導數(shù)在高中數(shù)學函數(shù)中的應用體會探索

夏銘 湖南師范大學附屬中學

1 導數(shù)在高中函數(shù)中的應用

1.1 在函數(shù)極值中的應用

使用導數(shù)對函數(shù)的極值進行研究是導數(shù)應用廣泛的一個方式，同時也是高中數(shù)學中的一個重點考察內(nèi)容。通過對導數(shù)的使用，可以讓函數(shù)極值求解的問題更加簡單，有利于我們更好的掌握一些解答技巧，進而提升自己的知識運用能力和解題能力。就以下面這道問題為例子：

例題1：已知ax2-1nx-1=0有兩個解，根據(jù)題目求出a的取值范圍。

解析：這道題可以用三種方式進行解答，首先可以將參數(shù)分離，在原式上得到a=，其中的x＞0,。然后再設f（x）=，并且求出f（x）的導數(shù)，以此得到 (x）=-，在此基礎(chǔ)上讓2lnx+1=0，得到x=e-。在0＜x＜e- 的時候， (x）＞0；在x＞e- 的時候, (x）＜0.因此，在x=e-的時候， (x）的最大值是。求出最大值之后，可畫出 (x）草圖，這樣可以知道在a和f（x）有兩個交點的時候，存在著0＜a＜，這樣就可以得到a的取值范圍是（0,）還有一種方式是把原始式子變形，得出lnx=ax2-1，然后設y1=lnx，y2=ax2-1，這樣ax2-lnx-1=0就有兩個解，進而轉(zhuǎn)換成y1、y2有兩個交點，在這些條件基礎(chǔ)上畫出相關(guān)的圖形就可以知道在y1和y2有兩個交點的時候，a＞0，如果兩個曲線相切，則就可以設切點是P（x0，y0），在這其中 y0=a-1，y0=lnx0,2ax0=。在得出這個式子之后對式子；兩邊進行求導，這樣可以得到2ax0=，進而求解得出a=。在我們所學的定義中，二次函數(shù)二次項系數(shù)越小，則開口就越大，因此y1和y2有兩個交點的時候，0＜a＜，所以a的取值范圍是（0,）。

1.2 在函數(shù)單調(diào)性中的應用

函數(shù)單調(diào)性是函數(shù)的一個重要性質(zhì)，是研究函數(shù)的一個重要關(guān)鍵點。所以函數(shù)單調(diào)性一直是高中數(shù)學和高考中的重點。在對函數(shù)的單調(diào)性進行研究的時候，導數(shù)是一個有效的方式方法，通過對導數(shù)的運用能夠把原函數(shù)單調(diào)性問題進行轉(zhuǎn)換，將其轉(zhuǎn)化為判斷函數(shù)符號的相關(guān)問題。就以下這道題為例：

解析：利用導數(shù)對函數(shù)的單調(diào)性步驟是：先求出原函數(shù)定義域，然后再求出原函數(shù)的導函數(shù)，求出自變量取值范圍，讓導數(shù)函數(shù)大于零，然后寫出單調(diào)區(qū)間。由題可知f（x）的定義域是。由于x＞0,2x+1＞0。然后設(x）-ax-1，進而得出 (x）=0，從而得到x=。通過這樣依次計算的方式來判斷出函數(shù)的單調(diào)性。

2 導數(shù)應用在高中函數(shù)中的體會

在教學體制不斷變革之下，我們所學習的高中數(shù)學知識也發(fā)生了很大的變化。數(shù)學本身就是一門和生活實際相聯(lián)系的科目，在生活中有很多問題都可以通過數(shù)學知識進行解答。尤其是導數(shù)相關(guān)的知識，如果我們使用導數(shù)去解決相關(guān)的問題，則就能讓很多生活和工作上的事情更加簡單。通過對導數(shù)特點的研究發(fā)現(xiàn)，將導數(shù)使用在生活中的一些物體移動速度和商業(yè)方面的利潤最大化都有很大的作用。通過對導數(shù)的使用，可以對我們?nèi)粘Ｉ钪械囊恍﹩栴}進行有效地解決。比如已知某個產(chǎn)品生產(chǎn)成本和產(chǎn)量之間的函數(shù)關(guān)系，知道價格和產(chǎn)量的函數(shù)關(guān)系，通過這兩方面的關(guān)系求出價格基礎(chǔ)上利潤最大值。在對這種問題進行解答的時候，我們需要知道的是利潤是收入減去成本，而收入是產(chǎn)量與價格的相乘，這樣就能夠得出產(chǎn)量與利潤之間的函數(shù)關(guān)系式，進而使用導數(shù)來求出最大的利潤。這是我們將導數(shù)使用在函數(shù)中的一個生活性質(zhì)的體驗。在對導數(shù)進行學習的時候，需要對其中的重難點進行把握。我們首先要做的是對導數(shù)的定義進行一定程度的了解，要清楚的知道導數(shù)的含義。接著就是學習導數(shù)的各種性質(zhì)，導數(shù)的應用主要是對導數(shù)的相關(guān)性質(zhì)進行運用，以此來解答相關(guān)的問題。因此，掌握導數(shù)的相關(guān)性質(zhì)是我們應用導數(shù)解答函數(shù)的關(guān)鍵所在。使用導數(shù)解題本身是一個較為固化和傳統(tǒng)的方式，但是在實際運用過程中還需要將問題簡單化，這樣才能夠真正的掌握導數(shù)的運用技巧，進而提升自己的解題能力。

3 結(jié)束語

導數(shù)知識是高中數(shù)學中的重要構(gòu)成部分，在學習的時候我們要清楚導數(shù)的相關(guān)概念，并且要對其中的性質(zhì)進行正確的把握。在深入理解導數(shù)的基礎(chǔ)上將其應用在函數(shù)的解答中，對函數(shù)的極值以及單調(diào)性等相關(guān)問題進行解析，以此來提升自己對函數(shù)和導數(shù)的理解能力，在問題解答過程中加強自己的知識運用能力。