嘗試培養學生數學思維能力

張運能

（福建寧化第一中學，福建 寧化 365400）

中學數學教學大綱中指出：能運用數學概念、思想和方法，辨明數學關系，形成良好的思維品質。大綱中對思維能力的這一闡述，反映了心理學對思維能力研究的最新成果，對數學教學具有重要的指導意義。 那么，在數學課堂教學中應當如何貫徹教學大綱的思想，更加有效地培養學生的數學思維能力呢？以下我們從發展心理學、教育心理學的角度談談看法。

一、如何培養學生的數學思維能力

（一）充分利用課堂培養學生的數學概括能力

數學概括能力是在數學活動中表現出來的概括能力，即概括數學對象、數量關系和空間形式的能力。在課堂教學中，培養學生對概念、命題的概括能力訓練。通過具體實例，在分析、綜合、抽象的基礎上概括出概念的本質屬性，是培養學生概括能力的有效手段。一個數學命題的產生不是孤立的、偶然的，它必然與某些概念、命題之間存在一定的關系，有其產生的背景。定理、公式往往又是一類問題中具有代表性的問題，而把諸多問題的共同屬性抽象出來，形成定理或公式，這就需要一定的概括能力。因此，命題教學中應注重由特殊到一般的概括過程，如韋達定理、二項式定理、和角公式等命題的教學，都可以進行從特殊到一般的概括。

其次，有意識培養學生對模式和方法的概括能力，從現實問題中概括出具體的數學模型，例如，列方程或不等式解應用問題，用排列或組合解應用問題等，就是一種模式概括。另外，數學問題的解決也存在不同的模式，概括一個問題的多種解題模式，找出模式之間的聯系，對培養學生的概括能力是十分有益的。在學完一節、一章的內容之后，可以進行知識體系、解題程序和解題方法的概括，例如，“因式分解”的方法可概括為“一提、二公、三分組”，它既包括了因式分解的三種方法，又揭示了應用時的程序。關于函數研究的一般順序可概括為：定義→對應法則→定義域→值域→圖象→性質→應用，這樣就明確了研究函數的基本程序和方法。更多地讓學生自己去概括，這樣才能提高和發展學生的概括能力。

（二）把重點放在培養學生的思維品質上

數學的性質決定了數學教學既要以學生思維的深刻性為基礎，又要培養學生的思維深刻性。數學思維的深刻性品質的差異集中體現了學生數學能力的差異，教學中培養學生數學思維的深刻性，實際上就是培養學生的數學能力。數學教學中應當教育學生學會透過現象看本質，學會全面地思考問題，養成追根究底的習慣。對于那些容易混淆的概念，如正數與非負數、空集和集合{0}、銳角和第一象限的角、充分條件和必要條件、映射與一一映射、sin(arcsinx)與arcsin(sinx)等等，可以引導學生通過辨別對比，認清概念之間的聯系與區別，在同化概念的同時，使新舊概念分化，從而深刻理解數學概念。通過變式教學揭示并使學生理解數學概念、方法的本質與核心。在解題教學中，引導學生認真審題，發現隱蔽關系，優化解題過程，尋找最佳解法等等。

數學教學中，一方面可以考慮訓練學生的運算速度，另一方面要盡量使學生掌握數學概念、原理的本質，提高所掌握的數學知識的抽象程度。例如，每次上課時都可以選擇一些數學習題，讓學生計時演算；結合教學內容教給學生一定的速算要領和方法；常用的數字，如20以內自然數的平方數、10以內自然數的立方數、特殊角的三角函數值、無理數 、π、е、lg2、lg3的近似值都要做到“一口清”；常用的數學公式如平方和、平方差、立方和、立方差、一元二次方程的有關公式、對數和指數的有關公式、三角函數的有關公式、各種面積、體積公式、基本不等式、排列數和組合數公式、二項式定理、復數的有關公式、斜率公式、直線、二次曲線的標準方程等等，都要做到應用自如。實際上，速算要領的掌握和熟記一些數據、公式等，在思維活動中是一個概括的過程，同時也訓練了學生的數學技能，而數學技能的泛化就成為能力。

新的課程標準和教材為我們培養學生的創造性思維開辟了廣闊的空間。 要引導學生剖析自己發現和解決問題的過程；學習中運用了哪些基本的思考方法、技能和技巧，它們的合理性如何，效果如何，有沒有更好的方法；學習中走過哪些彎路，犯過哪些錯誤，原因何在。批判性思維的培養，有賴于教師根據學生的具體情況，有針對性地設計反思問題，以引起學生的進一步思考。

（三）教會學生思維的方法

孔子說：“學而不思則罔，思而不學則殆”。在數學學習中要使學生思維活躍，就要教會學生分析問題的基本方法，這樣有利于培養學生的正確思維方式。要學生善于思維，必須重視基礎知識和基本技能的學習，沒有扎實的雙基，思維能力是得不到提高的。

在解含有約束條件的排列組合問題，可按元素的性質進行分類，按事件發生的連續過程分步，做到標準明確。分步層次清楚，不重不漏，分類標準一旦確定要貫穿于解題過程的始終。養成這樣一種良好的思維方法，達到解一題、同一片效果，提高學生學習數學的效率

在教學過程中要提高學生觀察分析、由表及里、由此及彼的認識能力；在例題課中要把解（證）題思路的發現過程作為重要的教學環節，僅要學生知道該怎樣做，還要讓學生知道為什么要這樣做，是什么促使你這樣做，這樣想的；在數學練習中，要認真審題，細致觀察，對解題起關鍵作用的隱含條件要有挖掘的能力，會運用綜合法和分析法，并在解（證）題過程中盡量要學會用數學語言、數學符號進行表達。

發展數學思維能力是數學教學的重要任務，我們在發展學生數學思維能力的努力中，不僅要考慮到能力的一般要求，而且還要深入研究數學科學、數學活動和數學思維的特點，尋求數學活動的規律，培養學生的數學思維能力。