糾纏微波信號的特性及表示方法?

李響 吳德偉 苗強 朱浩男 魏天麗

(空軍工程大學信息與導航學院,西安 710077)

(2018年8月26日收到;2018年10月11日收到修改稿)

糾纏微波信號是電磁場微波頻段量子特性的體現.在總結了現有糾纏微波信號產生及驗證實驗的基礎上,針對目前沒有統一的表達式來描述糾纏微波信號格式的問題,通過深入分析糾纏微波信號的特性,提出了兩種糾纏微波信號的表示方法.一種是在量子框架下,利用雙模壓縮真空態表示,并分別在光子數表象下和Wigner分布下分析了其信號特征,刻畫了正交分量之間的正反關聯特性;另一種是在經典框架下,利用關聯隨機信號表示,刻畫了測量后糾纏微波信號場幅度正交分量隨時間變化的波形圖.兩種表示恰當合理地反映了糾纏微波信號連續變量糾纏的特性.

1 引 言

糾纏是量子信息學中最重要的資源,到目前為止,在原子物理學和量子光學領域,人們對糾纏光子已經有了非常深入的研究[1?3],并在許多領域已經開始走向應用[4,5].盡管如此,在實際中仍然存在著許多無法克服的問題,如自由空間中傳播的單光子探測問題、糾纏光子的退相干問題等.糾纏微波是微波頻段的連續變量糾纏信號.從研究電磁場量子性質的角度來看,微波頻段的信號并不是一種很好的選擇,因為與可見光頻段相比,微波單光子的能量只有幾微電子伏,甚至比室溫條件下的熱光子能量kBT還要低幾個數量級.因此,若要檢測到微波頻段的單光子,必須在極低溫條件下才能實現.除此之外,典型的微波諧振器處在毫米的數量級,實際也很難觀測到要求尺度更小的微觀量子現象[6].但是,量子微波也有可見光光子無法企及的優勢,主要表現在兩個方面:一是微波頻段的無線電信號具有比光波更遠的傳輸距離和更強的抗干擾能力,適用于遠距離量子通信、雷達等開放性空間的應用;二是量子微波能夠保持比可見光光子更長的相干時間,適用于做量子計算中的量子比特.盡管量子信息技術飛速發展,但是研究都集中在光學頻段.直到2008年,Yamamoto等[7]利用磁通驅動的約瑟夫森參量放大器(Josephson parameter amplifier,JPA)產生了微波頻段的單模壓縮態,通過改變磁通量,可實現信號的參量放大,并觀測到了微波熱漲落的壓縮低于真空量子噪聲,制備了非經典微波信號.隨后,該研究組Zhong等[8]壓縮了真空噪聲,低于量子噪聲極限4.9 dB.2011年,Eichler等[9]利用JPA產生并觀察到了微波頻段的雙模壓縮態.2012年,Menzel研究組[10]利用JPA產生的壓縮態以及50 ?負載產生的真空態在微波分束器中混合,產生了連續變量量子糾纏微波信號;同年,Flurin研究組[11]在約瑟夫森混頻器(Josephson mixer,JM)中泵浦真空態,產生了兩路空間分離的頻率非簡并量子糾纏微波信號.2017年,Dambach等[12]在約瑟夫森光子設備中產生了糾纏量子微波.在此期間,大量的研究工作集中在電路和設備的性能改進上[13?23].

相較國外近年來在微波糾纏研究領域的火熱進展,國內關于糾纏微波的研究報道還非常匱乏.量子糾纏微波信號主要依靠超導電路產生.從事量子信息技術研究的團隊主要針對的是量子光學方面的內容,而從事超導電路研究的團隊重點關注量子比特,并沒有利用其制備糾纏微波.因此,本文引入糾纏微波信號的概念,并分析糾纏微波信號的特性.此外,目前并沒有統一的格式來描述糾纏微波信號,相關的實驗都只是從測量的角度驗證了微波糾纏的存在.顯然,在對糾纏微波進行檢測處理后,原始信號的面貌已不復存在.但對于指導糾纏微波信號的生成以及從理論上分析其傳播能力、探測方法等方面而言,準確、清晰、完備地描述糾纏微波信號的特征,并給出一個具體的表達式是極其必要的.因此,本文在掌握了現有糾纏微波產生及驗證實驗的基礎上,提出了描述糾纏微波信號的兩種方法.一種是在量子框架下,利用雙模壓縮真空態表征連續變量糾纏微波信號正交分量之間的正反關聯特性,并分別在光子數表象下和Wigner分布下對其進行分析;另一種是在經典框架下,利用關聯隨機信號表示并分析糾纏微波信號測量后的時域波形.

2 量子雙模壓縮真空態表示

糾纏微波信號作為微波頻段量子特性的體現,首先要描述它的量子糾纏特性.糾纏微波信號是一種連續變量量子糾纏,它的糾纏特性表現在微波信號正交分量之間的非定域性關聯,接近于最初由Einstein,Podolsky和Rosen提出的EPR態.糾纏微波信號的產生過程可歸納為強泵浦信號與真空態信號在約瑟夫森結中的相互作用.當泵浦作用在和頻ωa+ωb時,相互作用可認為是參量下轉換過程.系統哈密頓量對應的是雙光子在獨立空間分離模式中的相干產生和湮滅,泵浦受脈沖調制的相干微波光源驅動,相互作用哈密頓量表示為

如果利用雙模壓縮算符描述輸入輸出的散射關系,則可表示為

這里, 雙模壓縮算符S(r,?)=exp(re?i?ab?rei?a+b+),其中rei?表示壓縮參量,r為壓縮幅,它是由泵浦信號幅度、非線性系數以及相互作用時間共同決定的;?是壓縮角,在實際中對應的是注入泵浦信號與真空態信號的相位差.在r→+∞時,雙模壓縮真空態等同于理想的EPR糾纏態,而r在物理上不可能趨于無窮大,所以它合理地描述了實際中產生的糾纏微波信號.

實驗中,利用約瑟夫森參量設備制備糾纏微波信號也是一種參量放大過程,同樣可以利用量子朗之萬方程給出它的輸入輸出關系.量子朗之萬方程給出了電磁場模式a,b與傳播模式ain/out,bin/out之間的演化.信號和閑頻的朗之萬方程為

其中κa和κb分別表示信號和閑頻的帶寬.

參量放大過程的哈密頓量與兩個朗之萬方程的線性關系為

這里ωres是實際的頻率,滿足ωp=+;定義失諧量?=ωa?=?(ωb?).

在參量放大的過程中,泵浦要提供足夠的能量,所以在分析時做經典描述,即令p=p0eiωpt,p0為泵浦幅度.

在頻域范圍內,量子朗之萬方程是簡單的線性系統,

通過輸入和輸出關系,可以從線性系統中估計出場算符a和b,

因此系統容易表示成散射關系,

(7)式定義了散射矩陣

其中散射矩陣的四個系數

這里,散射矩陣的四個系數raa,rbb,sab,sba之間存在著如下關系:|raa|=|rbb|,|sba|=|sab|以及

對應到(2)式雙模壓縮算符表示的輸入輸出散射關系中,發現四個系數cosh(r),cosh(r),ei?sinh(r),e?i?sinh(r)滿足同樣的關系. 因此,這兩種推導過程都反映了輸入的微波信號在泵浦作用下,產生了放大的兩路糾纏微波信號,二者是互為驗證的關系.所以,在量子框架下,利用雙模壓縮真空態能夠真實地表示糾纏微波信號.下面分別在光子數表象下和Wigner分布下分析雙模壓縮真空態表示的信號特征.

電磁場的任意量子態都可以在光子數表象下展開.將表示糾纏微波信號的雙模壓縮真空態|ξ?在光子數表象下展開為

因此,雙模壓縮真空態中每個模的光子數分布概率為

可見,光子數分布的概率是由壓縮幅r和光子數n共同決定的.圖1分別仿真了在r=1,2,3時,雙模壓縮真空態中每個模的光子數分布.

圖1 不同壓縮幅r下雙模壓縮真空態光子數分布(a)r=1;(b)r=2;(c)r=3Fig.1. Photon number distribution of two-mode squeezed vacuum state for different squeezing amplitude:(a)r=1;(b)r=2;(c)r=3.

圖1 (a)為r=1時不同光子數的概率分布.可以看出,光子數n=1的概率最大,隨著光子數的增多,概率逐漸減小,減小的趨勢呈現出負指數規律變化.在n>12時,概率P幾乎為0,可以忽略不計.所以,若研究r=1時的糾纏微波信號,光子數取值到n=12就可以近似地刻畫出該信號的分布形式.

圖1(b)為r=2時不同光子數的概率分布.可以看出,同樣是光子數n=1的概率最大,但是相比于圖1(a)中n=1的概率值卻小了很多,原因在于光子數更大的值占據了一部分的概率分布.這里,直到n≈80時,概率P才趨近于0.同樣,概率隨光子數的變化仍然呈現出負指數規律.

圖1(c)為r=3時不同光子數的概率分布.可以看出,變化規律同上面的描述是一致的.此時,光子數n已經取到了600,概率P才趨近于0.隨著壓縮幅r值的繼續增大,需要獲取更大的光子數才能完整地刻畫出概率的分布.但是整體的變化趨勢與上面的分析是一致的.

總結在光子數表象下描述糾纏微波信號特征的方法,其優點在于:便于理解每個模中糾纏微波光子的分布.但是這種方法也存在以下幾方面的缺點:一是隨著壓縮幅r的不斷增大,需要分析的光子數取值會呈現指數級的增長,不便于研究;二是雖然在n增大到一定值時,相應的概率會趨近于0而將其舍棄,但如果將所有舍棄的光子數與其對應的概率作乘積再求和,它們在全部能量中所占的比重是不能忽略的,因此這種方法實際上丟掉了一些有用信息;三是在物理上光子數n不可能趨向于無窮大,而且將微波場信號拆分為不同光子數下的概率疊加也并不能真實地反映糾纏微波信號場的形態以及在實驗探測中得到的結果.

下面將給出更為完備地描述糾纏微波信號特征的Wigner分布.

所有的量子態都能夠通過密度算符來表示,而任何密度算符都能夠按照準概率分布有對應的表示.Wigner函數是歷史上最早提出的準概率分布函數,起初在位置和動量空間(X,P)中定義,即

對于雙模壓縮真空態而言,定義所有正交分量組成的向量ξ=(Xa,Pa,Xb,Pb),其中(Xa,Pa)為a模的一對正交分量,(Xb,Pb)為b模的一對正交分量,其在Wigner函數下的表示為

計算正交分量組成的協方差矩陣V,得到

主對角線上的元素反映了正交分量的自相關(圖2中紅色直方體),其余元素反映了正交分量之間的互相關.其中,Xa與Xb的協方差為sinh(2r)(圖2中綠色直方體),而Pa與Pb的協方差為?sinh(2r)(圖2中紫色直方體),正是這一正一負反映了雙模壓縮態的特征,即糾纏微波信號正交分量之間正反關聯的非定域糾纏特性,壓縮幅r決定了兩路信號糾纏度的大小.

圖2 雙模壓縮真空態正交分量協方差矩陣示意圖Fig.2.Schematics of the covariance matrix of the quadrature components of two-mode squeezed vacuum state.

這種表示形式是四維的,可以通過計算邊緣分布來獲得它的結構特征,也就是計算(Xa,Pa,Xb,Pb)中任意兩個量之間的分布關系.

正交振幅分量(Xa,Xb)之間的邊緣分布為

正交位相分量(Pa,Pb)之間的邊緣分布為

圖3仿真了r= 1時(Xa,Xb)與(Pa,Pb)的Wigner分布.

從圖3可以明顯看出,邊緣分布出現了雙模壓縮,即在某一方向上低于真空量子漲落,而且正交振幅分量(Xa,Xb)之間是正關聯的,正交位相分量(Pa,Pb)之間是反關聯的.這一特征就是糾纏微波信號區別于經典微波信號的最本質特征,它反映了測量的噪聲起伏之間的量子關聯.

總結利用Wigner分布描述糾纏微波信號特征的方法,其優點在于:一是可以分析任意壓縮幅r的情況,并且能夠不丟失任何信息地完備描述糾纏微波信號各個正交分量之間的概率密度分布;二是可以直接從各個正交分量的Wigner分布中表征糾纏的信息,而糾纏微波信號的糾纏特性恰恰體現為正交分量之間的關聯,這是在光子數表象下做不到的;三是對于探測糾纏微波信號而言,實際中很難從單光子層面進行,大多都是提取信號的場幅度或功率等信息,所以利用Wigner分布描述糾纏微波信號特征是具有實際意義的.

圖3 r=1時(Xa,Xb)和(Pa,Pb)的Wigner分布圖 (a)(Xa,Xb)的Wigner分布;(b)(Pa,Pb)的Wigner分布Fig.3.The Wigner distribution of(Xa,Xb)and(Pa,Pb)for r=1:(a)The Wigner distribution of(Xa,Xb);(b)the Wigner distribution of(Pa,Pb).

3 經典關聯隨機信號表示

在很多人看來,糾纏的神秘特性是難以理解的,因此,許多研究也致力于量子問題的經典描述.Khrennikov等[24]的研究表明,量子力學的一些性質可以通過經典隨機場模型復現,提出了一種適用于量子信道的經典信號模型.Bharath等[25]提出了糾纏態的經典模擬,量子態為純態時滿足貝爾不等式.本文從檢測到信號波形的角度反推糾纏微波信號的格式.對糾纏微波信號進行測量的最常見方法是零拍檢測(homodyne detection),其主要思想為:接收信號在IQ混頻器中與本振信號相乘,獲得待測信號的正交分量信息,將其送至相關設備中進行處理和運算.它觀測的物理量是信號場幅度,糾纏特性也體現在信號場幅度的正交分量之間.對于理想的兩路糾纏微波信號而言,若X方向正交分量為正關聯,則P方向正交分量為反關聯(Xa=Xb,Pa=?Pb),如圖4所示.或X方向正交分量為反關聯,則P方向正交分量為正關聯(Xa=?Xb,Pa=Pb).

圖4 糾纏微波信號場幅度正交分量正(反)關聯示意圖Fig.4.Schematics of the positive(negative)correlation of the quadrature components of entangled microwave signals field.

任意正弦波信號U(t)可以表示為

這里的I(t)和Q(t)即為信號場幅度的正交分量,它們與Xa,Xb,Pa,Pb所表達的含義是一致的.根據式中的關系,可令Xa=Xb=I(t),Pa=?Pb=Q(t).若糾纏微波信號的角頻率為ω,那么理想的a,b兩路糾纏微波信號可表示為

但前面說到,實際中無法實現兩路信號之間的理想糾纏.因此,將壓縮參量放入式中,構造滿足所需關系的表達式為

可以看出,當r→∞時,兩路信號恰好為理想的糾纏;而當r=0時,兩路信號不存在任何糾纏關系.a(t)和b(t)描述了一種以ω為中心角頻率的隨機過程,這與實際的結果是符合的.

本文研究的是微波頻段的糾纏信號,所以仿真中取ω=2π×5 GHz.當輸入的信號為真空態時,I1(t),Q1(t)與I2(t),Q2(t)分別表示信號a(t)與b(t)的真空噪聲漲落.為了給定該輸入的真空噪聲漲落,令上述四個正交分量取(0,1)之間的隨機數,象征著漲落圓的大小為單位圓.又由于在相空間描述真空態正交分量的邊緣概率密度函數為正態分布,因此,仿真中輸入的四個正交分量取以正態分布變化的(0,1)之間的隨機數.照此,圖5仿真了a(t)和b(t)的信號波形圖,其中壓縮幅r=3.

從圖5可以看出,兩路糾纏微波信號a(t)和b(t)都是以相同的頻率周期變化,每一個周期內的信號幅度也都是隨機變化的.幅值大小上下抖動,可以看作是調幅信號,調制信號的幅度隨機變化.對于普通的正弦波信號而言,它的幅值包絡應該為一條水平直線,等同于在接收端利用與正弦波信號頻率相同的本振做零拍檢波時,測得的電流為直流.而對于糾纏微波信號而言,檢波后將直流分量濾掉,剩下的交流部分才是有用的部分,即反映糾纏特性的部分.交流起伏的大小反映了兩路信號糾纏度的大小,可以通過提取兩路信號的對應正交分量之間的關聯來進行量化.圖6提取了兩路糾纏微波信號的正交分量,刻畫了正交分量隨時間變化的波形圖.

從圖6可以看出,單看任意一路信號,提取的正交分量都是隨著時間隨機變化的,且這種變化為真隨機.將兩路信號放在一起對比,發現I方向正交分量表現為正關聯,Q方向正交分量表現為反關聯,恰好是糾纏微波信號特性的反映.

圖5 糾纏微波信號波形圖(信號場幅度隨時間變化)Fig.5.Waveform of entangled microwave signals(the amplitude of the signals field varies with time).

圖6 提取的糾纏微波信號正交分量波形圖(紅色表示a(t),藍色表示b(t)) (a)I方向正交分量;(b)Q方向正交分量Fig.6.Waveform of the extracted quadrature components of entangled microwave signals(the red and blue curves are a(t)and b(t),respectively):(a)The quadrature component of I direction;(b)the quadrature component of Q direction.

糾纏微波信號本質上仍然是電磁波,如果在它的傳播過程中對其進行探測,得到的波形反映為信號幅度隨時間的變化.它是頻率處在微波頻段的正弦波信號,但是正弦波信號的幅值不是恒定不變的,而是隨機抖動的,象征著噪聲的起伏,起伏的程度由產生糾纏微波信號時的壓縮度決定,壓縮度越大,起伏得越厲害.所以從測量后的信號波形來看,糾纏微波信號反映的是噪聲的起伏隨時間變化的關系,每一路信號都是幅度隨時間變化的正弦波信號.這里,區別經典信號而能夠體現出糾纏的特征在于兩路信號的噪聲起伏存在關聯,而經典信號的噪聲起伏是不可能存在任何關聯的.在經典的電磁波中,一般信號的幅值是很大的,噪聲起伏相對來說可以忽略不計,所以在處理問題時利用的都是均值的關聯,若利用糾纏微波信號的特性,就要把大均值上的小噪聲起伏提取出來加以處理和分析.

4 總 結

本文在分析了糾纏微波信號的產生過程及其特征的基礎上,提出了兩種描述糾纏微波信號的方法.一種是量子框架下的雙模壓縮真空態表示,一種是經典框架下的關聯隨機信號表示.兩者都能夠描述糾纏微波信號正交分量之間的正反關聯特性.但雙模壓縮真空態的表示是更完備的,糾纏的含義已經包含在其中,可以利用雙模壓縮真空態表示計算糾纏微波信號的糾纏度、噪聲漲落的功率等反映量子信息的參數,雙模壓縮真空態適用于任何情況下的糾纏微波信號描述.而關聯隨機信號表示則是不完備的,從中無法體現糾纏信號突破量子噪聲極限的非經典特性,它的優點在于能夠給人一種直觀的感受,使人更容易理解糾纏微波信號在時域上的特征,可利用其仿真糾纏微波信號.盡管與量子光學有諸多相似之處,但量子糾纏微波有其獨特的地方,主要是反映在噪聲漲落之間的糾纏特性需要通過測量微波場的正交分量才能夠獲得,而不是從單光子層面進行量測,所以這種連續變量糾纏特性也只有通過雙模壓縮真空態、關聯隨機信號等方法才可以恰當合理地表示.