加權方法在基于靈敏度分析的模型修正中的應用

張權，史治宇

(南京航空航天大學 機械結構力學及控制國家重點實驗室，江蘇 南京 210016)

0 引言

基于靈敏度分析的參數模型修正基本思路是通過構造理論模型與實際結構之間在相同條件下動態特性的誤差，然后選擇修正參數進行修正，以盡量縮小理論模型與實際結構之間的誤差為目的，最終獲得一個較為精確的有限元模型。要實現此目標，首先初始模型需要建立得盡量準確，避免結構上的誤差；其次要設法提高試驗數據的精度；同時要開發穩定高效的修正算法。目前，使用較多的算法是二次規劃優化算法，其在仿真算例的應用中，收斂速度快、修正效率高、修正結果準確可信。但在解決工程實際問題時，由于目標函數的構建問題，無法得到一個較為準確的有限元模型。

本文基于這樣的背景，通過MATLAB編程調用NASTRAN進行計算分析，采用二次規劃優化算法，并在此基礎上研究了加權方法在模型修正中的應用，通過復合材料安裝架的實例進行了驗證。

1 模型修正理論

結構的有限元模型總共有n個設計參數，其中前m個為待修正的參數，設計參數可以表示為：

P=[P1,P2…Pm…Pn]T

(1)

對應的特征量可以表示為：

f=F(K,M)=F(fK(p),fM(p))=f(p)

(2)

其中：f 可以是結構任意的特征量，如模態頻率、振型等。模型修正問題轉化為如下的優化問題：

(3)

一般情況下，{fa(p)}是設計參數的非線性函數。為

了將非線性問題轉化為線性問題，在初始設計點將{fa(p)}對待修正參數進行一階泰勒展開：

{fa(p)}=fa(p0)+SΔP

(4)

其中p0是設計參數初始值。

(5)

S代表結構特征量對設計參數的靈敏度矩陣。Δp=p-p0代表設計參數的誤差。利用拉各朗日乘數法，式(3)的極值問題轉化為如下的線性問題：

SΔp=fe(p)-fa(p0)

(6)

式(6)就是常見的模型修正方程，且是一個迭代優化的過程。

2 加權方法的應用

在式(3)的基礎上引入加權矩陣Wf，用來設定不同殘差在模型修正過程中所占的權重；在優化目標中加入修正參數變化值，引入加權系數Wp，通過改變Wp的大小來限制修正參數的變化。則模型修正問題轉化為如下的優化問題：

(7)

其中: Wf表示各殘差的加權矩陣，具體如下：

(8)

式中：Wλ、WΦ、WMAC表示頻率、振型和振型相關系數的加權系數。

Δp=p-p0代表修正參數的變化，Wp代表修正參數變化量的加權矩陣，具體如下：

Wp=wpB

(9)

(10)

g=diag(STWFS)

(11)

其中：mean表示對矩陣取平均，diag表示取矩陣的對角元素。當wp取較大值時，則修正參數的變化將變小。

3 安裝架結構實例

3.1 模型介紹

圖1所示為鋁基復合材料安裝架結構，結構長660mm，寬448mm，高550mm。框架結構由U型和L型型材通過鋁質角鐵和螺栓連接而成。框架底部由作用在2條長的U型型材下部的壓板將其固定在地面上。對安裝架結構進行模態試驗，布置52個x向測點、54個y向測點，總共106個測點(圖2)。

圖1 鋁基復合材料安裝架實物圖

圖2 安裝架有限元模型

結構由薄壁U型、L型鋁基復合材料以及鋁材角鐵通過螺栓連接而成，采用殼單元對U型、L型型材和角鐵進行有限元建模，采用剛性單元模擬螺栓連接，對底部Y向的U型型材下部節點施加約束，將其6個自由度的變形都設定為0，以此來模擬固支。這樣建模能較精確模擬結構形式，又能得到較好的計算效率。其中四邊形殼單元19 842個、三邊形殼單元2 466個、剛性單元324個，節點總數24 673個，去除約束后結構的總自由度數為103 278。各種型材的材料厚度和力學參數如表1所示。

表1 各種型材的材料參數和厚度

3.2 模型修正計算與分析

建立好初始有限元模型后，在Nastran中對安裝架結構有限元模型進行模態分析。有限元模態分析結果和試驗結果的匹配情況如圖3所示。

圖3 安裝架模型試驗/有限元模態匹配圖

U型和L型型材的E2和G12事先并不知曉，故在建模時根據經驗給了一個值，這也是有限元模型無法與試驗模型很好匹配的原因。故在修正時，選取U型和L型型材的E2和G12作為修正參數，對有限元模型進行修正。

以下分3種情況對模型進行修正：

1) Wλ=1，WMAC=1，wp=0，以1∶6階模態頻率和1∶6階振型相關系數為目標(圖4-圖6)。

2) Wλ=1，WMAC=0.2，wp=0，以1∶6階模態頻率和1∶6階振型相關系數為目標(圖7-圖9)。

3) Wλ=1，WMAC=0.2，wp=1，以1∶6階模態頻率和1∶6階振型相關系數為目標(圖10-圖12)。

第1種情況修正結果如下：

圖4 前6階模態頻率收斂圖(1-6依次表 示第1至第6階固有頻率)

圖5 MAC值收斂圖(1-6依次表 示第1至6階MAC值)

圖6 參數收斂圖(1-4依次代表U型型材的E2、G12和L型型材的E2、G12)

第2種情況修正結果如下：

圖7 前6階模態頻率收斂圖(1-6依次表 示第1至第6階固有頻率)

圖8 MAC值收斂圖(1-6依次表 示第1至6階MAC值)

圖9 參數收斂圖(1-4依次代表U型型材的E2、G12和L型型材的E2、G12)

第3種情況修正結果如下：

圖10 前6階模態頻率收斂圖(1-6依次表 示第1至第6階固有頻率)

圖11 MAC值收斂圖(1-6依次表 示第1至6階MAC值)

第1種情況Wλ=1，WMAC=1，wp=0，表示修正目標中頻率殘差和振型相關系數占相同的權重，即式(3)的模型修正問題。第2種情況Wλ=1，WMAC=0.2，wp=0，表示修正目標中頻率殘差占的權重要大于振型相關系數。

圖12 參數收斂圖(1-4依次代表 U型型材的E2、G12和L型型材的E2、G12)

第3種情況Wλ=1，WMAC=0.2，wp=1，在上一種情況的基礎上加入了對修正參數變化量的限制，即式(7)的模型修正問題。

修正前，前6階模態頻率平均誤差為8.01%，最大誤差為13.83%，前6階MAC值平均為0.89。1) 修正后，前6階模態頻率平均誤差為4.24%，最大誤差為7.79%，MAC值最大提升0.01。2) 修正后，前6階模態頻率平均誤差為1.84%，最大誤差為5.44%，MAC值最大提升0.06。3) 修正后，前6階模態頻率平均誤差為1.92%，最大誤差為5.54%，MAC值最大提升0.06。

比較1) 和2) 可以看出，當頻率殘差在修正中所占權重較大時，修正效果要遠好于各殘差所占權重相同時的修正結果。比較2) 和3) 可以看出，在進行相同次數迭代修正后，模態頻率和MAC值變化幾乎相同，且效果都遠好于1) 。但是，從圖9和圖12，可以看出，2) 的修正參數變化太過劇烈，在目標函數中殘差幾乎不變的情況下，修正參數依然在大幅度改變，沒有收斂的趨勢；3) 的修正參數在目標函數中殘差不怎么改變后也減小了改變量，修正參數緩慢變化，最后收斂。綜合比較可知，3) 的結果更好，修正后有限元模型與實際結構貼合很好，修正參數的變化也在正常范圍內，修正結果可信度高(表2)，具有較好的工程應用意義。

表2 3種情況修正后模態頻率和MAC值變化對比

4 結語

目前工程實際中進行有限元模型修正時大多采用模態頻率、模態振型和振型相關系數3種殘差，本文采用了模態頻率和振型相關系數2種殘差。若在修正時目標函數中各種殘差項所占權重相同，則修正效果不太好，因為模態頻率是系統的主要特征參數，且識別精度高，修正時所占權重應該較大。當處理工程實際問題時，需要考察的不僅僅是修正后各項殘差的變化，修正參數的變化也很重要。通過在目標函數中引入加權矩陣，控制修正參數的變化量，在獲得幾乎相同修正效果的同時避免修正參數無意義的變化，最后獲得的結果更具有工程實際意義。