轉化思想與冪的運算

◎曹 陽

轉化思想是常用的數學思想之一。它是指在研究新問題或復雜問題時，常常將其轉化為已知的或比較簡單的問題來解決。下面結合實例談談用轉化思想解決與冪有關的問題。

一、底數的轉化

例1 計算：（x-y）3·（y-x）2。

【分析】（x-y）3與（y-x）2的底數分別為x-y和y-x，不能直接運用同底數冪的乘法法則，需要作適當的變形，轉化為同底數冪后再進行計算。對于（a-b）n的轉化應注意：當n為偶數時，（a-b）n=（b-a）n；當n為奇數時，（a-b）n=-（b-a）n。

解：（x-y）3·（y-x）2=（x-y）3·（x-y）2=（x-y）5。

例2 已知3m+2n-5=0，求8m·4n的值。

【分析】先把兩個冪的底數8和4都化為以2為底數的冪，再根據同底數冪的運算法則進行計算，最后將3m+2n的值代入即可。

解：8m·4n=（23）m·（22）n=23m+2n=25=32。

二、指數的轉化

例3 計算：（-0.25）1009×22018。

【分析】觀察指數不難發現1009×2=2018，而且0.25×4=1，故可將22018的指數2018化成2×1009，再根據積的乘方法則進行計算。

解：（-0.25）1009×22018=（-0.25）1009×（22）1009=（-0.25×4）1009=（-1）1009=-1。

例 4 已知 a=255，b=344，c=433，比較 a、b、c的大小。

【分析】比較冪的大小有兩種常用方法：一是將其化成同底數冪，比較指數；二是將其化成同指數冪，比較底數。此題三個冪的指數的最大公約數是11，可以逆用冪的乘方法則，先把a、b、c化成同指數冪，再比較底數的大小。

解：a=255=（25）11=3211，b=344=（34）11=8111，c=433=（43）11=6411。

因為32＜64＜81，所以a＜c＜b。