壓電陶瓷振動傳感器的遲滯非線性誤差補償研究

陳高華, 閆獻國, 郭 宏, 李志飛

(1.太原科技大學 電子信息工程學院，太原 030024;2.太原科技大學 機械工程學院，太原 030024)

機械設備的振動信號可直接反映其當前的工作狀態，以航空飛行器為例, 據統計70%以上的發動機故障可以通過振動形式表現出來[1]。因此，可以通過監測振動信號來分析、推測、判斷設備內部一些組件的工作狀況。

因具有良好的壓電效應、較高的居里溫度、強自發極性、高機電耦合系數、亞納米級分辨率以及亞微秒級的響應時間，壓電陶瓷在微驅動、微測量領域中得到了廣泛研究與應用[2-5]。比如使用壓電陶瓷材料制成的振動傳感器被用于飛機發動機故障診斷上，可以用來測量累積性損傷，裂紋增長，轉子不平衡[6]。但是壓電陶瓷本身存在遲滯，蠕變，非線性等特性，直接影響到傳感器的檢測精度[7-8]。其中遲滯特性的影響最大，因此遲滯非線性補償成為提高基于壓電陶瓷傳感的微測量精度的首要問題。為減小或消除該不利影響，可以利用逆模型進行線性化控制[9-10]，而利用逆模型進行線性化控制的關鍵是非線性遲滯的精確建模。

描述壓電陶瓷遲滯現象的經典建模方法大體分為兩類：一類是根據壓電陶瓷的微觀機理建立物理方程，從而求解出輸入輸出關系的建模方法[11-12]。另一類是只考慮輸入輸出關系而不深究其微觀機理的建模方法，包括 Preisach模型[13]、Prandtl-Ishlinskii 模型(簡稱PI模型)[14]、多項式模型[15]、Bouc-Wen模型(簡稱B-W模型)[16-17]等。其中B-W模型由于只需要用一個輔助的非線性微分方程來描述遲滯行為，計算效率高，實時性好，且逆模型求解十分方便,因而受到更多研究者的青睞。傳統B-W模型是一個關于中心點嚴格對稱的模型，而壓電陶瓷的遲滯特性是不完全對稱的，所以傳統B-W模型很難達到較高的擬合精度。

本文在壓電陶瓷壓電效應的理論基礎上,研究了電荷放大器在壓電陶瓷傳感系統中的應用,分析了壓電陶瓷傳感器遲滯非線性產生的原因。在傳統B-W模型的基礎上，提出了改進算法，建立了壓電陶瓷傳感器的非對稱遲滯模型，并給出了模型參數對遲滯曲線的影響關系和逆模型的求取方法。設計實驗，利用改進Bouc-Wen逆模型補償壓電陶瓷傳感器的遲滯非線性，驗證了所提方法的有效性。

1 壓電陶瓷傳感器的基本性能

1.1 壓電陶瓷傳感器的壓電效應

壓電陶瓷的正壓電效應是指介質在力的作用下產生形變，引起介質表面帶電，逆壓電效應是指施加激勵電場，介質將產生機械變形。壓電陶瓷傳感器是一種基于壓電陶瓷材料的正壓電效應而工作的功能器件。壓電陶瓷的正壓電效應示意圖如圖1所示。壓電陶瓷材料經極化處理后，剩余極化強度會使與極化方向垂直的兩端出現束縛電荷(一端為正，另一端為負)，由于這些束縛電荷的作用會使壓電陶瓷的兩個電極表面產生極性相反的自由電荷，并使整個壓電陶瓷片呈電中性。當外界壓力使壓電陶瓷材料發生變形時，瓷片壓縮，極化強度變小，導致上下表面的電勢改變，和表面接觸的兩電極上的部分自由電荷被釋放，因此在電路中會有電荷流動。

圖1 壓電陶瓷正壓電效應示意圖

1.2 電荷放大器

壓電陶瓷傳感器的輸出信號非常微弱,且電荷在電路中易消耗掉，所以在使用時通常與電荷放大器配合使用，把電荷信號Q轉換成電壓信號U完成物理量的測試。

電荷放大器的工作原理如圖2所示，圖中Q為壓電陶瓷傳感器受到外力后產生的電荷量,Ci為輸入級等效電容(包括傳感器等效電容、連接電路等效電容和放大級輸入電容)，Ri為輸入級等效電阻(包括傳感器等效電阻、連接電路等效電阻和放大級輸入電阻)Cf為反饋電容，Rf為反饋電阻。

圖2 電荷放大器工作原理圖

設運算放大器的開環增益為A，則輸出電壓

u0=-Aui

(1)

根據集成運算放大器工作在線性區域的虛斷特點，對運放的反向輸入端對應結點列寫KCL方程，可以得到如下關系

(2)

由式(1)和式(2)可得

(3)

式(3)相應的相量式為

(4)

當運放的開環增益大于105時，上式可簡寫為

(5)

以上所述的分析結果表明，電荷放大器輸出電壓相量和輸入電荷相量的比值大小決定于被測信號的振動頻率和反饋網絡的參數，如果測量信號的振動頻率相當高時，可以得到

(6)

即：電荷放大器輸出電壓U0與采集到的電荷Q近似成正比關系。

1.3 遲滯非線性成因分析

壓電陶瓷是屬于鐵電材料的壓電體，未經預極化處理的壓電陶瓷材料,是一種多晶體多電疇材料,對于其中的每個電疇來說,具有方向相同的自發極化,但就由多晶體多電疇組成的整體而言,因各電疇無規則排列，各電疇的極化效應被相互抵消，并不具有壓電效應。如圖3(a)所示。壓電陶瓷自發極化的電疇會在外電場的作用下重新取向，這種在外電場作用下，電疇重新取向的狀態稱為鐵電效應[18]。為使壓電陶瓷材料具有壓電效應, 就必須利用其鐵電效應進行預極化處理，即在壓電陶瓷上加一足夠高的直流電場，并保持一定的溫度和時間，迫使其電疇轉向，或者說迫使其自發極化作定向排列。如圖3(b)所示。去掉電場后，經預極化處理后的電疇雖然不會完全轉向與電場一致的方向，但在壓電陶瓷內部仍存有很強的剩余極化強度。如圖3(c)所示。當外界機械力F作用于壓電陶瓷傳感器時，會使壓電陶瓷材料發生形變，壓電陶瓷材料的形變迫使電疇發生轉向，極化強度變小；當減小外界機械力F，壓電陶瓷材料恢復形變，極化強度變大，而非180°電疇轉向是不完全可逆的，相對于形變增加的過程中，減小過程電疇轉向要比同一應變時增加過程時的電疇轉向要小，因此極化強度小于同一應變時形變增加時的極化強度。從而壓電陶瓷傳感器的應變-輸出電壓曲線產生嚴重的遲滯非線性現象。

(a) 極化處理前 (b) 極化處理過程中 (c) 極化處理后

圖3 壓電陶瓷的極化處理

Fig.3 Polarization treatment of the piezoelectric ceramic

2 非對稱遲滯模型建立

壓電陶瓷傳感器的遲滯非線性可以利用逆模型進行線性化控制，本文在傳統B-W模型的基礎上，提出一種改進模型來表征壓電陶瓷傳感器的非對稱遲滯特性。模型建立包括兩部分：①正模型建立,正模型建立主要是確立壓電陶瓷傳感器的輸出電壓隨驅動位移變化的模型關系;②逆模型求取,逆模型求取主要是對所建立的正模型進行反變換，得到壓電陶瓷傳感器的驅動位移隨輸出電壓變化的模型關系。

2.1 正模型建立

根據傳統B-W模型，電壓u(t)的表達式定義為

u(t)=dx(t)+h(t)

(7)

式中:x(t)是遲滯輸入，u(t)是遲滯輸出，d為傳感器輸出電壓與驅動位移的比率常量，h(t)代表一個可觀測的遲滯非線性項。在零初始條件下，h(t)滿足如下方程[19]

(8)

式中:α,β,γ和n用來控制遲滯回線的形狀大小。式(8)可進一步改寫為

(9)

定義形狀控制函數為

Ψ(x′,h)=γ+βsgn[x′(t)h(t)]

(10)

其中sgn表示符號函數。

由式(10)可知:傳統B-W模型的形狀函數在四個不同的區域只有兩個獨立的值(γ+β和γ-β)，它是關于中心點嚴格對稱的模型, 因而，如果直接用它描述壓電陶瓷的非對稱遲滯現象，很難達到較高的擬合精度。

為了提高模型精度，對傳統B-W模型進行改進勢在必行, 且改進型B-W模型的形狀控制函數必須具有非對稱性。為使改進后的B-W模型的形狀控制函數在其四個區域段具有相互獨立的值，本文定義形狀控制函數為

(11)

如圖4所示,本文改進B-W模型的形狀控制函數在四個區域段具有四個獨立的值:①在區域段(x′≥0,h≥0),ψ(x′,h)的值為γ+β+φ;②在區域段(x′<0,h≥0),ψ(x′,h)的值為γ-β-φ;③在區域段(x′<0,h<0),ψ(x′,h)的值為γ+β-φ;④在區域段(x′>0,h<0),ψ(x′,h)的值為γ-β+φ。

圖4 改進B-W模型的形狀控制函數特性

由于改進B-W模型的形狀控制函數在四個區域段具有四個獨立的值，能夠獨立地控制遲滯回線在四個區域段的形狀，所以改進后B-W模型既可以描述對稱遲滯，也可以描述非對稱遲滯現象。

2.2 模型參數分析

(1) 令d=1,α=1,β=1,γ=0.5,φ=0.5,n=1,輸入x(t)=2sint,傳統B-W和改進B-W的遲滯正模型曲線,如圖5所示。

圖5 遲滯正模型曲線

(2) 令d=1,β=1,γ=0.5,φ=0.5,n=1,輸入x(t)=2sint,當α=0.6和α=2時改進B-W的遲滯正模型曲線,如圖6所示。

圖6 α改變時遲滯曲線

(3) 令d=1,α=1,γ=0.5,φ=0.5,n=1,輸入x(t)=2sint,當β=0.6和β=2時改進B-W的遲滯正模型曲線,如圖7所示。

圖7 β改變時遲滯曲線

(4) 令d=1,α=1,β=1,φ=0.5,n=1,輸入x(t)=2sint,當γ=0.6和γ=2時改進B-W的遲滯正模型曲線,如圖8所示。

圖8 γ改變時遲滯曲線

(5) 令d=1,α=1,β=1,γ=0.5,n=1,輸入x(t)=2sint,當φ=0.05和φ=0.5時改進B-W的遲滯正模型曲線,如圖9所示。

圖9 φ改變時遲滯曲線

(6) 令d=1,α=1,β=1,γ=0.5,φ=0.5,輸入x(t)=2sint,當n=0.1和n=1時改進B-W的遲滯正模型曲線,如圖10所示。

圖10 n改變時遲滯曲線

(7) 令d=1,α=1,β=1,γ=0.5,φ=0.5,n=1,輸入x(t)=2sint和x(t)=2sin 10t時改進B-W的遲滯正模型曲線,如圖11所示。

圖11 頻率改變時遲滯曲線

由圖5可以看出:傳統B-W模型是關于中心點對稱的，本文提出的改進B-W模型可以反映非對稱遲滯特性。由圖6～圖10可以看出:改變參數α,β,γ,φ和n的值時，遲滯曲線的形狀和大小會隨著改變。其中，參數α主要影響遲滯曲線的大小，對遲滯曲線的形狀和非對稱特性影響不大；參數β,γ,φ和n的大小主要影響遲滯曲線的形狀和非對稱特性。由圖11可以看出:當輸入信號的頻率改變時，遲滯曲線也會隨著改變，即，本文提出的改進B-W模型可以反映頻率相關性。

2.3 逆模型求取

對式(7)求取反函數可得

(12)

由2.1節可知，改進B-W正模型的遲滯非線性項h(t)在零初始條件下滿足如下關系

h′(t)=x′(t){α-[γ+βsgn(x′(t)h(t))+

(13)

其中

(14)

定理 對于由式(12)和式(13)描述的改進Bouc-Wen遲滯逆模型，有

sgn(x′)=sgn(u′)

證明 對于式(13)描述的非線性動態系統

h′(t)=x′(t){α-[γ+βsgn(x′(t)h(t))+

由Gronwall定理可知，h(t)有界，且

(15)

故

(16)

由式(12)得

(17)

式中:d為傳感器輸出電壓與驅動位移的比率常量，d≥0。

由式(16)、(17)可知

(18)

即：sgn(x′)=sgn(u′)

(19)

定理得證。

由式(12)～式(14)和定理可得

(20)

h′(t)=x′(t)f(u′,h)

(21)

與圖5對應的遲滯逆模型曲線,如圖12所示。

圖12 改進 B-W遲滯逆模型曲線

3 遲滯逆補償實驗

本文利用改進B-W逆模型作為補償器來補償壓電陶瓷傳感器的遲滯非線性。

3.1 改進B-W模型參數辨識

3.1.1 實驗裝置

在辨識模型參數前需要通過實驗測試得到一組壓電陶瓷傳感器的輸入輸出數據，然后利用該數據進行參數辨識。實驗測試裝置如圖13所示。本研究首先由測試平臺產生一個正弦信號,經過驅動電源放大處理，輸出給壓電陶瓷位移驅動器(0～150 V,55 μm),壓電陶瓷位移驅動器控制加壓板產生正弦波振動載荷施加給PZT壓電陶瓷傳感器，傳感器產生的電荷信號由電荷放大器轉換為電壓信號。最后，電荷放大器的輸出電壓信號和位移傳感器獲得的位移信號通過數據采集卡傳送給上位機。

圖13 實驗裝置

3.1.2 模型參數辨識

本文提出的改進B-W模型有6個需要辨識的參數,它們分別是d,α,β,γ,φ和n。目前，辨識模型參數的方法有很多，如最小二乘法、粒子群算法、差分進化算法等。其中，差分進化算法待定參數少，收斂速度快，不易陷入局部最優，具有較強的全局收斂能力和魯棒性[20]。故本文采用差分進化算法進行模型參數辨識， 算法流程如圖14所示。

圖14 參數辨識算法流程

算法運行中，取種群規模M=50，最大迭代次數G=200，變異因子F=0.8，交叉因子CR=0.6，辨識誤差指標為

(22)

辨識誤差函數J的優化過程如圖15所示，最終誤差指標為:J=4.406 6×10-9。根據實驗數據辨識得到的模型參數如表1所示。改進B-W模型與實驗測得的數據對比如圖16所示,模型曲線和實驗曲線基本吻合。

圖15 誤差函數的優化過程

參數數值d/(V·μm-1)4.263α/(V·μm-1)1.902β/(μm-1)0.785γ/(μm-1)-0.210?/(μm-1)0.075n1.005

圖16 改進B-W模型和實驗數據對比

3.2 遲滯逆補償

為了測試改進B-W逆模型對壓電陶瓷傳感器的遲滯非線性補償效果,將表1中根據實驗數據辨識得到的模型參數代入逆模型進行補償驗證,實驗流程如圖17所示。

圖17 傳感器遲滯逆補償流程

Fig.17 The hysteresis inverse compensation processing of sensors

經傳統B-W遲滯逆模型補償校正后,壓電陶瓷傳感器的校正位移與輸入位移的特性曲線見圖18，跟蹤誤差曲線見圖19,最大跟蹤誤差為0.29 μm。經改進B-W遲滯逆模型補償校正后,壓電陶瓷傳感器的校正位移與輸入位移的特性曲線見圖20，跟蹤誤差曲線見圖21，最大跟蹤誤差為0.03 μm。由圖18～圖21可以看出：通過逆補償后，改進B-W模型的跟蹤誤差遠小于傳統B-W模型的跟蹤誤差。即，經改進B-W模型逆補償后，校正位移總是能夠很好跟蹤傳感器的實際輸入位移,跟蹤誤差小于0.03 μm，有效保證了傳感器的檢測精度。

圖18 傳統B-W模型補償后的跟蹤特性曲線

圖19 傳統B-W模型補償后的跟蹤誤差曲線

Fig.19 The tracking error curve after compensation of traditional B-W model

圖20 改進B-W模型補償后的跟蹤特性曲線

圖21 改進B-W模型補償后的跟蹤誤差曲線

4 結 論

壓電陶瓷的遲滯非線性是影響壓電陶瓷微測量系統檢測精度的主要因素。本文通過分析壓電陶瓷的鐵電效應微觀極化機理，確定了壓電陶瓷傳感器產生遲滯非線性現象的原因。針對傳統B-W模型不能準確反映壓電陶瓷傳感器的非對稱遲滯特性而導致檢測精度難以提高的問題，提出了一種可以表征壓電陶瓷傳感器非對稱遲滯現象的改進B-W模型，研究并給出了模型參數對遲滯曲線的大小、形狀及平穩性的影響關系和逆模型的求取方法。在正弦波振動載荷下，分別利用傳統B-W逆模型和改進B-W逆模型作為補償器補償壓電陶瓷傳感器的遲滯非線性，實驗結果顯示，經改進B-W模型逆補償之后，校正位移總是能夠很好跟蹤傳感器的實際輸入位移，而且跟蹤誤差明顯小于傳統B-W模型的跟蹤誤差，有效保證了檢測精度。本文研究成果為基于壓電陶瓷傳感器的振動測試系統提供了一種有效的遲滯非線性誤差補償方法，且適用于具有遲滯特性的其它類型傳感器。