誤差激勵下的行星齒輪傳動系統動態特性分析

趙臘月 ，黃宏游 ，康 洪 ，楊 為

（1.中國北方車輛研究所 車輛傳動重點實驗室，北京 100072；2.重慶大學 機械傳動國家重點實驗室，重慶 400044）

行星齒輪傳動系統是一個由多對齒輪傳動副、軸、軸承及箱體等零部件組成的機械傳動系統，在內部和外部動態激勵下產生動態響應，引起振動和噪聲[1]。行星齒輪系統中的幾何偏心作為內部激勵的主要形式，將對齒輪的嚙合時變剛度產生重要影響，而在含有幾何偏心誤差的齒輪嚙合剛度激勵下，齒輪系統的動力學響應將會出現明顯的回轉偏心特性，產生了較大振動與噪音[2-3]。

據相關參考文獻報道，國內外研究人員建立了考慮回轉偏心影響的模型研究了幾何偏心對齒輪系動態特性的影響[4-6]。文獻[7]構建了二級齒輪傳動的模型，分別研究了存在幾何偏心和相鄰兩軸連線夾角對齒輪動態特性的影響；文獻[8]分別考慮了質量偏心，幾何偏心和傳遞誤差3種不同的激勵對齒輪動力學響應的影響。

齒輪和軸的實際加工誤差以及裝配誤差都會導致齒輪存在幾何偏心，這對研究變速箱中的齒輪動力學的影響較大[9]。因此，建立精確的含有幾何偏心誤差的齒輪系統動力學模型并研究其動態特性具有十分重要的意義。

行星傳動系統包含了一千多個零部件，是非常復雜的機械結構，建立其有限元模型須予以簡化。模型的簡化包括細小零部件的刪減和各個零部件自身結構的簡化。在零部件的刪減方面，主要是對螺栓、螺母等小尺寸連接件直接進行刪除處理；在零部件自身結構的簡化方面，主要是對一些像小孔、小的倒角、圓角等小尺寸結構特征進行相應的簡化處理。由于箱體模型比較復雜，采用六面體網格劃分難度太大，故采用四面體網格劃分的方式對箱體進行有限元網格的劃分。為了提高計算精度，傳動系里面的太陽輪、行星輪、內齒圈、行星架等都采用六面體網格劃分。建立的有限元模型如圖1所示。

圖1 傳動系統有限元模型Fig.1 Finite element model of transmission system

1 行星齒輪傳動系統有限元模型的建立

在建立了傳動系統的有限元模型后，分別賦予各個部件材料屬性（表1所示），添加相應的接觸對設置與邊界條件、控制卡片后，在LS-DYNA動力學分析軟件環境下采用顯式算法進行動態特性分析。

表1 零部件材料參數Tab.1 Component material parameters

2 質量偏心誤差激勵

在行星齒輪傳動中，齒輪的幾何偏心誤差所導致的激勵力為位移激勵，而質量偏心誤差帶來的激勵力為力激勵，忽略齒輪的軸向誤差對系統的動態特性的影響，這里僅討論徑向偏心。此外，由于齒圈大多是固定在箱體上的，可以忽略齒圈的質量偏心對齒輪傳動系統動態性能的影響[10]。

圖2所示，以太陽輪中心點為原點，水平方向為xs軸建立直角坐標系。在轉動過程中，太陽輪由于質量偏心誤差引起的慣性力Fs′沿xs軸、ys軸的分力表示為

式中：Fsx、Fsy分別為慣性力沿 xs軸、ys軸的分力為太陽輪絕對轉速為太陽輪相對行星架轉速；ms為太陽輪質量；os為太陽輪理論質心s為太陽輪實際質心；Δrs為質量偏心矢徑；γs為相對于xs軸的質量偏心角。

圖2 太陽輪質量偏心示意Fig.2 Diagram of solar wheel mass eccentricity

由行星輪質心偏差導致的行星輪公轉半徑的變化引起行星輪向心力隨著質心與行星架距離的變化而變大或者變小。然而，行星輪隨行星架公轉產生的向心力與時間的變化無關，且方向始終指向行星架中心，是一個恒力，可以忽略對齒輪傳動系統動態特性的影響[11-13]。因此只考慮行星輪自轉產生的離心力 Fn′。如圖3 所示，n為行星輪實際質心，on為行星輪理論質心，γn為相對于xc軸的質量偏心角，Δrn為質量偏心矢徑，由質量偏心誤差引起的行星輪在自轉過程產生的離心力Fn′沿xn軸、yn軸的分力可表示為

式中：Fnx、Fny分別為 Fn′沿 xn軸、yn軸的分力；ωc為行星輪絕對轉速；ωHp為行星輪相對行星架轉速；mn為行星輪質量。

圖3 行星輪質量偏心示意Fig.3 Schematic diagram of planetary wheel mass eccentricity

3 幾何偏心誤差激勵

在加工齒輪的過程中，由于齒輪毛坯定位可能出現實際圓心與理論圓心的偏差，進而形成齒輪的幾何偏心。太陽輪、行星輪以及齒圈在運轉過程中就會繞著實際圓心而非理論圓心進行旋轉，因此兩對嚙合的齒輪會隨著轉動形成時變的徑向間隙，嚙合位置就會偏離嚙合線[14-17]。由于各個齒輪存在幾何偏心，齒輪之間嚙合時的時變徑向間隙相互耦合最終體現在太陽輪-行星輪和行星輪-齒圈嚙合副時變的嚙合力[18-19]。嚙合力的變化導致齒輪運轉過程中輪齒所承受的載荷變得復雜，引起齒輪的壽命以及傳動精度的降低和振動量的增大。如圖4所示，齒輪的幾何偏心誤差可以用在嚙合線上的投影來表示，兩個方向的投影分別為

式中：rcn為存在誤差時行星輪軸n到行星架中心的距離；ΔΨn為行星輪軸n的位置偏差角；rc為系桿半徑；on為行星輪軸的理論中心點；on′為行星輪軸的實際中心點。

圖4 行星輪軸位置誤差示意Fig.4 Schematic diagram of position error of planetary wheel axi

4 不同激勵下的綜合傳動系統動態特性

4.1 轉速對綜合傳動系統動態特性的影響

利用所建立的綜合傳動系統齒輪系統-軸承-箱體動力學有限元模型，分別進行輸入轉速309.2 r/min、657.1 r/min、734.4 r/min、996.4 r/min 空載工況下的綜合傳動系統動態特性研究，研究不同的輸入轉速對綜合傳動系統的應力以及箱體振動的影響，所選太陽輪齒根單元如圖5所示。

圖5 所選太陽輪齒根單元Fig.5 Selected solar gear root unit

由圖6可知，隨著輸入轉速的增加，一級太陽輪齒根處單元最大應力有明顯增大，但不呈線性增長。由圖7可知，當輸入轉速小于734.4 r/min時，一級太陽輪齒根處單元最大應力增大較為平緩，當輸入轉速大于734.4 r/min后，最大應力增長加快。

圖6 不同轉速下一級太陽輪齒根處應力變化曲線Fig.6 Stress variation curves at the root of the first solar wheel gear at different speeds

圖7 一級太陽輪齒根最大應力與轉速的關系曲線Fig.7 Relation curve between maximum stress and rotating speed of the tooth root of the first-order solar wheel

提取如圖8所示箱體單元的振動速度，對不同轉速對應的振動速度在其離散時間點上進行均方根值計算求取有效值，結果如表2所示。

圖8 不同轉速下箱體振動速度曲線Fig.8 Vibration velocity curve of box body at different speeds

表2 不同工況下齒輪箱振動速度均方根值Tab.2 Root mean square value of vibration velocity of gear box under different working conditions

從圖9可知，箱體振動速度隨著輸入轉速的增加而增大，但不呈線性關系，當轉速達到996.4 r/min時，振動速度最大值為5.12 mm/s。

圖9 箱體振動速度與轉速的關系曲線Fig.9 Relation curve between vibration velocity and rotating speed of box body

4.2 幾何偏心誤差激勵下的動態特性分析

為了模擬存在幾何偏心誤差激勵下的齒輪動力學特性分析，設置一級太陽輪徑向幾何偏心誤差為1 mm，然后進行瞬態動力學分析，并與無幾何偏心誤差的傳動系統分析結果進行對比。

取太陽輪軸齒面節點單元542131的振動加速度曲線，如圖10所示。由圖可知，輪齒在進入嚙合和退出嚙合時刻，X方向最大加速度受到太陽輪幾何偏心誤差激勵的影響，出現了突變；而無幾何偏心誤差激勵的太陽輪在X方向的加速度則無明顯變化。因此，幾何偏心誤差對齒輪振動有較大影響。

圖10 節點振動加速度對比圖Fig.10 Comparison diagram of vibration acceleration of nodes

選取太陽輪齒根單元（圖10（a）），得到單元應力曲線，如圖11、圖12所示。由圖可知，齒輪嚙合線在幾何偏心誤差激勵下偏離理論嚙合線，在齒輪嚙合過程中，輪齒嚙入和嚙出時刻，齒面受到的沖擊較大，齒根單元應力增大將近80 MPa。

圖11 幾何偏心誤差下應力曲線Fig.11 Stress curve under geometric eccentricity error

圖12 無幾何偏心誤差應力曲線Fig.12 Stress curve without geometric eccentricity error

如圖13所示，選取4個行星輪同一位置的齒根單元，通過對比4個行星輪在嚙合同一位置單元的最大應力曲線來分析太陽輪存在幾何偏心誤差對行星輪載荷分配的影響。當太陽輪存在幾何偏心誤差激勵下的太陽輪-行星輪嚙合過程中，行星輪齒根4個單元的應力不同，最大應力差為169 MPa，其中輪齒C應力最大，這是由于輪齒C在0.5 s時刻剛好位于太陽輪幾何偏差的方向。太陽輪無幾何偏心誤差激勵的四個行星齒輪最大應力差值為105 MPa。因此，幾何偏心誤差對行星輪的均載性有較大影響。

圖13 幾何偏心誤差激勵下行星輪應力對比Fig.13 Comparison of planetary wheel stress induced by geometric eccentricity error

4.3 太陽輪浮動對傳動系動態特性影響

行星齒輪綜合傳動系統中經常以太陽輪浮動的方式來提高行星齒輪的均載性能。在本文研究中，通過對比太陽輪在約束和浮動情況下的行星輪應力的變化情況。

選取圖13（a）中行星輪相同位置的4個單元，由圖14對比可知，當約束太陽輪后，行星輪4個位置的應力差別比較大，最大應力增大約50 MPa；當太陽輪浮動時4個行星輪同一位置單元的應力差別不大。因此太陽輪浮動對行星輪均載性有較大影響。由圖15可知，太陽輪浮動與約束對行星齒輪的振動加速度影響不明顯。

5 結語

圖14 太陽輪浮動應力對比Fig.14 Comparison of floating stress of solar wheel

圖15 太陽輪浮動振動加速度Fig.15 Floating vibration acceleration of solar wheel

對行星齒輪傳動系動態激勵進行分析，建立了齒輪傳動系三維接觸非線性有限元模型，并進行瞬態動力學。對不同輸入條件和太陽輪存在質量偏心、幾何偏心以及太陽輪浮動激勵下行星齒輪傳動系進行動態特性研究。得出如下結論：①齒輪所受應力與振動速度隨著輸入轉速的增大而增大，但是不呈線性變化；②當太陽輪在幾何偏心誤差激勵下，齒輪嚙合過程中輪齒的振動加速度、應力會出現較大變化，行星輪載荷分配不均勻；③采用太陽輪浮動設計可以減小齒輪副在嚙合過程中的齒面應力，有效改善行星輪載荷分配，提高其均載性，但對振動影響不明顯。