高中數(shù)學(xué)中三角函數(shù)解題錯(cuò)誤的成因分析及解決方法

袁佳宸 湖南衡陽(yáng)市第八中學(xué)

1 三角函數(shù)的名稱選擇對(duì)于解決三角函數(shù)的求角問(wèn)題相當(dāng)重要

不能夠真正的選擇正確的三角函數(shù)名稱，是不可能從正確的思維層面上進(jìn)行科學(xué)有效的解題的。比如說(shuō)這樣一道三角函數(shù)例題：假設(shè)α，β兩個(gè)都是銳角，而且sinα=2√5/5，sinβ=√10/10，求α-β。首先來(lái)進(jìn)行講解這道題目的錯(cuò)誤解析，是這樣進(jìn)行求解的，因?yàn)棣粒聝蓚€(gè)都是銳角，并且sinα=2√5/5，sinβ= √ 10/10，所 以 cosα= √ 1-sin2α= √ 5/5，cosβ= √ 1-sin2β=3 √ 10/10， 因 此 cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsi nβ=√5/5×3√10/10+2√5/5×√10/10=√2/3，緊接著又因?yàn)棣粒聝蓚€(gè)都是銳角，所以-π/2＜α-β＜π/2，因此得出最后的結(jié)果，α-β=+π/4，-π/4。上述的解題過(guò)程很明顯是選擇了錯(cuò)誤的三角函數(shù)名稱所導(dǎo)致的數(shù)學(xué)解答出現(xiàn)偏差，下面將會(huì)呈現(xiàn)出正確的解答步驟。

同 樣 因 為α，β兩 個(gè) 都 是 銳 角，并 且sinα=2√5/5，sinβ= √ 10/10， 同 樣 解 出 cosα= √ 1-sin2α= √ 5/5，cosβ=√1-sin2β=3√10/10這個(gè)結(jié)果，接著下面就是與上面錯(cuò)誤的選擇的不同之處了，所以sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsi nβ=2√5/5×3√10/10-√5/5×√10/10=√2/2，再結(jié)合題目的主要條件，α，β兩個(gè)都是銳角，所以-π/2＜α-β＜π/2，因此得出的結(jié)果就是α-β=π/4。

接下來(lái)進(jìn)行一下錯(cuò)題的分析，通過(guò)上面的這道例題，給出了正確的解法以及錯(cuò)誤的解法，可以觀察到的是，兩者的的前面步驟都是相一致的，最后導(dǎo)致結(jié)果不同的原因，就在于三角函數(shù)的名稱選擇不正確上，可以知道用已知三角函數(shù)求解角的題目，這種考法實(shí)際上是三角函數(shù)公式反方向應(yīng)用，同時(shí)也涉及到了角的象限問(wèn)題。正是因?yàn)槿绱耍呛瘮?shù)的名稱選擇，必須要正確，不然就會(huì)出現(xiàn)相應(yīng)的結(jié)果誤差，題目中一旦給出了相應(yīng)的角的范圍，就應(yīng)當(dāng)在這個(gè)基礎(chǔ)上，去確定還不清楚的角的范圍以及它的象限，確定出了未知的那個(gè)角的范圍和象限后，必須要依據(jù)角的范圍和象限來(lái)選擇與之相對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)名稱，這樣才可以在正確的思維基礎(chǔ)下，解答出題目的正確答案。這一點(diǎn)相當(dāng)重要，不論是解答的過(guò)程多么正確多么清晰，只要最后結(jié)果出錯(cuò)，前面的一切努力都會(huì)成為泡影。

2 圖像的平移概念在三角函數(shù)的解題過(guò)程中也是非常關(guān)鍵的

針對(duì)于高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)的圖像平移題目來(lái)說(shuō)，學(xué)習(xí)的困難程度是很大的。因?yàn)檫@一部分的內(nèi)容是將圖像與公式進(jìn)行相應(yīng)的結(jié)合形成的，在學(xué)習(xí)的過(guò)程當(dāng)中，往往難以把握，從而解題思路以及步驟方面很容易產(chǎn)生誤差，數(shù)學(xué)的考試成績(jī)也不能獲得理想的分?jǐn)?shù)，為了解決這樣的問(wèn)題，就必須要從源頭解決起，理清三角函數(shù)圖像平移的概念以及相應(yīng)的平移技巧，只有這樣才能突破思維的誤區(qū)，走向正確的解題方向，進(jìn)而有效的避免錯(cuò)誤，提升自身的數(shù)學(xué)成績(jī)。同樣的舉一個(gè)典型的例題進(jìn)行描述，題目的題干是這樣的，將曲線ycosx+2y-1=0先沿著x軸的方向上向右平移π/2個(gè)單位，再沿著y軸向下平移1個(gè)單位，試問(wèn)得到的曲線方程是（ ）

A.（1-y）sinx+2y-3=0

B.（y-1）sinx+2y-3=0

C.（y+1）sinx+2y+1=0

D.-（y+1）sinx+2y+1=0。

這道題目的正確解答方法因該是這樣的，首先將原方程整理為y=1/2+cosx，根據(jù)題目的條件可以知道，要將原曲線向右和向下引動(dòng)π/2和1個(gè)單位，因此根據(jù)條件，可以進(jìn)一步的把方程整理成為y=1/2+cos（x-π/2）-1為所求的方程，再次將方程進(jìn)行化解得出（y+1）sinx+2y+1=0 這個(gè)答案，從而本道題的正確答案就是C選項(xiàng)。細(xì)致分析這道題目的考點(diǎn)，不難發(fā)現(xiàn)，本道題目重要考察的就是三角函數(shù)圖像平移以及相關(guān)公式的推導(dǎo)，在進(jìn)行這一類型題目的解答時(shí)，必須要對(duì)平移的基礎(chǔ)知識(shí)進(jìn)行熟練的掌握，才能真正有效的解決這類型題目，除此之外，還應(yīng)當(dāng)注意從已知的公式入手，把公式進(jìn)行相應(yīng)的轉(zhuǎn)換，以方便圖像平移的推論。

3 結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)上述的分析，可以得出結(jié)論，高中數(shù)學(xué)中的三角函數(shù)，是一個(gè)重點(diǎn)，也是一個(gè)難點(diǎn)，同時(shí)來(lái)說(shuō)，也是一個(gè)較為容易的得分點(diǎn)，這看似很矛盾，但是只要在日常的學(xué)習(xí)當(dāng)中，做好相關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí)學(xué)習(xí)，熟練掌握一定的解題技巧，相信一定可以學(xué)習(xí)好三角函數(shù)的相關(guān)知識(shí)，從而獲得不錯(cuò)的成績(jī)。