“割補(bǔ)”“拼組”三角形

回看數(shù)學(xué)的產(chǎn)生和發(fā)展，不難發(fā)現(xiàn)，伴隨數(shù)學(xué)一路走來的，正是人類認(rèn)識(shí)事物的各種各樣的思維活動(dòng)。如各種原始的計(jì)數(shù)法，內(nèi)涵就是“直觀”“一一對(duì)應(yīng)”等思維方式；幾何的產(chǎn)生，“形象思維”功不可沒，幾何的發(fā)展，“推理思想”貫穿始終；各種算法，往往就是“優(yōu)化”的結(jié)果，就是一種“數(shù)學(xué)模型”……每個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)都是人類“思考”的結(jié)果，都承載著人們認(rèn)識(shí)事物、改造世界的思維方式和思想方法。

所以，筆者一直認(rèn)為，數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)上就是一個(gè)思維的載體；教數(shù)學(xué)，最重要的就是要借助這個(gè)載體，讓學(xué)生在獲得知識(shí)與技能的同時(shí)，獲得更有意義的思維發(fā)展。

以“三角形面積”這節(jié)課為例，筆者教過多次，也指導(dǎo)過其他教師的展示課。筆者主張，該課的設(shè)計(jì)要牢牢扣住“發(fā)展思維”。

在這節(jié)課之前，學(xué)生剛學(xué)過“平行四邊形的面積”，他們學(xué)會(huì)了沿著平行四邊形的高剪下一個(gè)三角形，拼接在另一邊，就變成了一個(gè)長(zhǎng)方形。這種“割補(bǔ)”的方法，蘊(yùn)含了一種重要的思維方式，那就是“轉(zhuǎn)化”。

教“三角形面積”時(shí)，剛一上課筆者就請(qǐng)學(xué)生說說生活中三角形狀的物體，然后挑了學(xué)生最熟悉的紅領(lǐng)巾，讓他們計(jì)算面積。學(xué)生很順利地用“割補(bǔ)”的方法，將三角形轉(zhuǎn)化成了平行四邊形或長(zhǎng)方形，求出面積。在學(xué)生都覺得很容易之時(shí)，筆者再讓學(xué)生嘗試另一個(gè)普通的三角形（不是等腰三角形），結(jié)果學(xué)生反復(fù)實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)無論沿著哪條高（或中線）剪，都無法拼成一個(gè)學(xué)過的圖形。這時(shí)，筆者引導(dǎo)學(xué)生觀察、思考、對(duì)比，分析原因。學(xué)生發(fā)現(xiàn)，原來紅領(lǐng)巾是“割補(bǔ)”成了兩個(gè)一樣的三角形，所以才能轉(zhuǎn)化成功，而現(xiàn)在的普通三角形，不管怎么剪，都不能分成兩個(gè)一樣的三角形。“割補(bǔ)”的思路看似不通了，那怎么辦？學(xué)生主動(dòng)思考，深入探究，最后發(fā)現(xiàn)不用“割補(bǔ)”而用“拼組”也可以實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化（拿兩個(gè)一樣的普通三角形拼成一個(gè)平行四邊形）……

上課的過程曲曲折折，也許會(huì)讓人覺得“啰唆煩瑣”。然而，這樣的過程，究竟給了學(xué)生什么呢？深刻理解三角形的面積公式自不必說，學(xué)生在探究的過程中，經(jīng)歷了對(duì)“轉(zhuǎn)化”思想更深入的認(rèn)識(shí)，思維的靈活性、深刻性得到發(fā)展；學(xué)生通過觀察、操作、想象，空間觀念這種重要的思維能力得以提升……

一個(gè)人從出生時(shí)的懵懂無知，之所以能成長(zhǎng)，之所以會(huì)越來越聰明，之所以能適應(yīng)生活，能開拓創(chuàng)新，最重要的因素，就是通過受教育，不斷地積累知識(shí)，不斷地發(fā)展著思維。作為富含理性思維的數(shù)學(xué)學(xué)科，自然也擔(dān)負(fù)著這個(gè)重要的使命，“數(shù)學(xué)是思維的體操”早已為我們點(diǎn)明發(fā)展思維是數(shù)學(xué)教學(xué)的本真追求。