數的開方與數系擴充

劉東升

剪拼實驗：如圖1，將兩個邊長為1的正方形分別沿對角線剪開，得到四個等腰直角三角形，即可拼成一個大正方形.容易知道，這個大正方形的面積是2，那么大正方形的邊長是多少呢？

建立模型：待求的大正方形的面積為2，設它的邊長為a，則有a2=2.也就是要把平方運算逆過來思考，即在冪的運算式子“an”中已知指數和冪，逆過來求底數的值.問題簡化如下：

若a2=2，求a= .

引入新運算、定義新概念：

介紹第六種運算：開方運算.在冪的表達式中，已知指數和冪，求底數的運算，稱為開方運算.開方運算的結果稱為方根.

從最簡單的開二次方說起，即開平方.從定義上看，如果一個數的平方等于a（a≥0），這個數就叫做a的平方根.換句話說，如果x2=a，那么x叫做a的平方根.例如，22=4，（-2）2=4，所以2和-2都是4的平方根.

正數a的正的平方根，叫做a的算術平方根.例如，正數4的正的平方根是2，所以2叫做4的算術平方根.

符號表達：正數a的平方根寫成[±a].例如4的平方根寫成[±4]=±2.正數a的算術平方根寫成[a].例如4的算術平方根寫成[4]=2.可見，在上面的“問題”中，a=[2].（負值舍去）

性質辨析：一個正數有兩個平方根，這兩個平方根互為相反數，零的平方根是零，負數沒有平方根.算術平方根具有兩個非負特性：①被開方數必須是非負數，②算術平方根的值也是非負數.

成果擴大：繼續學習開立方運算——立方根.

定義：如果一個數的立方等于a，那么這個數叫做a的立方根.數a的立方根，記作[a3]，讀作“三次根號a”.

顯然，任何數（正數、負數或零）的立方根如果存在的話，必定只有一個.求一個數的立方根的運算，叫做開立方.

數系擴充：有了開方運算，出現了一些開方開不盡的數，我們就有必要將數系進一步擴充到實數了.實數系其實就是對以前學習的所有數的總結，是數系的一次重要擴充，又是今后學習的基礎.我們已經知道整數和分數統稱為有理數，并規定無限不循環小數是無理數，這樣我們把有理數和無理數統稱為實數，即實數這個大家庭里有有理數和無理數兩大成員.

實數的分類可從兩個角度去思考，即（1）按定義來分類；（2）按正、負數來分類.

[實數 [有理數正有理數0負有理數無理數正無理數負無理數]

][或實數

]

最后，我們列一個“知識結構圖”，幫助同學們直觀理解“從數的開方到數系擴充”.

（作者單位：江蘇省海安市城南實驗中學）