從一實例分析看弧長法與牛頓—拉普森法

魏鵬，李建光，李延強，陳超

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從一實例分析看弧長法與牛頓—拉普森法

魏鵬，李建光，李延強，陳超

（西南林業大學土木工程學院，云南 昆明 650000）

在求解的非線性有限元方程中，牛頓—拉普森法和弧長法是兩類重要的方法。牛頓—拉普森迭代法只能跟蹤位移載荷曲線的上升段，但無法跟蹤極值點以后的位移—載荷路徑，而弧長法可以全程跟蹤位移—載荷路徑。對牛頓—拉普森法和弧長法的原理以及實施步驟進行了回顧，然后通過MATLAB對一則本構關系為非線性的算例使用牛頓—拉普森法和弧長法進行了計算并與理論解做了比較。數值結果表明，弧長法能很好跟蹤全過程位移—載荷路徑，并取得較好的效果，而牛頓—拉普森法在跟蹤到極值點時產生發散而無法繼續跟蹤極值點以后的路徑。

牛頓—拉普森法；弧長法；非線性有限元；MATLAB

1 牛頓—拉普森

對于非線性問題得到的非線性方程組，一般可表示為：

（）=0. （1）

寫成平衡方程形式：

（）=. （2）

式（2）中：（）為切向剛度矩陣；為位移矢量；為施加的載荷向量。

平衡迭代的過程表示為：

{i+1}={i}[i]-1（－i）. （3）

式（3）中：[i]為方程的Jacobian矩陣（即剛度矩陣）；{}為結點力矢量；{i}為內力矢量；{－i}為不平衡力矢量。

牛頓—拉普森迭代步驟如下：①基于i時的結構構型計算i和i；②計算不平衡力矢量{－i}；③由i和不平衡力矢量{－i}計算位移增量；④更新位移向量△i；⑤重復②到④的過程直至計算收斂為止。

2 弧長法

弧長法的約束方程為：

{△}T{△}+2△2{}T{}=△2. （4）

式（4）中：為載荷比例系數；△為載荷增量；△為弧長半徑。

根據的不同，可以分為不同類型的弧長法：=1，球面弧長法；=0，柱面弧長法；等于當前剛度參數值，橢球面弧長法。

弧長法的平衡迭代方程為：

其中：

以柱面弧長法為例推導，此時約束方程為：

{△}T{△}=△2. （9）

由位移增量關系可得：

為求得，把（6）式代入（10）式得：

把（12）代入（9）式可得關于一元二次方程：

式（12）中系數分別為：

對于收斂準則，一般采用不平衡力準則[3]。表達式為：

3 算例分析比較及討論

本文的算例如下：

受拉桿施加的力=20 kN，桿長=50 cm，截面積=2 cm2，材料的應力應變關系為：

=0（1－/0）. （17）

式（17）中：0=0.002，0=21 000 kN/cm2。

分別用牛頓—拉普森法和弧長法計算位移—載荷曲線，并與理論解做比較。理論解通過把應力—應變曲線轉化為載荷—位移曲線得到。過程如下：

=0（1－/0）；=/.

由以上兩式，并代入相關參數可得：

=﹣8 4002+840. （18）

下面利用牛頓—拉普森迭代法和弧長法（分別如圖1和圖2所示），借助MATLAB對算例進行了實現，具體如圖3、圖4所示。

圖1 牛頓—拉普森迭代法

圖3 牛頓—拉普森法與理論解

圖4 弧長法與理論解

由圖1可知，用牛頓—拉普森迭代法計算得到的載荷—位移曲線與理論解的上升段是非常吻合的，但是由于在極值點附近出現發散，而不能繼續跟蹤曲線的下降段，但在跟蹤載荷—位移曲線的上升段時還是有效的。由圖2可知弧長法計算所得的載荷—位移曲線與理論解的全過程的逼近程度都是很好的。弧長法不僅可以跟蹤曲線的上升段，還可以跟蹤曲線中的下降段。因此，弧長法可以更好地跟蹤載荷—位移曲線的特點。

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2095－6835（2018）24－0005－02

TM402

A

10.15913/j.cnki.kjycx.2018.24.005

魏鵬（1991—），男，研究方向為非線性。

〔編輯：嚴麗琴〕