， 判定是否有脫離區(qū)域(w(x)≤S(x))。如果沒有，那么該解即為所求之解。如果有，則從中點往兩側(cè)尋求脫離點w(x) =S(x)的坐標x(1)， 該坐標即為c的第一近似值。 令c=x(1)進行第2次求解， 得到x(2)。 以此類推直到x(k)和x(k-1)相差足夠小為止。 最后一輪計算得到的x(k)=c及w(x)，即為該問題的三角級數(shù)解。

(3) 同時考慮軌道的伸長及軌道與基底的脫空。同時考慮脫空與伸長，可以按前述辦法先迭代脫空，再迭代伸長。在實踐中，同時考慮兩者的意義不大。因為當軌道與基底產(chǎn)生脫離后，軌道的沉降將顯著減小，伸長量也將大為減小。因此，此時考慮伸長對軌道的變形和內(nèi)力影響不大。

4 實例計算

采用北京地鐵某工點支承塊式道床的數(shù)據(jù)：60鋼軌，鋼軌底面寬度15 cm，高度17.6 cm，截面面積77.45 cm2，彈性模量210 GPa ，慣性矩3 217 cm4(換算鋼軌寬度7.081 cm)，每延米質(zhì)量60.643 kg(對應每個支承塊的鋼軌質(zhì)量36.097 kg)。鋼軌支座1680個·km-1，支承塊質(zhì)量109.76 kg·個-1，支承塊下橡膠墊板豎向剛度80 kN·mm-1，扣件豎向剛度40 kN·mm-1(橡膠墊板與扣件串聯(lián)的豎向剛度26.667 kN·mm-1)。道床板為C30鋼筋混凝土，寬度3.3 m，厚度0.3 m，彈性模量30 GPa，慣性矩742 500 cm4，密度2 420 kg/m3，每延米質(zhì)量2 395.8 kg。

現(xiàn)場監(jiān)測結果為：右線隧道底板沉降槽半寬4.8 m，最大沉降10.19 mm，道床最大沉降10.14 mm；左線隧道底板沉降槽半寬4.1 m，最大沉降25.78 mm，道床最大沉降24.83 mm。

用C語言編程，式(26)的求解采用克勞特(Crout)分解[11]。對實例數(shù)據(jù)及下列影響軌道結構變形和脫空的因素進行計算。

(1) 鋼軌的軸力和伸長的影響。隧道最大沉降值取48 mm，沉降槽半寬取2 m。

(2) 隧道底板最大沉降值的影響。沉降槽半寬取3 m，最大沉降值分別為3，6 ，12，24 和48 mm。

(3) 隧道底板沉降槽寬度的影響。最大沉降值取48 mm，沉降槽半寬分別為2，3，4和5 m。

(4) 鋼軌與道床及隧道底板間脫空方式的影響。參見圖2，分3種情況：①是鋼軌與支承塊間脫離；②鋼軌及支承塊一起與道床脫離；③鋼軌及道床一起與隧道底板脫離。鋼軌懸吊起支承塊時，扣件伸長量為109.76×9.81/40 000 =0.026 9 mm。

圖2 支承塊式道床剖面示意圖

計算結果列于表1。

由表1可以得出如下結論：

(1) 對比工況1和工況2可以看出，鋼軌在沉降槽半寬為2 m，沉降48 mm時仍屬于小變形，考慮軸力與不考慮軸力計算結果基本相等。地鐵運營部門允許既有線路的沉降一般均較小，因此，在沉降不大時，無需考慮軸力對計算結果的影響。

(2) 從工況3到工況7、工況11到工況15及工況19到工況23可以看出，在隧道沉降槽寬度一定時，鋼軌及道床的沉降、沉降槽寬度、脫空范圍(如果產(chǎn)生的話)及內(nèi)力均隨隧道沉降量的增加而增大。

(3) 從工況7到工況10、工況15到工況18及工況23到工況26可以看出，在考慮脫空的情況下，隨隧道沉降槽寬度增大，鋼軌及道床的沉降及沉降槽寬度也隨之增大。由于考慮了脫空，隧道沉降槽寬度對內(nèi)力的影響較為復雜。總體來說，在產(chǎn)生脫空時，隨隧道沉降槽寬度的增大，鋼軌及道床的彎矩和剪力也增大；在隧道沉降槽寬度繼續(xù)增大脫空消失后，鋼軌及道床的彎矩和剪力將隨隧道沉降槽寬度的增大而減小。

(4) 工況3到工況10計算的是扣件失效時鋼軌與支承塊間的脫空。這種情況一般不會發(fā)生，但可作為鋼軌沉降的限值(最小值)使用。可以看出，如果沒有扣件的約束，道床在很小的沉降時，鋼軌就與支承塊脫開了。

表1 計算結果

注：帶*的數(shù)據(jù)為現(xiàn)場測量值。

(5) 工況11到工況18計算的是鋼軌懸吊支承塊，導致支承塊與道床脫離。可以看出，由于支承塊重力作用，只有在道床沉降大且沉降槽寬度小的情況下，才能產(chǎn)生脫空。工況11到工況18的計算結果，還沒有考慮支承塊與道床間可能存在的摩擦力。因此，實際情形中，支承塊與道床脫空更難于產(chǎn)生。從本次計算結果判斷，沉降槽半寬3 m且道床沉降50 mm可作為支承塊與道床脫空產(chǎn)生的條件。

(6) 工況19到工況26計算的是鋼軌與道床組成疊合梁，一起與隧道底板脫離。可以看出，由于道床重力作用，只有在隧道沉降較大且沉降槽寬度小的情況下，才能產(chǎn)生脫空。工況19到工況26的計算結果，沒有考慮道床與隧道底板間可能存在的粘結力。從本次計算結果判斷，沉降槽半寬3 m且隧道底板沉降12 mm可作為道床與隧道底板脫空產(chǎn)生的條件。

(7) 關于鋼軌與道床的沉降差，根據(jù)工況3到工況18的計算結果，可以做如下判斷：在扣件正常連接條件下，道床沉降槽半寬3 m沉降值達到30 mm時，鋼軌與道床間將產(chǎn)生沉降差；在扣件失效情況下，道床沉降槽半寬3 m沉降值達到4 mm時，鋼軌與道床間將產(chǎn)生沉降差。對于道床與隧道底板間的沉降差，根據(jù)工況19到工況26的計算結果，可以認為：隧道底板沉降槽半寬3 m沉降值達到12 mm時，道床與隧道底板間將產(chǎn)生沉降差。

(8) 基底沉降槽寬度越小，沉降差出現(xiàn)就會越早，脫空產(chǎn)生也會越早。

(9) 工況27和28是對實例數(shù)據(jù)的計算，計算結果與實測數(shù)據(jù)基本一致。

5 結 論

(1)根據(jù)沉降變形的大小和鋼軌—支承塊—道床—隧道底板間連接狀況的不同，沉降差和脫空可在鋼軌與支承塊間、支承塊與道床之間以及道床與隧道底板間發(fā)生。

(2)總體上說，沉降槽寬度越小、沉降值越大，鋼軌—支承塊—道床—隧道底板間的沉降差和脫空范圍也越大。

(3)在扣件失效條件下，鋼軌與支承塊間很容易產(chǎn)生沉降差和脫空。在隧道底板沉降槽半寬3 m、沉降值只有4 mm時，鋼軌與道床間即產(chǎn)生了沉降差和脫空。

(4)在扣件正常發(fā)揮作用條件下，在隧道底板沉降槽半寬3 m、沉降值12 mm時道床與隧道底板間將產(chǎn)生沉降差和脫空。若沉降值繼續(xù)增大，當?shù)来渤两抵颠_到30 mm時，鋼軌與道床間將產(chǎn)生顯著的沉降差；當?shù)来渤两抵颠_到50 mm時，若支承塊與道床間的摩擦力不足，則支承塊與道床間將產(chǎn)生脫離。

(5)本文未考慮道床板沉降縫的存在，沉降縫對鋼軌及道床的變形、脫空及內(nèi)力會產(chǎn)生影響，有待進一步研究。