機(jī)械臂執(zhí)行器故障重構(gòu)與容錯控制??

裴紅蕾

(無錫工藝職業(yè)技術(shù)學(xué)院，江蘇宜興214200)

機(jī)械臂的廣泛應(yīng)用將人類從重復(fù)性、危險性和體力型勞動中解放出來,極大地促進(jìn)了社會生產(chǎn)和經(jīng)濟(jì)的發(fā)展.但是由于機(jī)體長期運(yùn)轉(zhuǎn)、環(huán)境腐蝕、控制器設(shè)計(jì)不合理等原因,會導(dǎo)致機(jī)械臂發(fā)生各種不可預(yù)知的故障[1].機(jī)械故障不僅會降低生產(chǎn)效率、影響經(jīng)濟(jì)發(fā)展,嚴(yán)重時會危及工作人員的生命.因此研究機(jī)械臂的故障檢測方法和容錯控制技術(shù),對維護(hù)經(jīng)濟(jì)社會穩(wěn)定、保護(hù)人民生命安全具有現(xiàn)實(shí)意義.

機(jī)械臂故障重構(gòu)與容錯控制主要集中在兩個方面,一是硬件冗余技術(shù),二是解析冗余技術(shù).硬件冗余技術(shù),就是增加冗余的硬件設(shè)備,當(dāng)出現(xiàn)故障時,及時切換至備份設(shè)備,此方法設(shè)計(jì)簡單,但是成本高、體積大、不利于生產(chǎn)效益提高.解析冗余技術(shù)就是通過設(shè)計(jì)與系統(tǒng)相似或相同的數(shù)學(xué)模型,依據(jù)殘差判斷故障是否發(fā)生,當(dāng)故障時補(bǔ)償系統(tǒng)模型實(shí)現(xiàn)容錯控制.在硬件冗余技術(shù)方面,文獻(xiàn)[2]研究了冗余機(jī)械臂在單關(guān)節(jié)故障下的建模與容錯控制,當(dāng)發(fā)生單關(guān)節(jié)故障時,通過連桿重組并重新建立動力學(xué)模型,實(shí)現(xiàn)容錯控制；文獻(xiàn)[3]針對冗余機(jī)械臂發(fā)生故障時的參數(shù)突變問題,使用邊界極值確定了容錯控制空間,使用最優(yōu)控制解得了最優(yōu)控制率；文獻(xiàn)[4]研究了單關(guān)節(jié)鎖定時引起的機(jī)械臂末端速度突變問題,通過模型重構(gòu)和參數(shù)調(diào)整,保證了機(jī)械臂末端按預(yù)定軌跡運(yùn)行.在解析冗余技術(shù)方面,文獻(xiàn)[5]研究了故障未知情況下的控制問題,設(shè)計(jì)了高階終端滑模觀測器,融入了自適應(yīng)控制律,確保了系統(tǒng)不受未知故障影響；文獻(xiàn)[6]對未知擾動和故障進(jìn)行解耦,構(gòu)建了自適應(yīng)觀測器和滑膜觀測器,實(shí)現(xiàn)了對未知擾動不敏感,而又能精確重構(gòu)微小故障的目標(biāo).以上研究成果都實(shí)現(xiàn)了在各自故障條件下的故障檢測和容錯控制.

本文研究的是機(jī)械臂系統(tǒng)執(zhí)行器故障時的故障重構(gòu)和容錯控制問題.建立了機(jī)械臂系統(tǒng)的動力學(xué)方程和執(zhí)行器故障模型；設(shè)計(jì)了準(zhǔn)連續(xù)高階滑膜觀測器,用于故障檢測與重構(gòu)；構(gòu)造了非奇異快速終端滑膜面,設(shè)計(jì)了容錯控制器.經(jīng)仿真驗(yàn)證,準(zhǔn)連續(xù)高階滑膜觀測器能夠快速高精度重構(gòu)誤差,容錯控制器在故障情況下可以準(zhǔn)確跟蹤期望軌跡.

1 機(jī)械臂及故障建模

1.1 機(jī)械臂動力學(xué)方程

機(jī)械臂系統(tǒng)是由控制器、執(zhí)行器、被控對象和傳感器組成的閉環(huán)系統(tǒng).執(zhí)行器接受控制器的控制信號,轉(zhuǎn)化為實(shí)際動作作用到被控對象上,易受到外界干擾影響,執(zhí)行器故障是機(jī)械臂系統(tǒng)出錯的主要原因.具體地講,機(jī)械臂系統(tǒng)的執(zhí)行器為關(guān)節(jié)力矩器.

機(jī)械臂具有6個自由度,分別為沿x軸、y軸、z軸的線自由度和角自由度.參考文獻(xiàn)[7],對n關(guān)節(jié)機(jī)械臂,其動力學(xué)方程可由二階非線性微分方程表示為

式中:q、q·、q··∈Rn,分別為機(jī)械臂關(guān)節(jié)的位置、速度和加速度向量；M(q)∈Rn×n為廣義慣性矩陣,為正定對稱矩陣,且是有界的；C(q,q·)∈Rn為哥氏力和離心力項(xiàng)；G(q)∈Rn為重力項(xiàng)；F(q,q·)∈Rn為摩擦力項(xiàng)；ud∈Rn為干擾力項(xiàng)；ua∈Rn為實(shí)際輸出力矩.

1.2 執(zhí)行器故障建模

機(jī)械臂故障按照發(fā)生位置的不同分為元器件故障、傳感器故障、執(zhí)行器故障和軟件故障.前文中指出,執(zhí)行器故障是機(jī)械臂系統(tǒng)出錯的主要原因,因此本文研究的是執(zhí)行器故障.

按照故障發(fā)生形式的不同,故障可分為加性故障和乘性故障,如圖1所示.

圖中u(t)為系統(tǒng)輸入,y(t)為系統(tǒng)輸出,f(t)為故障信號,ρ(t)為系統(tǒng)有效因子.圖1a為加性故障,系統(tǒng)輸出y(t)＝u(t)+f(t)；圖1b為乘性故障,系統(tǒng)輸出為 y(t)＝ ρ(t)·u(t).

當(dāng)執(zhí)行器發(fā)生加性故障時,機(jī)械臂動力學(xué)方程為:

式中:fu∈Rn為外加干擾力矩；u為系統(tǒng)輸入.

當(dāng)執(zhí)行器發(fā)生乘性故障時,機(jī)械臂動力學(xué)方程為:

根據(jù)系統(tǒng)有效因子ρ與外加干擾力矩fu的取值不同,執(zhí)行器故障可以分為四類,如表1所示.

表1 機(jī)械臂執(zhí)行器故障類型

2 故障重構(gòu)

2.1 滑膜觀測器設(shè)計(jì)

本文設(shè)計(jì)滑膜觀測器作為故障觀測器,依據(jù)機(jī)械臂的動力學(xué)模型,設(shè)計(jì)與其一致的觀測器模型,將觀測器輸出與實(shí)際輸出作比較,并將觀測器輸出與實(shí)際輸出間的誤差反饋到觀測器中,不斷調(diào)整反饋增益,直至正常狀態(tài)下輸出誤差趨于0,此時觀測器設(shè)計(jì)完畢.當(dāng)觀測器輸出與實(shí)際輸出誤差超過設(shè)定的閾值時,判定機(jī)械臂系統(tǒng)發(fā)生故障.滑膜觀測器結(jié)構(gòu)圖如圖2所示.

記系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程為:

式中:x為狀態(tài)向量；y為輸出量；u為控制量；A為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣；B為輸入矩陣；C為輸出矩陣.

設(shè)計(jì)滑膜觀測器為:

式中:x＾為狀態(tài)估計(jì)量；y＾為輸出估計(jì)值；v為滑膜變控制律；K為觀測器增益.

為了實(shí)現(xiàn)機(jī)械臂系統(tǒng)的容錯控制,在機(jī)械臂發(fā)生故障時,需要對故障進(jìn)行重構(gòu).基于滑膜觀測器的故障重構(gòu)方法如圖3所示.

圖中[qd,q·d]為關(guān)節(jié)期望的位置和速度,[q,q·]為關(guān)節(jié)實(shí)際的位置和速度,u為控制信號,fa為執(zhí)行器故障信號,ua為加入故障信號的控制信號,f＾a為故障重構(gòu)信號.

以兩關(guān)節(jié)機(jī)械臂為例,選擇狀態(tài)向量x＝[x1,x2]T＝[q,q·]T,式中x1＝[q1,q2]為兩關(guān)節(jié)位置,x2＝[q·1,q·2]為兩關(guān)節(jié)速度.以速度為輸出量,將機(jī)械臂動力方程轉(zhuǎn)化為狀態(tài)方程,得:

式中:y為輸出量；f(x1,x2)為建模不確定項(xiàng)和未知干擾項(xiàng)；g(x1)為廣義慣性矩陣的逆.結(jié)合式(1)有:

參考式(4)～(6),設(shè)計(jì)機(jī)械臂系統(tǒng)的滑膜觀測器為:

2.2 滑膜變控制律設(shè)計(jì)

由于機(jī)械臂系統(tǒng)中存在建模不確定項(xiàng)和未知干擾項(xiàng),所以控制律設(shè)計(jì)為等效控制項(xiàng)和變結(jié)構(gòu)控制項(xiàng),等效控制項(xiàng)用于系統(tǒng)確定部分的控制,變結(jié)構(gòu)控制項(xiàng)用于不確定項(xiàng)和未知干擾項(xiàng)的控制,增強(qiáng)系統(tǒng)魯棒性.即控制律v為:

式中:ueq為等效控制項(xiàng)；uvss為變結(jié)構(gòu)控制項(xiàng).

2.2.1 準(zhǔn)連續(xù)高階滑膜控制原理

在設(shè)計(jì)控制律前,首先介紹準(zhǔn)連續(xù)高階滑膜控制原理.滑膜變結(jié)構(gòu)控制,就是對于任意的系統(tǒng)狀態(tài),通過控制作用使其運(yùn)動到某一直線(或平面)上,而后沿此直線或平面運(yùn)動到原點(diǎn).如圖4所示,對于某狀態(tài)空間方程,存在一個切換面s(x)＝0,此切換面將空間分為s＞0和s＜0兩個區(qū)域.切換面上的點(diǎn)可分為三類:一是從切換面穿過的A點(diǎn),二是從切換面逃離的B點(diǎn),三是趨向切換面的C點(diǎn).

切換面上全部為C點(diǎn)的一塊區(qū)域成為滑膜區(qū),經(jīng)分析可知,滑膜區(qū)存在的條件為條件為ss·＜0.設(shè)計(jì)滑膜控制分為兩步:一是設(shè)計(jì)滑膜面,二是依據(jù)滑膜面設(shè)計(jì)控制律[9].滑膜控制具有很好的魯棒性,不受未知干擾和參數(shù)攝動影響,但是滑膜控制量是不連續(xù)的,控制量的切換并非理想狀態(tài)下的開關(guān)特性,使滑膜運(yùn)動無法精確發(fā)生在滑膜面上,不可避免地使系統(tǒng)發(fā)生抖振現(xiàn)象.

為了消除滑膜控制的抖振現(xiàn)象,提高控制精度,出現(xiàn)了高階滑膜控制.若某函數(shù)s(x)的r-1階導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù),而r階導(dǎo)數(shù)不存在或不連續(xù),且滑膜集Sr＝{x s(x)＝·s(x)＝ …＝sr-1(x)＝0}非空,則稱集合Sr為函數(shù)s(x)的r階滑膜面.高階滑膜控制的定義較為抽象,直觀地可理解為,高階滑膜面為位置、速度、加速度、加加速度、直至r-1階加速度都為0的面,當(dāng)控制量切換時,在高階滑膜面上運(yùn)動的點(diǎn)r-1階加速度為0,則切換時就不會出現(xiàn)激烈的抖振現(xiàn)象,而是溫和的切換過程,達(dá)到了削弱抖振的目的.

滑膜控制與高階滑膜控制出現(xiàn)抖振現(xiàn)象的本質(zhì)是控制量的不連續(xù).為了徹底解決抖振問題,獲得連續(xù)控制信號,本文基于幾何齊次理論,加入虛擬控制,從而提出了準(zhǔn)連續(xù)高階滑膜控制.為了給出準(zhǔn)連續(xù)r階滑膜控制律,令 i＝1,2,…,r-1,且 βi,α＞0,則定義遞推公式為:

式中:σ為系統(tǒng)輸出量.選取合適的βi與α值,系統(tǒng)狀態(tài)可以在式(11)的控制下到達(dá)滑膜面σ＝σ·＝…＝σ(r-1)＝ 0.

2.2.2 等效控制律設(shè)計(jì)

記跟蹤誤差為e(t),速度誤差為e·(t),則e(t)＝x1(t)-xd(t),e·(t)＝x2(t)-x·d(t),式中xd(t)為期望軌跡.為了保證系統(tǒng)狀態(tài)在有限時間內(nèi)能夠收斂至滑膜面,設(shè)計(jì)非奇異滑膜面為:

式中:β、p、q 為待定參數(shù),且要求 β＞0,p、q 為正數(shù)且為奇數(shù),滿足 1＜p/q＜2.

由于系統(tǒng)確定部分與不確定部分分開控制,因此將狀態(tài)空間的確定部分與不確定部分分開,即:

式中:g(q,q·)＝M-1(q)[-C(q,q·)q·-G(q)]為確定部分,Δ(q,q·,t)＝M-1(q)[-F(q,q·)-ud]為不確定部分.

將位置誤差、速度誤差、式(13)代入到式(12),使用二階滑膜面控制,也就是令s·(t)＝0,則:

本部分設(shè)計(jì)的控制律用于控制系統(tǒng)的確定部分,忽略系統(tǒng)的不確定部分,得到等效控制律為:

2.2.3 變結(jié)構(gòu)控制律設(shè)計(jì)

本文以兩關(guān)節(jié)機(jī)械臂系統(tǒng)為例,選取準(zhǔn)連續(xù)二階滑膜控制作為控制器,取r＝2代入式(10)與式(11),得變結(jié)構(gòu)控制律為:

式中:k＾為自適應(yīng)滑膜增益,要求 k＾≥Δmax,其中 Δmax為不確定部分的上界.

2.3 故障重構(gòu)

本文使用等效輸出誤差注入方法[10]進(jìn)行故障重構(gòu).此方法重點(diǎn)是求解等效輸出注入信號veq,此信號代表滑膜控制律的平均特性.

結(jié)合式(6)與式(7),并引入故障信號,得輸出誤差為:

式中:fa為機(jī)械臂執(zhí)行器故障.系統(tǒng)保持在滑膜面上運(yùn)動時,有ey＝e·y＝0,即

在控制律v的作用下,系統(tǒng)在滑膜面上的抖振極小,甚至消失,此時有:

根據(jù)等效輸出誤差注入原理,將等效輸出注入信號veq代入式(16),得執(zhí)行器故障的重構(gòu)信號:

3 容錯控制

由于容錯控制在實(shí)際使用時可能出現(xiàn)奇異現(xiàn)象和控制時效性差的問題,本文提出了非奇異快速終端滑膜控制方法.

3.1 非奇異快速終端滑膜面設(shè)計(jì)

本文設(shè)計(jì)的容錯控制器結(jié)構(gòu)圖如圖5所示.

參考文獻(xiàn)[11],一階非線性微分方程的快速終端滑膜面為s＝·x+αx+βxrsgn(x),式中 r∈(0,1),α,β＞0,αx項(xiàng)保證了系統(tǒng)狀態(tài)遠(yuǎn)離平衡點(diǎn)時的快速收斂,β xγsgn(x)保證了靠近平衡點(diǎn)時的快速收斂.對滑膜面求微分,得,由于式中r-1＜0,則當(dāng)x→0時系統(tǒng)發(fā)生奇異現(xiàn)象.

為了避免奇異現(xiàn)象的發(fā)生,本文設(shè)計(jì)了非奇異快速終端滑膜面為:

式中:β＞0,p、q、k、l為正奇數(shù),且 1＜p/q＜2,k/l＞p/q.式(19)的設(shè)計(jì)方式有三個原因:一是當(dāng)系統(tǒng)遠(yuǎn)離平衡點(diǎn)時,控制律中x·p/q具有增大控制量從而提高收斂速度的作用；二是當(dāng)系統(tǒng)靠近平衡點(diǎn)時,其指數(shù)趨近于1,此滑膜面近似為一般滑膜面,保持了對模型誤差和干擾的強(qiáng)魯棒性；三是k/l＞p/q＞1,保證了微分后指數(shù)非負(fù),保證滑膜面非奇異.

3.2 控制律設(shè)計(jì)

記qid(t)為機(jī)械臂期望位置且存在二階導(dǎo)數(shù),(t)為非奇異快速終端滑膜控制器對位置的估計(jì)值,控制目標(biāo)是跟蹤 qid(t),則跟蹤誤差qid(t),求導(dǎo)得,將其代入式(19),得非奇異快速終端滑膜面為:

對此滑膜面求導(dǎo),得:

由式(20)和反饋控制原理,可得基于非奇異快速終端滑膜控制的容錯控制律為:

式中:ζ、η為參數(shù),需要合理選取.

經(jīng)驗(yàn)證,本文設(shè)計(jì)的故障重構(gòu)與容錯控制系統(tǒng)具有李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性.由于篇幅關(guān)系,這里不再贅述.

4 仿真驗(yàn)證及分析

仿真驗(yàn)證共分為兩個部分,一是驗(yàn)證準(zhǔn)連續(xù)高階滑膜觀測器對故障的重構(gòu)精度與速度；二是驗(yàn)證機(jī)械臂執(zhí)行器發(fā)生故障時的容錯控制精度.

4.1 故障重構(gòu)性能驗(yàn)證

以雙關(guān)節(jié)機(jī)械臂系統(tǒng)為例,其構(gòu)架如圖6所示.

圖中各參數(shù)取值為:m1＝1 kg,m2＝1.5 kg,l1＝1.0 m,l2＝0.8 m.動力方程相關(guān)參數(shù)設(shè)置為:

摩擦力和外界干擾分別設(shè)計(jì)為:

期望軌跡分別設(shè)置為:

由表1可知,機(jī)械臂執(zhí)行器故障分為恒增益、偏差、卡死、飽和等四種故障.下面以恒增益、恒偏差為例,假設(shè)關(guān)節(jié)1執(zhí)行器在3 s時發(fā)生恒增益和恒偏差故障,參數(shù)為 ρ1＝0.6、fu1＝0.1,關(guān)節(jié) 2 執(zhí)行器在 3 s時發(fā)生恒增益偏差,參數(shù)為ρ2＝0.8.

為了比較準(zhǔn)連續(xù)高階滑膜觀測器與高階滑膜觀測器對機(jī)械臂故障的重構(gòu)精度,分別構(gòu)造準(zhǔn)連續(xù)高階滑膜觀測器與高階滑膜觀測器.將關(guān)節(jié)1和關(guān)節(jié)2的故障分別代入各自的動力學(xué)方程,得到兩種觀測器對故障的重構(gòu)結(jié)果如圖7所示.

由圖7a、b可以看出,在0～3 s,兩關(guān)節(jié)執(zhí)行器均沒有故障,故障重構(gòu)值與誤差都為0；3 s時,關(guān)節(jié)1發(fā)生恒增益和恒偏差故障,關(guān)節(jié)2發(fā)生恒增益故障,滑膜運(yùn)動被破壞,因此故障重構(gòu)出現(xiàn)較大瞬時誤差,但是滑膜觀測器能夠快速(0.05 s內(nèi))調(diào)整,將重構(gòu)誤差控制在0.02 N·m內(nèi),說明準(zhǔn)連續(xù)高階滑膜觀測器具有很高的故障重構(gòu)精度和速度.這是因?yàn)榈刃л敵稣`差注入方法是一種近似逼近方法,能夠?qū)崿F(xiàn)快速、高精度逼近誤差.

對比圖7a、b與c、d可以看出,在3 s時,準(zhǔn)連續(xù)滑膜觀測器重構(gòu)誤差分別為1.3 N·m、0.3 N·m,而高階滑膜觀測器為1.5 N·m和0.4 N·m,略大于前者.其次,準(zhǔn)連續(xù)滑膜觀測器只在故障發(fā)生瞬間出現(xiàn)較大瞬時重構(gòu)誤差,但是高階滑膜觀測器在故障發(fā)生后多次出現(xiàn)較大抖振現(xiàn)象,影響了故障重構(gòu)精度.這是因?yàn)闇?zhǔn)連續(xù)高階滑膜控制在系統(tǒng)狀態(tài)靠近滑膜面時,取得了連續(xù)控制的效果,有效削弱了滑膜控制切換時的抖振現(xiàn)象,避免了系統(tǒng)震蕩和失穩(wěn).

4.2 容錯控制性能驗(yàn)證

本小節(jié)使用的機(jī)械臂系統(tǒng)參數(shù)與之前完全一致,機(jī)械臂故障也與之前相同.為了體現(xiàn)重構(gòu)故障在容錯控制中的作用,本文設(shè)計(jì)兩種容錯控制器,一種是將重構(gòu)故障反饋給容錯控制器,一種是不將重構(gòu)故障反饋給容錯控制器,此時容錯控制器退化為一般的滑膜控制器.量以關(guān)節(jié)1為例,兩種控制器的控制效果如圖8所示.

由圖8可以看出以下幾點(diǎn):(1)圖8a中的關(guān)節(jié)位置誤差越來越大,呈發(fā)散趨勢,系統(tǒng)無法在有限時間內(nèi)穩(wěn)定,而圖8b中的實(shí)際軌跡能夠快速跟蹤期望估計(jì),充分說明了重構(gòu)故障的準(zhǔn)確性和容錯控制的有效性.(2)圖8b中實(shí)際軌跡能夠快速跟蹤期望軌跡,幾乎不存在相位延遲,說明本文設(shè)計(jì)的非奇異快速終端滑膜控制達(dá)到了快速跟蹤的效果.(3)圖中未出現(xiàn)奇異現(xiàn)象,說明本文對非奇異滑膜面的設(shè)計(jì)有效避免了奇異現(xiàn)象.

5 結(jié)語

本文建立了機(jī)械臂系統(tǒng)動力學(xué)方程和執(zhí)行器故障模型,設(shè)計(jì)了準(zhǔn)連續(xù)高階滑膜觀測器用于故障觀測,結(jié)合等效輸出誤差注入法給出了故障重構(gòu)原理,設(shè)計(jì)了非奇異快速終端滑膜控制器用于容錯控制,經(jīng)仿真驗(yàn)證可以看出:(1)準(zhǔn)連續(xù)高階滑膜觀測器能夠快速、高精度重構(gòu)誤差,同時避免了滑膜控制的抖振現(xiàn)象；(2)基于非奇異快速終端滑膜的容錯控制能夠有效避免奇異現(xiàn)象,且實(shí)現(xiàn)了故障情況下對期望軌跡的快速跟蹤.