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高中數(shù)學(xué)中三角函數(shù)解題錯(cuò)誤的成因分析及解決方法

2018-12-24 15:06:05袁佳宸湖南衡陽(yáng)市第八中學(xué)
數(shù)碼世界 2018年7期
關(guān)鍵詞:解題

袁佳宸 湖南衡陽(yáng)市第八中學(xué)

1 三角函數(shù)的名稱選擇對(duì)于解決三角函數(shù)的求角問(wèn)題相當(dāng)重要

不能夠真正的選擇正確的三角函數(shù)名稱,是不可能從正確的思維層面上進(jìn)行科學(xué)有效的解題的。比如說(shuō)這樣一道三角函數(shù)例題:假設(shè)α,β兩個(gè)都是銳角,而且sinα=2√5/5,sinβ=√10/10,求α-β。首先來(lái)進(jìn)行講解這道題目的錯(cuò)誤解析,是這樣進(jìn)行求解的,因?yàn)棣粒聝蓚€(gè)都是銳角,并且sinα=2√5/5,sinβ= √ 10/10,所 以 cosα= √ 1-sin2α= √ 5/5,cosβ= √ 1-sin2β=3 √ 10/10, 因 此 cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsi nβ=√5/5×3√10/10+2√5/5×√10/10=√2/3,緊接著又因?yàn)棣粒聝蓚€(gè)都是銳角,所以-π/2<α-β<π/2,因此得出最后的結(jié)果,α-β=+π/4,-π/4。上述的解題過(guò)程很明顯是選擇了錯(cuò)誤的三角函數(shù)名稱所導(dǎo)致的數(shù)學(xué)解答出現(xiàn)偏差,下面將會(huì)呈現(xiàn)出正確的解答步驟。

同 樣 因 為α,β兩 個(gè) 都 是 銳 角,并 且sinα=2√5/5,sinβ= √ 10/10, 同 樣 解 出 cosα= √ 1-sin2α= √ 5/5,cosβ=√1-sin2β=3√10/10這個(gè)結(jié)果,接著下面就是與上面錯(cuò)誤的選擇的不同之處了,所以sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsi nβ=2√5/5×3√10/10-√5/5×√10/10=√2/2,再結(jié)合題目的主要條件,α,β兩個(gè)都是銳角,所以-π/2<α-β<π/2,因此得出的結(jié)果就是α-β=π/4。

接下來(lái)進(jìn)行一下錯(cuò)題的分析,通過(guò)上面的這道例題,給出了正確的解法以及錯(cuò)誤的解法,可以觀察到的是,兩者的的前面步驟都是相一致的,最后導(dǎo)致結(jié)果不同的原因,就在于三角函數(shù)的名稱選擇不正確上,可以知道用已知三角函數(shù)求解角的題目,這種考法實(shí)際上是三角函數(shù)公式反方向應(yīng)用,同時(shí)也涉及到了角的象限問(wèn)題。正是因?yàn)槿绱耍呛瘮?shù)的名稱選擇,必須要正確,不然就會(huì)出現(xiàn)相應(yīng)的結(jié)果誤差,題目中一旦給出了相應(yīng)的角的范圍,就應(yīng)當(dāng)在這個(gè)基礎(chǔ)上,去確定還不清楚的角的范圍以及它的象限,確定出了未知的那個(gè)角的范圍和象限后,必須要依據(jù)角的范圍和象限來(lái)選擇與之相對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)名稱,這樣才可以在正確的思維基礎(chǔ)下,解答出題目的正確答案。這一點(diǎn)相當(dāng)重要,不論是解答的過(guò)程多么正確多么清晰,只要最后結(jié)果出錯(cuò),前面的一切努力都會(huì)成為泡影。

2 圖像的平移概念在三角函數(shù)的解題過(guò)程中也是非常關(guān)鍵的

針對(duì)于高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)的圖像平移題目來(lái)說(shuō),學(xué)習(xí)的困難程度是很大的。因?yàn)檫@一部分的內(nèi)容是將圖像與公式進(jìn)行相應(yīng)的結(jié)合形成的,在學(xué)習(xí)的過(guò)程當(dāng)中,往往難以把握,從而解題思路以及步驟方面很容易產(chǎn)生誤差,數(shù)學(xué)的考試成績(jī)也不能獲得理想的分?jǐn)?shù),為了解決這樣的問(wèn)題,就必須要從源頭解決起,理清三角函數(shù)圖像平移的概念以及相應(yīng)的平移技巧,只有這樣才能突破思維的誤區(qū),走向正確的解題方向,進(jìn)而有效的避免錯(cuò)誤,提升自身的數(shù)學(xué)成績(jī)。同樣的舉一個(gè)典型的例題進(jìn)行描述,題目的題干是這樣的,將曲線ycosx+2y-1=0先沿著x軸的方向上向右平移π/2個(gè)單位,再沿著y軸向下平移1個(gè)單位,試問(wèn)得到的曲線方程是( )

A.(1-y)sinx+2y-3=0

B.(y-1)sinx+2y-3=0

C.(y+1)sinx+2y+1=0

D.-(y+1)sinx+2y+1=0。

這道題目的正確解答方法因該是這樣的,首先將原方程整理為y=1/2+cosx,根據(jù)題目的條件可以知道,要將原曲線向右和向下引動(dòng)π/2和1個(gè)單位,因此根據(jù)條件,可以進(jìn)一步的把方程整理成為y=1/2+cos(x-π/2)-1為所求的方程,再次將方程進(jìn)行化解得出(y+1)sinx+2y+1=0 這個(gè)答案,從而本道題的正確答案就是C選項(xiàng)。細(xì)致分析這道題目的考點(diǎn),不難發(fā)現(xiàn),本道題目重要考察的就是三角函數(shù)圖像平移以及相關(guān)公式的推導(dǎo),在進(jìn)行這一類型題目的解答時(shí),必須要對(duì)平移的基礎(chǔ)知識(shí)進(jìn)行熟練的掌握,才能真正有效的解決這類型題目,除此之外,還應(yīng)當(dāng)注意從已知的公式入手,把公式進(jìn)行相應(yīng)的轉(zhuǎn)換,以方便圖像平移的推論。

3 結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)上述的分析,可以得出結(jié)論,高中數(shù)學(xué)中的三角函數(shù),是一個(gè)重點(diǎn),也是一個(gè)難點(diǎn),同時(shí)來(lái)說(shuō),也是一個(gè)較為容易的得分點(diǎn),這看似很矛盾,但是只要在日常的學(xué)習(xí)當(dāng)中,做好相關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí)學(xué)習(xí),熟練掌握一定的解題技巧,相信一定可以學(xué)習(xí)好三角函數(shù)的相關(guān)知識(shí),從而獲得不錯(cuò)的成績(jī)。

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