基礎水平運動的彈簧擺的周期解與穩定性?

張利娟 張華彪 李欣業

1)(河北工業大學機械工程學院,天津 300130)

2)(天津商業大學機械工程學院,天津 300134)

(2018年9月8日收到;2018年10月22日收到修改稿)

針對基礎水平運動的彈簧擺的非線性動力學響應進行研究,利用拉格朗日方程建立了系統的動力學方程.將離散傅里葉變換、諧波平衡法以及同倫延拓方法相結合,對系統的周期響應進行求解,避免了傳統方法計算中使用泰勒展開引起的小振幅的限制,與數值計算結果的對比表明該求解方法具有較高的精確度.利用Floquet理論分析了周期響應的穩定性,給出了基礎運動振幅和頻率對系統周期響應的影響.研究發現:對應某些基礎頻率和振幅,系統的周期響應可能發生Hopf分岔;利用數值計算研究了Hopf分岔后系統響應隨基礎頻率和振幅的變化,發現系統出現了倍周期運動、擬周期運動和混沌等復雜的動力學行為.研究表明系統進入混沌的主要路徑是擬周期環面破裂和陣發性.

1 引 言

彈簧擺作為一個典型的兩自由度非線性系統,在許多關于非線性振動的專著中都有所論述[1,2],它既可以看成是單擺的推廣,也可以看成是單自由度彈簧質量系統的推廣.由于人們對這兩類單自由度系統非常熟悉,所以彈簧擺特別適合于說明非線性振動系統中的內共振以及其他動力學現象.事實上,在研究大型起重船或吊車作業時懸吊物的擺振問題時就可以將此簡化為彈簧擺模型,因此其非線性動力學問題一直得到研究者的關注.

Eissa等[3]用多尺度法研究了六次非線性模型彈簧擺在兩個模態都受到簡諧激勵時主共振、亞諧共振、超諧共振、組合共振響應的四階近似解,發現參數的變化會導致頻響曲線的側彎.Alasty和Shabani[4]研究了1:2內共振彈簧擺沿呼吸和擺動模態都受簡諧激勵時主共振響應的混沌運動,發現除了奇怪吸引子外還有多個共存的規則吸引子,且后者的吸引域邊界是分形的.Starosta等[5]研究了內共振彈簧擺受不同頻率簡諧激勵時的參數激勵共振-主共振響應,結果表明頻響曲線既可以呈硬特性也可能呈軟特性.Awrejcewicz等[6]對擺錘沿擺動的徑向及切向分別受簡諧激勵的彈簧擺,利用多尺度法研究了彈簧的非線性和耦合強度對穩態和瞬態共振響應的影響,得到了穩態共振響應的頻響特性方程以及非穩態響應的近似漸近解.Klimenko等[7]研究了彈簧擺和一個單擺吸振器系統的動力學響應,計算了系統的非線性模態,并通過穩定性分析給出了不同非線性模態的穩定和不穩定區域.蕭寒等[8]基于多尺度法研究了在單頻激勵下1:2內共振平方非線性模型彈簧擺主共振響應鞍結分岔的控制問題,設計的反饋控制器不僅能使系統的振幅得到有效的控制,還可以將彈簧擺的擾動控制到一條穩定的周期運動軌道上.全局響應方面,Sousa等[9]提出了一種用于研究非線性耦合系統能量交換方式以及系統參數對能量交換影響的方法,并將其應用于彈簧擺系統,分析了系統的擺動和呼吸運動之間的能量轉換,給出了彈簧擺系統能量分布的全局特征.Lee[10]利用插值映射法研究了平方非線性模型彈簧擺存在1:2內共振關系時在簡諧激勵下主共振穩定周期響應的全局吸引域問題,發現在四維狀態空間中存在一個特殊的平面,包含了全部吸引子.Lee和Park[11,12]利用多尺度法分別研究了同時含有平方和立方非線性并具有1:2內共振關系的彈簧擺在簡諧激勵下主共振響應的一階和二階近似解的混沌運動,分岔圖和李雅普諾夫指數結果表明,二階近似解比一階近似解能更好地與原系統吻合.Zaki等[13]利用數值方法討論了只沿切線方向受簡諧激勵的彈簧擺非主共振響應的分岔和通向混沌的道路,發現彈簧的非線性對其有重要的影響.Tian等[14,15]研究了具有無理式和分式形式非線性恢復力的彈簧擺,利用多尺度法分析了泰勒展開后的系統的周期響應,利用改進的Melnikov方法給出了系統出現混沌的閾值,并進行了數值驗證.Awrejcewicz等[16]研究了同時有兩個方向外激勵的彈簧擺的非穩態響應,利用多尺度法給出了系統非穩態響應的包絡線和極限相軌跡.Digilov等[17]建立了彈簧擺上變質量阻尼振蕩模型,該模型的質量以恒定速率衰減,討論了質量損失率對阻尼參數大小的影響.Eissa等[18]將橫向調諧吸振器應用于多參數激振的彈簧擺系統的振動控制中,研究了次諧共振和內共振情況下的周期解及其穩定性,討論了吸振器和系統參數對響應的影響.

除了簡諧激勵外,受基礎激勵的彈簧擺也是研究的熱點之一.Gitterman[19]對懸掛點做豎直方向簡諧運動和受到外加激勵的彈簧擺進行了比較研究,為此將運動微分方程中的三角函數做泰勒展開后截取到四次項,用多尺度法求取了四階近似解.結果表明,當外激勵和黏性阻尼為同階小時,二者的低階近似解是一樣的,但當阻尼力比外激勵更小時,低階近似解是不同的.Amer等[20,21]分別對沿圓形軌跡和橢圓軌跡移動的彈簧擺進行研究,采用多尺度法求得了系統的周期解,并進行了穩定性分析,同時利用數值計算分析了周期解失穩后的響應.他們又將擺球由質點改為剛體開展研究[22],對系統的共振情況進行分類,給出了穩態解的可解條件.

工程中很多彈簧擺系統在工作時其基礎是水平運動的,可能是在平衡位置附近的左右往復運動,也可能是行進過程中的變速運動,然而針對基礎水平運動彈簧擺的研究并不多見.同時對于已有的彈簧擺甚至單擺的研究,特別是周期解的計算中,由于動力學方程中存在擺角的三角函數項,傳統解析方法無法處理,只能對擺角進行泰勒展開后再進行研究.眾所周知,泰勒展開只在展開點附近是相對精確的,因此泰勒展開后的動力學方程只適用于擺動角度很小的情況,而在擺動角度很大時,其所得的分析結果往往是不準確,甚至錯誤的.特別是對于基礎激勵的情況,其動力學方程中除回復力外,在激勵項中也含有擺角的三角函數,泰勒展開不僅改變了回復力的大小,還改變了激勵的形式.因此針對未經泰勒展開的彈簧擺系統的動力學方程開展研究,特別是研究大擺角情況下的周期解及其穩定性具有更高的理論價值.

基于上述問題,本文針對基礎水平運動的彈簧擺的響應開展研究.第2部分利用拉格朗日方程建立了基礎水平運動的彈簧擺的動力學方程;第3部分將諧波平衡法、離散傅里葉變換以及同倫延拓方法相結合,直接對未經泰勒展開彈簧擺系統的動力學方程進行求解,求得了系統的周期響應;第4部分針對系統周期解的穩定性進行研究;第5部分分析了基礎頻率和振幅對系統響應的影響;最后對本文的主要結論進行總結.

2 基礎水平運動彈簧擺的動力學模型

圖1 基礎水平運動的彈簧擺Fig.1.Spring pendulum with base motion in the horizontal direction.

圖1 為基礎水平運動的彈簧擺模型,其中x1為擺球沿彈簧長度方向的位移,x2為彈簧擺的角位移,m和k分別表示擺球的質量和彈簧的剛度,l為擺長,有l=l0+mg/k,其中l0為彈簧的原長.我們定義o為坐標系原點,建立如圖1所示x-o-y坐標系,則擺球的位置可表示為

因此擺球的速度可寫作:

圖2 彈簧擺響應的相圖和頻譜 (a)Ab=0.3 m,ω=4 rad/s,初值(1.09,1.43,1.26,0.11),仿真時間τ=0—800π;(b)Ab=0.3 m,ω=2.22 rad/s,初值(0.25,0.93,?0.33,0.98),仿真時間τ=0—800πFig.2.Phase diagram and spectrum of spring pendulum:(a)Ab=0.3 m,ω=4 rad/s,initial value(1.09,1.43,1.26,0.11),simulation time τ =0–800π;(b)Ab=0.3 m,ω =2.22 rad/s,initial value(0.25,0.93,?0.33,0.98),simulation time τ =0–800π.

擺球的動能、勢能、瑞利耗散函數分別為利用拉格朗日方程可得系統的運動方程,有

本文主要考慮基礎做簡諧運動的情況,因此有x3=Abcosωt.定義X1=x1/l,X2=x2,τ=ωt,對方程進行無量綱化并化簡,有

其中

對方程(5)進行數值求解,如無特殊說明,本文設定計算參數為m=0.5 kg,k=20 N/m,l=1 m,g=10 m/s2,c1=0.1 Ns/m,c2=0.1 Ns.

圖2給出了彈簧擺運動的相圖和頻譜,可以看到系統周期響應的頻率成分非常復雜,采用傳統方法求1次或者幾次諧波解無法準確地描述周期解的響應特性,因此本文將諧波平衡法和同倫延拓方法相結合對系統進行高次諧波求解.

3 基礎水平運動的彈簧擺的周期解

設方程的解為

其中A和B分別為各次諧波的系數,n為所求解的最高次諧波數.將(7)式代入方程(5),利用傅里葉變換提取各次諧波系數,可得關于振幅的代數方程如下:

下面將利用同倫延拓方法對(8)式進行求解,為了便于說明求解過程,令z=[z1,z2,···,zh],其中h=4n+3,z1=A0,z2=B0,z4i?1=A1i,z4i=A2i,z4i+2=B2i,z4i+1=B1i,zh為所要研究的系統參數,則方程(8)可寫作

其中,H(z)=[H1,H2,···,Hh?1]T. 設定zj(zj∈Rh)為解曲線上的一個正則點(z0可以通過給定系統參數,利用牛頓拉普森法求得),沿該點的切線方向預估,下一個預測點可寫作

式中δj為第j部的步長;uj為預測方向,滿足下列要求

從p=1開始迭代,直到滿足∥yp+1?yp∥6ε時停止,下一個點zj+1=yp+1.

理論上利用上述方法可以求得系統參數對各次諧波振幅的影響.但實際計算中,H(yp)和H′(y0)的計算需要對(8)式中的積分進行直接解析求解,考慮到f1,f2中含有X2的三角函數項,這是非常困難的,特別是當諧波數較多,即n較大時,解析求解幾乎是不可能的.因此我們采用數值方法求取H(yp)和H′(y0),將τ在一個周期2π內等分成q份,則τ變為一個等差序列[0,2π/q,4π/q,6π/q,···,2(q?1)π/q],給定yp的值,代入到(7)式中,則X1,X2都變成了時間序列,然后將X1,X2代入方程(5),則f1,f2變為(h?1)×q的序列,對該序列進行離散傅里葉變換可以求得H(yp)的值.對于導數矩陣H′(y0),有

矩陣中各項可以通過差分形式求得,有

利用上述方法對方程進行求解時,理論上n取值越大,所得解的精度越高,然而n取值過大,則會影響計算效率.我們對系統的周期解進行了大量的數值計算,發現系統的周期解的主要頻率成分在20次以內,因此本文設解的諧波次數n=20.圖3給出了基礎激勵的彈簧擺系統的計算結果,其中實線為20次諧波解,圓點為龍格-庫塔方法的計算結果,可以看到兩者吻合得非常好,特別是圖3(b)中擺動方向的振幅已經達到了1.5(角度值約85.9?),遠遠超出了微幅振動的范圍,因此本文的方法不僅具有較高的求解精度,而且適合于彈簧擺大幅振動的情況.

圖3 20次諧波解和數值解的對比(HB,諧波平衡法的結果;RK,龍格-庫塔法結果) (a)ω=4 rad/s,Ab=0.3 m;(b)ω=2.22 rad/s,Ab=0.3 mFig.3.Comparison of 20th harmonic solution and numerical solution(HB,the solution of harmonic balance method;RK,the solution given by Runge-Kutta method):(a)ω=4 rad/s,Ab=0.3 m;(b)ω=2.22 rad/s,Ab=0.3 m.

4 周期解的穩定性分析

下面利用Floquet理論研究周期解的穩定性,將方程(5)寫作狀態方程形式:

其中M=DF().顯然M為時變參數矩陣,利用Hsu方法求解,以單位陣為初值,在一個周期內進行數值積分,可求得Floquet乘數矩陣,其特征值為Floquet乘子.當Floquet乘子從1處穿出單位圓時,系統發生靜態分岔,Floquet乘子從?1處穿出單位圓時,系統發生倍周期分岔,Floquet乘子從其他位置穿出單位圓時,系統發生Hopf分岔.

5 基礎運動頻率和振幅的影響分析

圖4 基礎運動頻率對系統振幅的影響(SP,靜態分岔點;HP,Hopf分岔點)(a)Ab=0.02 m;(b)Ab=0.05 m;(c)Ab=0.25 m;(d)Ab=0.3 m;(e)Ab=0.4 m;(f)Ab=0.6 mFig.4.Influence of base frequency on the amplitude of system(SP,the static bifurcation point;HP,the Hopf bifurcation point):(a)Ab=0.02 m;(b)Ab=0.05 m;(c)Ab=0.25 m;(d)Ab=0.3 m;(e)Ab=0.4 m;(f)Ab=0.6 m.

圖4 給出了對應不同基礎幅值時基礎運動頻率對系統振幅的影響曲線,這里的振幅是20次諧波疊加后振動位移的最大值,表1是對應圖4中各分岔點的分岔形式和Floquet乘子的變化,可以看到隨著基礎頻率的變化,系統的振幅出現了兩個峰值,當基礎幅值Ab=0.02 m時,系統的響應在整個頻率范圍內都是穩定的周期解.隨著基礎幅值的增大,響應的兩個峰值分別向兩個方向發生偏斜,兩者之間的距離越來越遠,同時系統出現了不穩定周期解.圖4(b)—(f)的變化趨勢是一致的,隨頻率的變化先發生兩次靜態分岔,基礎頻率在兩靜態分岔點之間時系統具有兩個穩定的周期解,即系統具有雙穩態現象.然后隨著基礎頻率的增大,系統將發生兩次Hopf分岔.而當ω>3.5 rad/s時,圖4(b)的下一個靜態分岔點出現在轉折點處,而圖4(c)—(f)中下一個靜態分岔點出現在曲線的中段.圖4(c)和圖4(d)在ω=5 rad/s附近有穩定的周期解,然后在ω=6 rad/s附近通過靜態分岔失穩,而圖4(e)中當ω>4.8 rad/s,系統不存在穩定的周期解,圖4(f)中系統在ω=5 rad/s附近沒有穩定的周期解,然而在ω=6 rad/s附近又出現了穩定的周期解.利用數值計算對圖4(c)—(f)中通過靜態分岔點P1后的動力學行為進行研究,發現圖4(c)中通過P1后系統的響應發生跳躍,跳到下方的周期解軌道上,而圖4(d)—(f)通過P1后系統的響應不再是周期運動,穩定的運動中擺動方向的位移隨著時間變化持續增大,如圖5所示.此時彈簧擺的運動表現為一種旋轉運動,稱之為旋轉解,同時還可以看到此時呼吸運動的最大無量綱振幅超過了1010,由此可知旋轉解出現后彈簧擺必然會被破壞,這是工程中必須要避免的.數值計算發現在圖4(d)和圖4(f)中周期解通過P2點后也會變成旋轉解.

表1 對應圖4的分岔類型和Floquet乘子的變化Table 1.Bifurcation type and change of Floquet multiplier corresponding to Fig.4.

圖5 旋轉解的時間歷程(Ab=0.3 m,ω=4.81 rad/s;初值(1.133,1.503,1.273,0.113);(c),(d),(e)為(a)的局部放大;(f),(g),(h)為(b)的局部放大)Fig.5.Time process of the rotational solution(Ab=0.3 m,ω=4.81 rad/s;initial value(1.133,1.503,1.273,0.113);panels(c),(d),(e)are the partial enlargement of panel(a),and panels(f),(g),(h)are the partial enlargement of panel(b)).

圖6 彈簧擺響應隨基礎運動頻率變化的分岔圖和李雅普諾夫指數(Ab=0.3 m;ω=2.8 rad/s時的初值為(?0.27,0.34,?0.63,0.50);仿真時間τ=0—800π) (a)分岔圖;(b)李雅普諾夫指數;(c),(d),(e),(f)分岔圖(a)的局部放大Fig.6.Bifurcation diagram and Lyapunov exponent of spring pendulum with the change of base frequency(Ab=0.3 m):(a)Bifurcation diagram;(b)Lyapunov exponent;(c),(d),(e),(f)enlargement of the bifurcation diagram(a).The initial value is(?0.27,0.34,?0.63,0.50)when ω =2.8 rad/s.Simulation time is τ=0–800π.

圖7 彈簧擺隨基礎運動頻率變化的典型動力學響應的龐加萊映射 (a)周期1運動,ω=2.91 rad/s;(b)擬周期運動,ω=2.92rad/s;(c)擬周期運動,ω=2.93 rad/s;(d)混沌運動,ω=2.9325 rad/s;(e)周期9運動,ω=2.9346 rad/s;(f)混沌運動,ω=2.9348 rad/s;(g)周期6運動,ω=2.9632 rad/s;(h)混沌運動,ω=2.9646 rad/s;(i)擬周期運動,ω=2.992 rad/s;(j)混沌運動,ω=3.002 rad/s;(k)周期7運動,ω=3.17 rad/s;(l)混沌運動,ω=3.172 rad/s;(m)周期27運動,ω=3.1806 rad/s;(n)擬周期運動,ω=3.182 rad/s;(o)擬周期運動,ω=3.48 rad/sFig.7.Poincare map of typical dynamic behavior of spring pendulum with the change of base frequency:(a)Period 1 motion,ω=2.91 rad/s;(b)almost periodic motion,ω=2.92rad/s;(c)almost periodic motion,ω=2.93 rad/s;(d)chaos,ω=2.9325 rad/s;(e)period 9 motion,ω=2.9346 rad/s;(f)chaos,ω=2.9348 rad/s;(g)period 6 motion,ω=2.9632 rad/s;(h)chaos,ω=2.9646 rad/s;(i)almost periodic motion,ω=2.992 rad/s;(j)chaos,ω=3.002 rad/s;(k)period 7 motion,ω=3.17 rad/s;(l)chaos,ω=3.172 rad/s;(m)period 27 motion,ω=3.1806 rad/s;(n)almost periodic motion,ω =3.182 rad/s;(o)almost periodic motion,ω =3.48 rad/s.

對兩個Hopf分岔點之間的動力學行為進行數值計算,圖6給出了系統響應隨基礎運動頻率變化的分岔圖和李雅普諾夫指數,圖7給出了系統出現的典型動力學響應的龐加萊映射,可以看到系統在基礎運動頻率ω=2.91 rad/s時,響應為周期1運動,隨著頻率的增大,周期1運動發生Hopf分岔變為擬周期運動(見圖7(b)),頻率繼續增大后,擬周期運動發生環面倍化(見圖7c)),進而擬周期環面破裂,系統的響應進入混沌(見圖7(d)).隨后系統的響應在ω=2.933 rad/s附近退出混沌,變為周期9運動(見圖7(e)),然后在ω=2.935 rad/s附近通過陣發性再次進入混沌.在ω=2.963 rad/s附近,系統退出混沌,響應為周期6運動,在ω=2.964 rad/s附近重新進入混沌,此時系統的響應在相平面上表現為6個小的吸引子,隨著頻率的增大,6個小的吸引子很快變成了一個大的吸引子.在ω=2.972 rad/s附近系統再次退出混沌,變為周期9運動,在ω=2.984—2.994 rad/s時系統響應為擬周期運動,其龐加萊映射為9個不變環,在ω=3.002 rad/s附近周期9運動通過陣發性回到混沌.在ω=3.168—3.215 rad/s之間,系統響應在周期運動、混沌和擬周期運動之間發生多次切換,典型的響應包括周期7運動、周期27運動、27不變環的擬周期運動和混沌(見圖7).然后系統在ω=3.4715 rad/s附近響應變為環面倍化的擬周期運動(見圖7(o)),進而回到一個不變環的擬周期運動,隨著轉速的增大重新轉化為周期1運動.需要注意的是,圖7(b)、圖7(c)、圖7(i)、圖7(n)和圖7(o)都是擬周期運動,然而其運動的本質是不同的,圖7(b)的擬周期運動中含有激勵的無量綱頻率1和Hopf分岔產生的不可約的頻率成分ωH及其線性組合,在圖7(c)中系統響應發生了環面倍化,其實質是ωH頻率成分發生了倍周期分岔,即響應中出現了含ωH/2頻率的成分,圖7(o)的響應形式和圖7(c)類似.而圖7(i)和圖7(n)的響應實質是由倍周期運動通過Hopf分岔產生的擬周期運動,其頻率成分為1/N與Hopf分岔的頻率成分ωH及其線性組合,其中N是倍周期運動的周期數.

我們同樣研究了基礎振幅對響應的影響,圖8給出了對應不同基礎運動頻率時,基礎振幅對彈簧擺振幅的影響曲線,表2是與之對應的各分岔點的分岔形式和Floquet乘子的變化.可以看到對應于ω=2.3 rad/s和ω=4.6 rad/s兩種情況,曲線都出現了兩個靜態分岔點,當基礎振幅取某些值時,系統出現了兩個穩定解和一個不穩定解,隨著基礎振幅的變化,響應的振幅將發生跳躍現象;而在ω=6 rad/s時,系統在Ab=0.2 m附近的靜態分岔點失穩后將進入旋轉狀態,在Ab=0.53—0.6 m之間穩定周期解和旋轉解共存,系統的響應將取決于初始狀態;在ω=2.9 rad/s時,當基礎振幅較小時,系統響應隨基礎振幅的變化將發生跳躍,而在Ab=0.328 m附近系統將發生Hopf分岔,響應由周期運動變為擬周期運動.

圖8 基礎振幅對系統響應振幅的影響(SP,靜態分岔點;HP,Hopf分岔點) (a)ω=2.3 rad/s;(b)ω=2.9 rad/s;(c)ω=4.6 rad/s;(d)ω=6 rad/sFig.8.Influence of base amplitude on the amplitude of system(SP,the static bifurcation point;HP,the Hopf bifurcation point):(a)ω=2.3 rad/s;(b)ω=2.9 rad/s;(c)ω=4.6 rad/s;(d)ω=6 rad/s.

圖9 彈簧擺響應隨基礎振幅變化的分岔圖和李雅普諾夫指數(ω=2.9 rad/s,Ab=0.3 m時的初值為(?0.30,0.34,?0.54,0.43),仿真時間τ=0—800π)Fig.9.Bifurcation diagram and Lyapunov exponent of spring pendulum with the change of base amplitude(ω=2.9 rad/s;the initial value is(?0.30,0.34,?0.54,0.43)when Ab=0.3 m;simulation time is τ=0–800π)

圖10 彈簧擺隨基礎振幅變化的典型動力學行為的龐加萊映射 (a)周期1運動,Ab=0.32 m;(b)擬周期運動,Ab=0.34 m;(c)擬周期運動,Ab=0.366 m;(d)混沌,Ab=0.368 m;(e)周期4運動,Ab=0.372 m;(f)擬周期運動,Ab=0.374 m;(g)周期16運動,Ab=0.3752 m;(h)周期11運動,Ab=0.38 m;(i)混沌,Ab=0.384 m;(j)擬周期運動,Ab=0.4454 m;(k)周期7運動,Ab=0.45 m;(l)混沌,Ab=0.485 mFig.10.Poincare map of typical dynamic behavior of spring pendulum with the change of base amplitude:(a)Period 1 motion,Ab=0.32 m;(b)almost periodic motion,Ab=0.34 m;(c)almost periodic motion,Ab=0.366 m;(d)chaos,Ab=0.368 m;(e)period 4 motion,Ab=0.372 m;(f)almost periodic motion,Ab=0.374 m;(g)period 16 motion,Ab=0.3752 m;(h)period 11 motion,Ab=0.38 m;(i)chaos,Ab=0.384 m;(j)almost periodic motion,Ab=0.4454 m;(k)period 7 motion,Ab=0.45 m;(l)chaos,Ab=0.485 m.

表2 圖8中的分岔類型和Floquet乘子的變化Table 2.Bifurcation type and change of Floquet multiplier corresponding to Fig.8.

為了了解系統響應在Hopf分岔后隨基礎振幅的變化,我們利用龍格-庫塔方法對系統進行數值求解.圖9給出了響應隨基礎振幅變化的分岔圖和李雅普諾夫指數圖,可以看到系統響應隨基礎振幅的變化出現了倍周期運動、擬周期運動和混沌等復雜的響應形式.圖10給出了典型動力學響應的龐加萊映射,可以看到當系統發生Hopf分岔后,響應從周期1運動變為擬周期運動,隨著基礎振幅的增大,擬周期運動出現環面倍化(見圖10(c)),進而環面發生破裂,系統響應進入混沌(見圖10(d)).隨著基礎振幅的進一步增加,系統響應退出混沌,變為周期4運動(見圖10(e)),然后通過Hopf分岔成為4個吸引不變環的擬周期運動(圖10(f))和周期16運動(圖10(h)).基礎振幅繼續增加,系統響應出現了周期11運動,然后通過陣發性進入混沌(見圖10(i)).當基礎振幅繼續增大時,系統的響應以混沌為主,只是在Ab=0.445—0.485 m之間,系統響應在周期7運動、7個吸引不變環的擬周期運動和混沌之間出現了兩次切換.

綜合上面的分析,我們給出了基礎運動頻率-振幅平面上周期解的轉遷,可以看到靜態分岔邊界、Hopf分岔邊界和旋轉解邊界將參數平面分成了7個保持域,其中參數域②是擬周期運動、混沌以及復雜周期運動的分布域,參數域①內系統是唯一的周期運動,而參數域⑥內為旋轉解.圖中陰影部分,即區域③,④,⑤,⑦,是初值敏感區域,即通常所說的雙穩態區域,對應不同的初值,系統可能收斂于不同的穩態運動.其中區域③和④對應不同的初值,系統將收斂到振幅不同的周期解,而對于參數域⑤和⑦,當初值較小時,系統的響應為振幅較小的周期運動,當初值較大時,系統的響應將會是連續的旋轉運動.

圖11 基礎運動頻率-振幅平面上周期解的轉遷集(BS,靜態分岔邊界;HF,Hopf分岔邊界;BR,旋轉解邊界)Fig.11.Transition sets of the response on the base motion parameters plane(BS,boundary of static bifurcation;HF,boundary of Hopf bifurcation;BR,boundary of continuous rotational motion).

6 結 論

本文針對基礎水平運動的彈簧擺開展研究,利用拉格朗日方程建立了系統動力學方程.將離散傅里葉變換、諧波平衡法以及同倫延拓方法相結合對系統的周期響應進行求解,突破了傳統方法使用泰勒展開導致的小振幅的限制,與數值計算結果的對比表明本文的求解方法具有較高的精確度.

研究了基礎運動的頻率和振幅對系統周期響應的影響,發現基礎頻率對系統振幅的影響表現為雙峰,當基礎振幅較大時,在兩個峰值附近會發生跳躍現象.周期解振幅隨基礎振幅的增大而增大,對應某些基礎頻率,周期解的振幅隨基礎振幅的變化也會發生跳躍.對應某些基礎頻率和振幅,彈簧擺可能出現連續旋轉運動,同時呼吸方向的振幅極大.基于上述結果,給出了基礎運動參數平面上響應形式的轉遷.

對應某些基礎頻率和振幅,系統的周期響應可能發生Hopf分岔,利用數值仿真研究了Hopf分岔后響應的變化,發現系統出現了倍周期運動、擬周期運動和混沌等復雜響應形式.研究表明系統進入混沌主要是通過擬周期環面破裂和陣發性.