嘗試培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力

張運能

（福建寧化第一中學(xué)，福建 寧化 365400）

中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱中指出：能運用數(shù)學(xué)概念、思想和方法，辨明數(shù)學(xué)關(guān)系，形成良好的思維品質(zhì)。大綱中對思維能力的這一闡述，反映了心理學(xué)對思維能力研究的最新成果，對數(shù)學(xué)教學(xué)具有重要的指導(dǎo)意義。 那么，在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中應(yīng)當(dāng)如何貫徹教學(xué)大綱的思想，更加有效地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力呢？以下我們從發(fā)展心理學(xué)、教育心理學(xué)的角度談?wù)効捶ā?/p>

一、如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力

（一）充分利用課堂培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)概括能力

數(shù)學(xué)概括能力是在數(shù)學(xué)活動中表現(xiàn)出來的概括能力，即概括數(shù)學(xué)對象、數(shù)量關(guān)系和空間形式的能力。在課堂教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生對概念、命題的概括能力訓(xùn)練。通過具體實例，在分析、綜合、抽象的基礎(chǔ)上概括出概念的本質(zhì)屬性，是培養(yǎng)學(xué)生概括能力的有效手段。一個數(shù)學(xué)命題的產(chǎn)生不是孤立的、偶然的，它必然與某些概念、命題之間存在一定的關(guān)系，有其產(chǎn)生的背景。定理、公式往往又是一類問題中具有代表性的問題，而把諸多問題的共同屬性抽象出來，形成定理或公式，這就需要一定的概括能力。因此，命題教學(xué)中應(yīng)注重由特殊到一般的概括過程，如韋達定理、二項式定理、和角公式等命題的教學(xué)，都可以進行從特殊到一般的概括。

其次，有意識培養(yǎng)學(xué)生對模式和方法的概括能力，從現(xiàn)實問題中概括出具體的數(shù)學(xué)模型，例如，列方程或不等式解應(yīng)用問題，用排列或組合解應(yīng)用問題等，就是一種模式概括。另外，數(shù)學(xué)問題的解決也存在不同的模式，概括一個問題的多種解題模式，找出模式之間的聯(lián)系，對培養(yǎng)學(xué)生的概括能力是十分有益的。在學(xué)完一節(jié)、一章的內(nèi)容之后，可以進行知識體系、解題程序和解題方法的概括，例如，“因式分解”的方法可概括為“一提、二公、三分組”，它既包括了因式分解的三種方法，又揭示了應(yīng)用時的程序。關(guān)于函數(shù)研究的一般順序可概括為：定義→對應(yīng)法則→定義域→值域→圖象→性質(zhì)→應(yīng)用，這樣就明確了研究函數(shù)的基本程序和方法。更多地讓學(xué)生自己去概括，這樣才能提高和發(fā)展學(xué)生的概括能力。

（二）把重點放在培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)上

數(shù)學(xué)的性質(zhì)決定了數(shù)學(xué)教學(xué)既要以學(xué)生思維的深刻性為基礎(chǔ)，又要培養(yǎng)學(xué)生的思維深刻性。數(shù)學(xué)思維的深刻性品質(zhì)的差異集中體現(xiàn)了學(xué)生數(shù)學(xué)能力的差異，教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的深刻性，實際上就是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)當(dāng)教育學(xué)生學(xué)會透過現(xiàn)象看本質(zhì)，學(xué)會全面地思考問題，養(yǎng)成追根究底的習(xí)慣。對于那些容易混淆的概念，如正數(shù)與非負數(shù)、空集和集合{0}、銳角和第一象限的角、充分條件和必要條件、映射與一一映射、sin(arcsinx)與arcsin(sinx)等等，可以引導(dǎo)學(xué)生通過辨別對比，認(rèn)清概念之間的聯(lián)系與區(qū)別，在同化概念的同時，使新舊概念分化，從而深刻理解數(shù)學(xué)概念。通過變式教學(xué)揭示并使學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念、方法的本質(zhì)與核心。在解題教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真審題，發(fā)現(xiàn)隱蔽關(guān)系，優(yōu)化解題過程，尋找最佳解法等等。

數(shù)學(xué)教學(xué)中，一方面可以考慮訓(xùn)練學(xué)生的運算速度，另一方面要盡量使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)概念、原理的本質(zhì)，提高所掌握的數(shù)學(xué)知識的抽象程度。例如，每次上課時都可以選擇一些數(shù)學(xué)習(xí)題，讓學(xué)生計時演算；結(jié)合教學(xué)內(nèi)容教給學(xué)生一定的速算要領(lǐng)和方法；常用的數(shù)字，如20以內(nèi)自然數(shù)的平方數(shù)、10以內(nèi)自然數(shù)的立方數(shù)、特殊角的三角函數(shù)值、無理數(shù) 、π、е、lg2、lg3的近似值都要做到“一口清”；常用的數(shù)學(xué)公式如平方和、平方差、立方和、立方差、一元二次方程的有關(guān)公式、對數(shù)和指數(shù)的有關(guān)公式、三角函數(shù)的有關(guān)公式、各種面積、體積公式、基本不等式、排列數(shù)和組合數(shù)公式、二項式定理、復(fù)數(shù)的有關(guān)公式、斜率公式、直線、二次曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程等等，都要做到應(yīng)用自如。實際上，速算要領(lǐng)的掌握和熟記一些數(shù)據(jù)、公式等，在思維活動中是一個概括的過程，同時也訓(xùn)練了學(xué)生的數(shù)學(xué)技能，而數(shù)學(xué)技能的泛化就成為能力。

新的課程標(biāo)準(zhǔn)和教材為我們培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維開辟了廣闊的空間。 要引導(dǎo)學(xué)生剖析自己發(fā)現(xiàn)和解決問題的過程；學(xué)習(xí)中運用了哪些基本的思考方法、技能和技巧，它們的合理性如何，效果如何，有沒有更好的方法；學(xué)習(xí)中走過哪些彎路，犯過哪些錯誤，原因何在。批判性思維的培養(yǎng)，有賴于教師根據(jù)學(xué)生的具體情況，有針對性地設(shè)計反思問題，以引起學(xué)生的進一步思考。

（三）教會學(xué)生思維的方法

孔子說：“學(xué)而不思則罔，思而不學(xué)則殆”。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中要使學(xué)生思維活躍，就要教會學(xué)生分析問題的基本方法，這樣有利于培養(yǎng)學(xué)生的正確思維方式。要學(xué)生善于思維，必須重視基礎(chǔ)知識和基本技能的學(xué)習(xí)，沒有扎實的雙基，思維能力是得不到提高的。

在解含有約束條件的排列組合問題，可按元素的性質(zhì)進行分類，按事件發(fā)生的連續(xù)過程分步，做到標(biāo)準(zhǔn)明確。分步層次清楚，不重不漏，分類標(biāo)準(zhǔn)一旦確定要貫穿于解題過程的始終。養(yǎng)成這樣一種良好的思維方法，達到解一題、同一片效果，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的效率

在教學(xué)過程中要提高學(xué)生觀察分析、由表及里、由此及彼的認(rèn)識能力；在例題課中要把解（證）題思路的發(fā)現(xiàn)過程作為重要的教學(xué)環(huán)節(jié)，僅要學(xué)生知道該怎樣做，還要讓學(xué)生知道為什么要這樣做，是什么促使你這樣做，這樣想的；在數(shù)學(xué)練習(xí)中，要認(rèn)真審題，細致觀察，對解題起關(guān)鍵作用的隱含條件要有挖掘的能力，會運用綜合法和分析法，并在解（證）題過程中盡量要學(xué)會用數(shù)學(xué)語言、數(shù)學(xué)符號進行表達。

發(fā)展數(shù)學(xué)思維能力是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要任務(wù)，我們在發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的努力中，不僅要考慮到能力的一般要求，而且還要深入研究數(shù)學(xué)科學(xué)、數(shù)學(xué)活動和數(shù)學(xué)思維的特點，尋求數(shù)學(xué)活動的規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。