高中物理總復習之彈力的突變典例分析

發生彈性形變的物體由于要恢復原狀而對與它接觸的物體產生力的作用，這種力叫作彈力。彈力是高中力學的基礎內容和重要內容，是高中物理教學的重點、難點，也是高考的熱點。對高三學生而言，理清彈力的突變問題是必要的。

彈力分為能突變和不能突變兩種。第一種是發生微小形變產生的彈力，如輕繩、細線、輕桿或與接觸面產生彈力時不發生明顯的形變，剪斷（或脫離）后，不需要形變恢復時間，彈力能突變。具體而言，輕繩、細線（質量不計）只能產生拉力，各處張力大小相等，方向沿繩指向繩收縮的方向；輕桿（不計質量）可提供拉力、壓力、支持力，桿的彈力可以沿著桿，也可以不沿著桿。第二種是發生明顯形變而產生的彈力，如輕彈簧、輕橡皮繩（不計質量）產生彈力時的形變量大，在彈性限度內彈力大小與彈簧的形變量成正比，各處彈力大小相等，方向與形變方向相反，其形變恢復需要較長時間。輕彈簧與輕橡皮繩的區別是前者既能產生拉力，也能產生支持力，而后者只能產生拉力。

發生明顯形變而產生的彈力在突變問題中有兩種情況：如果輕彈簧或輕橡皮繩的兩端同時連接物體，則在瞬時性問題中彈力大小不能突變；如果彈簧或橡皮繩的一端連接有物體，而另一端自由，其自由端彈力可以突變。因為在高中階段研究的彈簧或橡皮繩都強調輕，其質量可以忽略不計，是理想化的模型。

根據牛頓第一定律，質量是物體慣性大小的唯一量度，而慣性則反映物體運動狀態改變的難易程度。物體的質量越大，它的慣性就越大，其運動狀態就越不容易改變，在同樣的外力作用下，它的加速度就越小，運動狀態改變就越慢。反之，物體的質量越小，它的慣性就越小，它的運動狀態就越容易改變，在同樣的外力作用下，它的加速度越小，運動狀態變化越快。

由此可以得出：在理想狀態下，沒有質量的物體在外力的作用下，會產生無窮大的加速度，所以它沒有慣性，其運動狀態非常容易改變，因此一端連接有物體而另一端自由的彈簧或橡皮繩，其自由端彈力是可以突變的，具體以下面的例子說明。

例題1：如下圖左圖所示，質量為m的小球用水平輕質彈簧系住，并用傾角為30°的光滑木板AB托住，小球恰好處于靜止狀態。

求：

1.當木板AB突然向下撤離的瞬間，小球的加速度為多少？

2.當彈簧突然剪斷的瞬間，小球的加速度為多少？

解析：開始時小球靜止，小球受力如右圖，小球受到重力、支持力和彈簧彈力三個力的作用，根據平衡條件：彈力Fx與重力mg的合力F與支持力FN等大反向，由幾何關系，F=。同理，FN與mg的合力F1與Fx等大反向，由幾何關系，F1=Fx=mgtan30°。

解答一：當突然向下撤離光滑木板時，FN立即變為零，但彈簧兩端同時連接有物體，形變未變，其彈力Fx不變，此時物體只受重力和彈簧彈力，彈力Fx與mg的合力仍為F，F=，由此產生的加速度為a==，方向與合力方向相同，即與豎直方向成30°角斜向右下方。

解答二：當彈簧突然剪斷的瞬間，因為彈簧為輕質彈簧且彈簧的一端自由，其彈力Fx立即變為零，此時物體只受重力和擋板的支持力FN，其合力為F1=mgtan30°，由此產生的加速度為a=gtan30°=，方向水平向左。

解答二看似無懈可擊，其實忽略了一個問題，即當彈簧突然剪斷的瞬間，彈力Fx突變為零，此時擋板的支持力FN變化嗎？支持力是發生彈性形變的物體由于要恢復原狀而對被支持的物體產生的力，支持力的方向垂直于接觸面指向被支持的物體。木板產生的是微小形變，彈力可以突變。彈簧剪斷前，支持力FN與垂直木板的其他力等大反向，FN= F=；彈簧突然剪斷的瞬間，垂直木板向下的力是重力的分力，大小為mgcos 30°，故此時FN= mgcos 30°；重力和支持力的合力沿木板斜面向下，F合=mgsin 30°，則a=gsin 30°= g，方向沿木板斜面向下。

此例題的難點：兩端同時連接（或附著）有物體的彈簧或橡皮繩，在瞬時性問題中其彈力的大小保持不變。支持力是物體發生微小形變產生的垂直接觸面的力，垂直木板的其他力變化時，支持力也發生變化。

例題2：如圖所示，A、B、C三球的質量均為m，輕質彈簧一端固定在斜面頂端，另一端與A球相連，A、B間由一輕質細線連接，B、C間由一輕桿相連。傾角為θ的光滑斜面固定在地面上，彈簧、細線與輕桿均平行于斜面，初始系統處于靜止狀態，細線被燒斷的瞬間，下列說法正確的是：（ ）。

A.A球的加速度沿斜面向上，大小為gsinθ。

B.C球的受力情況未變，加速度為0。

C.B、C兩球的加速度均沿斜面向下，大小均為gsinθ。

D.B、C之間桿的彈力大小為0。

解析：初始系統處于靜止狀態，把BC看成整體，BC受重力2mg、斜面的支持力FN、細線的拉力FT，由平衡條件可得FT=2mgsinθ。對A進行受力分析，A受重力mg、斜面的支持力、彈簧的拉力F和細線的拉力FT，由平衡條件可得：F=FT+mgsinθ=3mgsinθ，細線被燒斷的瞬間，拉力會突變為零，彈簧的彈力不變，根據牛頓第二定律得A球的加速度沿斜面向上，大小a=2gsinθ，選項A錯誤；細線被燒斷的瞬間，把BC看成整體，根據牛頓第二定律得BC球的加速度a′=gsinθ，均沿斜面向下，選項B錯誤，C正確；對C進行受力分析，C受重力mg、桿的彈力F和斜面的支持力，根據牛頓第二定律得mgsinθ+F=ma′，解得F=0，所以B、C之間桿的彈力大小為0，選項D正確。

此例題的難點：B、C之間桿的彈力大小的突變。