一種低復(fù)雜度高準確度的Khatri—Rao積分解算法

摘 要：提出了一種常用的可用于無線通信、圖像處理、雷達監(jiān)測等領(lǐng)域的低復(fù)雜度高準確度的算法。這種算法采用了直接計算加上部分迭代的方法計算，與其他普通的加密算法不同，這種算法便捷、簡單，其以Khatri-Rao積算法為載體，包含了SVD分解等算法，其作用是對數(shù)據(jù)進行加密處理或者近似估計。計算機仿真和實際采集數(shù)據(jù)表明該算法結(jié)果準確率高，實現(xiàn)簡單，具有較強的可行性和實用性。

關(guān)鍵詞：Khatri-Rao積分解；SVD算法；左右奇異向量

中圖分類號：TN918.6+6 文獻標識碼：A 文章編號：2096-4706（2018）12-0084-03

A Low Complexity and High Accuracy Algorithm for Khatri-Rao Integral Solution

LV Shitao，SUN Changhao，HAN Xi，ZHAO Hui，CHENG Ye，LI Qingwen

（North China University of Technology，Beijing 100144，China）

Abstract：This paper presents a low complexity and high accuracy algorithm which can be used in wireless communication，image processing，radar monitoring and other fields. This algorithm adopts the method of direct calculation plus partial iteration. Unlike other ordinary encryption algorithms，this algorithm is convenient and simple，and its product is Khatri-Rao. The algorithm is the carrier，including SVD decomposition algorithm，its role is to encrypt data processing or approximate estimation. Computer simulation and actual data acquisition show that the algorithm has high accuracy，simple implementation，strong feasibility and practicability.

Keywords：Khatri-Rao integral solution；SVD algorithm；left and right singular vector

0 引 言

近年來，現(xiàn)代通信技術(shù)的飛速發(fā)展，對信號進行傳輸之前的安全性和保密性，以及接受信號的還原度和便利性提出了更嚴格的要求。這就需要使用一些特殊的算法來達到這些要求。

Khatri-Rao積分解算法較其他算法有著簡潔性與準確性的特點，與普通的加密算法如基于信息隱藏的混沌JPEG圖像加密[1]算法不同，它參考了信息加密算法研究[2]中的一些新思路，為信息處理提供了一種便捷簡單的計算方法。為了驗證這種算法的簡潔性與準確性，我們將藍牙身份認證及信息傳輸加密算法與其進行對比[3]。藍牙身份認證及信息傳輸加密算法首先要在通訊雙方硬件上申請同樣的密碼空間并形成相同的初始密碼。密碼空間的大小由設(shè)備的安全要求級別、運行速度以及儲存空間決定。在此我們將其定義為（100*100*100）的單元矩陣，每個單元為4位十六進制數(shù)。這樣密碼空間申請后，密碼地址就隨之產(chǎn)生。接下來單元中的4位密碼由隨機數(shù)算法產(chǎn)生，我們將其產(chǎn)生的比特值分為每16個一組，按照密碼地址的儲存序列儲存在密碼空間中。而Khatri-Rao積分解算法僅需在發(fā)送信息的一端將輸入的信息進行一個矩陣編碼，然后進行一個簡單的SVD變換，接著重構(gòu)載有信息的矩陣，再將這個變換后的矩陣傳輸，就可以在接收端接收到一個含有信息的近似矩陣，然后將之反變換，將得到的信息與原信息比較，發(fā)現(xiàn)這種Khatri-Rao積分解算法更加簡潔，復(fù)雜度更低。而藍牙身份認證及信息傳輸加密算法[3]使用日期進行密碼空間地址的計算，在凌晨使用系統(tǒng)時，因為雙方設(shè)備時間可能有偏差，產(chǎn)生密碼空間的不一致性，這種算法會導(dǎo)致存在大概萬分之三的誤差，從實驗結(jié)果中可以看出Khatri-Rao積分解算法誤差范圍和概率更小。

Khatri-Rao積分解算法同時可以運用到基于雙Khatri -Rao空時編碼的MIMO中繼系統(tǒng)半盲接收機[4]當中，用該方案來聯(lián)合估計單向雙跳AF中繼系統(tǒng)中的信息符號和單個信道。在圖1中，提出了三個半盲接收機，在源節(jié)點使用簡化的Khatri-Rao空時（Krst）編碼。然后，在目的節(jié)點接收的信號滿足PARATUCK2模型。筆者提出了一種類似的傳輸方案，在中繼處采用Krst編碼，對提出的系統(tǒng)引入額外的時間分集，從而導(dǎo)致一個嵌套的PARAFAC模型用于目標接收信號的張量。在開發(fā)嵌套PARAFAC模型的過程中，導(dǎo)出了一種稱為DALS的雙兩步交替最小二乘接收機。該接收機由兩種基于ALS的算法組成，分別表示ALS-X和ALS-Z，分別用于符號估計和信道估計。

Khatri-Rao積分解算法是結(jié)合了關(guān)于矩陣Khatri-Rao積的一些跡不等式[5]和矩陣Khatri-Rao積的推廣[6]的方法，并通過細致的研究，對其加以簡化，歸納出的一種低復(fù)雜度高準確度的算法。

1 系統(tǒng)參數(shù)

1.1 系統(tǒng)描述

假設(shè)SCN×MS是一個包含N個數(shù)據(jù)流的矩陣，其中MS符號被復(fù)用到MS源天線上，第一數(shù)據(jù)流的所有符號都等于一。在源端使用CCp×MS碼矩陣引入時p間冗余，其中p是源（擴頻）碼長度，使得分配給第ms個天線的第n個編碼數(shù)據(jù)的第p個重復(fù)數(shù)滿足以下方程：

1.2 SVD分解

通過計算矩陣的秩一逼近，利用其SVD方法揭示了矩陣的（UV）。將這一結(jié)果應(yīng)用于兩個矩陣（UV）的Khatri-Rao乘積，當UCI×R，VCJ×R時，通過每個秩-1矩陣的SVD計算這些矩陣的列，并與矩陣因子U和V的r列的Khatri-Rao乘積相關(guān)聯(lián)，用于求兩個矩陣的Kronecker乘積的因子。

1.3 代碼設(shè)計和可識別性

（1）代碼Matri-ces C和G被設(shè)計成具有正交列。在標準的Krst編碼中，編碼矩陣C被設(shè)計為一個截斷的DFT矩陣，使得在全分集（P≥Ms）和全傳輸率（P=1）之間進行性能選擇。出于同樣的目的，這里使用了相同的源代碼矩陣。此外，如果希望只估計符號，則KRF-Z成為可選的，而J可以采用小于MR的值來提高傳輸速率，而不是（中繼）發(fā)送分集。但是，如果需要估計信道H（RD）和H（SR），則必須驗證條件J≥MR。

（2）在可識別性問題上，CT和GT的右可逆性意味著P≥MS和J≥MR，這是使用KRF-X和KRF-Z算法的必要條件和充分條件。此外，C和G的柱正交性使CT和GT的右逆的計算分別簡化為C和G。

2 算法

算法流程如圖2所示。

3 運行結(jié)果分析

使用Matlab進行仿真結(jié)果如圖3、圖4所示。圖3為信號矩陣S的誤差函數(shù)，圖4為通道張量Z的誤差函數(shù)，相比于其他算法，可以明顯看出，相比于其他算法本算法在較低信噪比的情況下仍能夠具有較低的誤碼率和較為準確的信道估計，而且本算法原理簡單，具有較低的復(fù)雜度，同時四個誤差函數(shù)曲線都比較圓滑而且相似，這表明此系統(tǒng)比較穩(wěn)定，擁有良好的性能。

4 結(jié) 論

通過Matlab仿真，模擬了傳輸過程中的信號加密過程，用DALS繪制了L1和L2迭代次數(shù)的直方圖，MS=2和MS=8。另一個系統(tǒng)參數(shù)是圖中所考慮的，可以注意到，在大多數(shù)情況下，收斂所需的迭代次數(shù)都在4和10之內(nèi)，這表明DALS具有先驗的良好行為。

總之，在提供相同性能的同時，DKRF比DALS計算效率高得多，值得一提的是，利用噪聲的二階統(tǒng)計量的基于MMSE的estimators也可以用來細化信道和符號估計。這種KR迭代算法不僅可以用于文件的加密傳輸，同時也可用于其他方面，例如無線領(lǐng)域中的無線傳輸、雷達探測等，期待此算法會在更廣泛的領(lǐng)域中得到應(yīng)用。

參考文獻：

[1] 王唯，劉粉林，趙正.基于信息隱藏的混沌JPEG圖像加密算法 [J].信息工程大學學報，2014，15（2）：148-155.

[2] 卓麗，耿夫利，王艷艷.信息加密算法研究 [J].科教導(dǎo)刊：電子版，2015（18）：175.

[3] 戴彬，劉洋.藍牙身份認證及信息傳輸加密算法 [J].硅谷，2009（17）：55-56.

[4] LR Ximenes，G Favier，ALFD Almeida.Closed-Form Semi-Blind Receiver For MIMO Relay Systems Using Double Khatri–Rao Space-Time Coding [J].IEEE Signal Processing Letters，2016，23（3）：316-320.

[5] 胥德平，杜鵑，韋維，等.關(guān)于矩陣Khatri-Rao積的一些跡不等式 [J].貴州科學，2007（1）：17-20.

[6] 湯鳳香，方秀男.矩陣Khatri-Rao積的推廣 [J].佳木斯大學學報（自然科學版），2007（4）：528-530.

[7] LR Ximenes，G Favier，ALFD Almeida.Semi-blind receiversfor non-regenerative cooperative MIMO communications based on nested PARAFAC modeling [J].IEEE Transactions on Signal Processing，2015，63（18）：4985-4998.

作者簡介：呂士韜（1997-），男，漢族，遼寧人，本科。研究方向：通信工程。