激活認知結構 培養創新能力

余亞明

學生在學習知識、技能時，在頭腦中貯存了大量的經驗，即“相似塊”。進行思維活動時若能借助這些已有的“相似塊”，在外界信息進入大腦后自動耦合、接通和激活，即活化相應的數學認知結構，被激活的部分在認識結構中不斷擴充、延伸，而重新建構起來的認知結構，又為接受新知識做好再次被激活的準備，這樣不僅解決了數學問題，還能大大提高創新能力。

一、在概念教學中，活化學生的認知結構

恩格斯曾說過：“在一定意義上科學的內容是概念的體系。”千真萬確，縱觀代數、幾何課本，都是由一個個概念有機結合而成的完整的知識體系。因此，在平時的概念教學中，教師切忌直截了當地就概念講概念，應更多地從概念的形成和發展的過程中為學生提供思維情境，在觀察、比較、概括，由特殊至一般，由具體到抽象，由感性到理性的過程中，活化學生的認知結構，促進其認知結構的“同化”和“順化”，提高其自我評價能力。

1.掌握概念的內涵，完善學生的認知結構

概念的內涵就是概念所反映的對象的本質屬性，學習一個新要領，只有幫助學生真正掌握要領的內涵，才能使學生的認知結構更完善。如在教學“數軸”這一概念時，先讓學生觀察直尺、秤桿、溫度計等熟悉的實物，使學生在大腦中建立起一個待學的幾何模型的表象，激活其“原認知結構”后，再引導學生抽象出數軸的概念：“把規定了原點、正方向、單位長度的直線叫數軸。”畫出圖形結合概念再引導學生與三個實物對照，進一步幫助學生理解要領與實物之間的一般與特殊的關系。并強調數軸的本質屬性，即“三要素”（原點、正方向、單位長度），最后再讓學生判斷：下列圖形中是數軸的是（ ），為什么？

實踐證明，這樣的概念教學設計，使學生不僅在建立新概念的過程中，易掌握新概念的本質屬性，而且在新概念的應用中進一步弄清了概念的內涵，完善了學生的認知結構。

2.弄清概念的外延，激活學生的認知結構

概念的外延，是概念所確指的對象的范圍，也就是概念所指的一切對象，而數學概念的外延隨著問題情境的變化，往往不易被學生認清，從而導致學生在解題時遷移不暢，原認知結構不能活化。如果教師在概念教學中，有的放矢地激活原認知結構，就能克服自身思維定勢和聯想抑制的影響，啟動原認知結構的“同化”和“順化”的機能。如筆者在教一元二次方程的判別式這一概念時，與學生一起研究了書上的幾道例（習）題，之后學生基本掌握了它的內涵：“一元二次方程有兩個相等的實數根。”為了使學生進一步理解其外延，筆者設計了以下例題：

【例1】①已知是方程的兩個實數根，且滿足，求實數的值。

②若二次三項式是一個完全平方式，求實數的值。

③二次函數的最小值為零，求實數的值。

④已知的圖象與軸只有一個公共點，求實數的值。

雖然，以上各題提出問題的情境各不相同，但它們的共同點都是依賴于，建立的一元二次方程，從而解得的值，學生通過這一組題的練習，不僅理解了一元二次方程、二次三項式、二次函數三者之間的微妙關系，而且還進一步弄清了一元二次方程根的判別式概念的外延，激活了根的判別式這個原認知結構，促進了認知結構的“同化”和“順化”。

二、在例（習）題的教學中，培養學生的創新能力

例（習）題是初中數學教科書的重要組成部分，它是把知識、技能、思想和方法聯系起來的一條紐帶，是把知識化為能力的一座橋梁，例（習）題的教學過程是培養學生認知能力、促進學生認知結構的“同化”和“順化”，從而實現新建構的主渠道。

【例2】如圖1，在正方形ABCD中，E、F分別是邊AD、DC上的點，且AF⊥BE。

（1）求證：AF=BE；

（2）如圖2，在正方形ABCD中，M、N、P、Q分別是邊AB、BC、CD、DA上的點，且MP⊥NQ。MP與NQ是否相等？并說明理由。

圖1 圖2 圖3

（1）根據正方形的性質，可知AB=AD，∠D=∠BAE=90°，根據正方形和垂直的性質進行等量代換，可知∠DAF=∠ABE，根據全等三角形的角邊角判定定理，可知△ABE≌△ADF。根據全等三角形對應邊相等，證得AF=BE。

評注：解決第（2）題時，引導學生回歸到第一題的本質，則問題迎刃而解。

（2）如圖3，過點A作AF∥MP交CD于F，過點B作BE∥NQ交AD于點E。根據正方形和平行線的性質證明四邊形AFPM和四邊形BNQE均為平行四邊形，根據平行四邊形的性質證明AF=MP，BE=NQ，再用（1）問證得AF=BE，等量代換得證MP=NQ。

【例3】（1）如圖4，正方形ABCD的邊長為2，H在CD的延長線上，四邊形CEFH為正方形，則△DBF的面積為—。

如圖5所示，連接CF。因為∠CBD=∠ECF=45°，根據“同位角相等，兩直線平行”，得CF∥BD，所以△BDF和△BCD為同底等高的三角形，故△DBF的面積等于△BCD的面積，即2×2÷2=2。

評注：解決第（2）題時，引導學生把它與第（1）題適度嫁接，把第（1）題的認知體系置換到第（2）題中，問題得以解決。

（2）正方形ABCD、正方形BEFG和正方形RKPF的位置如圖6所示，點G在線段DK上，正方形BEFG的邊長為4，則△DEK的面積為—。

如圖7，連接DB，GE，FK，則DB∥GE∥FK，

在梯形GDBE中，（同底等高的兩三角形面積相等），同理，則=4×4=16。

總之，數學知識是互相聯系、互相滲透的，有些題目所涉及的知識點單一，可以將這些習題與其他典型問題適度嫁接，就能活躍學生的思維，培養學生的幾何直觀意識，使學生形成較高的分析問題的能力，進而培養學生的創新能力。