Purcell模型與Thomeer模型相結合的高精度滲透率模型研究

湯瀟 張超謨 周文銀

摘 ? ? ?要： 碳酸鹽巖儲層孔隙結構復雜，滲透率建模困難。相比于孔隙度，通過對壓汞資料分析的一些孔隙特征和孔隙系統結構信息，例如最大孔喉半徑與滲透率關系更為緊密。用壓汞資料評價滲透率，最早是Purcell在1949年首次提出的，后來被Thomeer，Swanson等人深化。基于Purcell滲透率模型，在Thomeer研究的基礎上，利用數學推理，在不經過巖心擬合孔隙度和排驅壓力參數的情況下，推導了出一種新的預測碳酸鹽巖的滲透率模型。隨機選取中東地區H油田孔隙類型為單峰和雙峰的碳酸鹽巖巖樣各50塊，應用到Thomeer模型，Swanson模型和新模型中。分析了孔隙類型為單峰和雙峰兩種模態下三種滲透率模型的計算誤差，結果表明，在單峰情況下，新模型與其他兩種經典模型相比，結果有明顯改善;在雙峰情況下，新模型與其他兩種經典模型相比，精度也有一定的提高。

關 ?鍵 ?詞：碳酸鹽巖;滲透率;壓汞參數;Purcell模型;Thomeer模型

中圖分類號：TE122.2+3 ? ? ? 文獻標識碼： A ? ? ? 文章編號： 1671-0460（2019）12-2934-05

Abstract： The pore structure of carbonate reservoirs is complicated， which makes the modeling of permeability difficult. Some of the pore characteristics and pore system structure information can be analyzed by the mercury injecting capillary pressure data （MICP）， for example the maximum pore throat radius is closely related to the permeability. The use of MICP data to evaluate the permeability was first proposed by Purcell in 1949 and later improved by Thomeer， Swanson et al. Based on Purcell permeability model and Thomeer's research， a new permeability prediction model for carbonate rocks was derived by mathematical reasoning without core fitting parameters of porosity and displacement pressure. The permeabilities of randomly selected 50 monomodal and 50 bimodal carbonate rock samples from H oil field in the Middle East were calculated by Thomeer model， Swanson model and new model. Error analysis of the calculation results of three models for monomodal and bimodal pore system was carried out，respectively. The results showed that under monomodal condition， the results of the new model were obviously better than those of the other two classical models， and the accuracy of the new model was also higher than those of the other two classical models in the case of bimodal.

Key words： Carbonate; Permeability; Mercury injection parameters; Purcell model; Thomeer model

中東地區80%的油氣產自碳酸鹽巖儲集層[1，2]。但碳酸鹽巖的孔隙結構復雜，孔喉分布不均，非均質性強，孔隙系統復雜且呈多個模態[3-5]，使得滲透率評價困難。研究表明：孔隙結構控制著儲層滲透率[6，7]，由于壓汞毛管壓力曲線可以很好的表征儲層孔喉的大小及分布，因此，利用壓汞實驗數據預測滲透率是滲透率評價中常見的一種思路。主要分為兩類：

孔隙半徑法：依據壓汞曲線的特征對應的孔喉半徑聯合或特定的孔喉半徑建立與滲透率的關系。比較有代表性的有：Purcell認為毛管壓力曲線上對應的連通孔喉都對巖石的滲透率有貢獻，將∫_0^1?〖1/〖P_c〗^2 ?dS_w 〗作為滲透率貢獻的一個重要因子[8];Swanson認為雙對數坐標下毛管壓力曲線上的拐點處，即人的提Swanson參數，對滲透率有主導作用[9];Katz和Thompson認為毛管曲線開始端頂點對應連通孔喉網絡中的最大孔喉半徑與滲透率關系密切[10];Kolodzie等認為依據壓汞曲線不同累積飽和度下對應的孔喉半徑例如R10、R35、R50等可以用來評價滲透率[11-15]。

函數法：對壓汞曲線進行擬合，提取的擬合參數用來評價滲透率。例如Thomeer函數和Brooks-Corey方程等[16-18]。Thomeer將毛管壓力曲線抽象為一個雙曲線方程，并建立了擬合參數與滲透率的關系。Huet等在Brooks-Corey擬合方程的基礎上建立了滲透率與束縛水、孔隙度等參數的關系。

碳酸鹽巖結構復雜，孔隙半徑法并不能反應孔隙半徑分布的均勻程度和大小對滲透率的影響，函數法雖然能在一定程度上反應非均質性，卻忽視了半徑對滲透率的主導貢獻。筆者擬在半徑法的基礎上，結合函數法，推導出一種新模型，并通過研究區大量的壓汞、及巖心物性分析資料，分析模型的適用性，以此來提高儲層滲透率的預測精度。

1 ?研究區概況

研究區是H油田的M層組，地理上位于中東伊拉克東南部（圖1），沉積于白堊紀中晚期，主要巖石類型包括顆粒灰巖、泥粒灰巖、粒泥灰巖、介殼類漂浮巖等[19]，屬于比較純凈的石灰巖儲層。研究區孔隙結構復雜，一塊巖樣可能存在兩套孔隙系統[5]，在孔喉頻率分布上表示雙峰（圖5a）。隨機選取研究區壓汞實驗測量后孔喉分布為單峰和雙峰的樣品進行孔隙度、滲透率實驗測量，孔滲關系見圖2。單峰模態的巖心孔隙度分布在0.06～0.30，滲透率在0.013～459.226 mD;雙峰模態的巖心孔隙度分布在0.03～0.28，滲透率分布在0.021～393.039 mD。

2 ?模型選擇

孔喉半徑法中，Swanson，R35等都代表一種特定的優勢半徑，這種優勢半徑能夠反應巖石的滲流能力。但是，這種單一孔徑的滲透率模型只有對孔喉分布均勻，連通性好，孔隙系統單一的巖石具有好的效果，對復雜的碳酸鹽巖適用性有限。Purcell模型是建立在達西滲流理論和泊肅葉方程的基礎上的理論模型，其積分因子∫_0^1?〖1/〖P_c〗^2 ?dS_w 〗考慮了所有半徑對滲透率的貢獻。函數法中，Thomeer函數的三個參數排驅壓力、孔隙體積和形態因子一直被廣泛應用在中東碳酸鹽巖測井評價中，所以考慮結合Thomeer函數與Purcell模型。

2.1 ?Purcell 模型

3 ?Thomeer曲線擬合

參數提取之前需要進行麻皮校正（圖4b，圖5b），麻皮校正是校正壓汞曲線在剛開始處出現的不規則的凹槽現象[20]。研究采用阻尼牛頓迭代算法，編寫擬合毛管壓力曲線程序，功能包括麻皮校正、曲線擬合，參數提取。圖4和圖5展示了單峰、雙峰樣品的擬合效果圖。黑色虛線是原始曲線，紅色實線是經過麻皮校正后的毛管曲線，黑色圓圈虛線是Thomeer模型擬合曲線，綠色表示麻皮校正的大小（圖4b，圖5b），左側為巖心對應的孔喉分布 （圖4a，圖5a）。由圖可知，擬合曲線基本上能和經過校正后的曲線完全重合。

提取上述50塊單峰的Thomeer參數（Pd1、Bv1和G1），50塊雙峰的Thomeer參數（Pd1、Pd2、Bv1、Bv2、G1和G2）。通過統計每個壓力下對應擬合的Bv的均方跟誤差值來進行誤差分析，見圖6。由圖可知，單峰的誤差值96%在0.8以下，大部分在0.6以下;雙峰的誤差值96%在0.6以下，絕大部分在0.4以下。說明提取的參數精度高，能夠反映孔隙結構。

5 ?效果分析

對參數提取之后的單峰、雙峰巖心樣品分別進行滲透率評價，依次用Thomeer模型，Swanson模型和P_T模型進行計算。

單峰情況下，由圖9可知，P_T模型的整體精度要優于Thomeer模型和Swanson模型。按滲透率的大小將50塊單峰巖樣分成5個區間（見表2），樣品編號為1～50，Thomeer模型各個區間均方根誤差分別為：33.15%、35%、24%、34%、23%。總均方根誤差為30%。Swanson模型各個區間均方根誤差分別為：21.00%、46%、25%、36%、23%。總均方根誤差為32%。P_T模型各個區間均方根誤差分別為：19.73%、26%、15%、27%、8%。總均方根誤差為21%。Swanson模型和Thomeer模型在各個區間均方根誤差各有好壞，而P_T模型在每個區間的均方根誤差都比其他模型小，說明P_T模型在單峰情況下精度要優于其他2種模型。分析原因：Bv是巖石進汞的體積，不妨假設Bv等于φ，但是2008年Clerke文章中的實驗數據表明，Bv略大于孔隙度，對于這個現象目前沒人能給出準確的結論[4，25]，Bv畢竟是一個數學上的擬合參數，物理意義還有待考證，P_T模型用更能反映巖石孔隙體積的孔隙度參與滲透率的預測，理論更加嚴謹;Swanson模型只考慮了優勢孔徑對滲透率的影響，沒有考慮到孔隙度與滲透率的關系，當孔喉大小分布不均時，P_T模型更能反映巖石的滲流能力。

雙峰條件下，盡管P_T模型是在基于單峰的公式，由圖9可知，P_T模型還是要比其他兩種模型精度要高。這是因為，當孔隙系統為雙峰時，根據上訴所說，Swanson模型對這種孔隙系統復雜的碳酸鹽巖適用性要比單峰情況下低的多;Thomeer模型也是基于單峰提出公式，對雙峰并不適用。同樣將50塊雙峰巖樣分成5個區間（見圖2），樣品編號為51～100，Thomeer模型各個區間均方根誤差分別為：38.71%、88%、47%、70%、64%。總均方根誤差為67%。Swanson模型各個區間均方根誤差分別為：53.96%、80%、49%、72%、47%。總均方根誤差為64%。P_T模型各個區間均方根誤差分別為：33.18%、65%、25%、30%、22%。總均方根誤差為41%。P_T模型在滲透率為0～1 mD精度與其它兩種模型相差不大，在其他區間，P_T模型的均方根誤差遠遠小于其他兩種模型。這是由于在低滲情況下，孔隙結構更加復雜。

6 ?結論

（1）中東地區碳酸鹽巖孔隙系統復雜，存在孔喉分布為雙峰的情況，Swanson等單一孔徑模型和Thomeer函數經驗模型適用性較差。

（2）結合Purcell模型和Thomeer方程，經過數學理論推導，提出了新的預測碳酸鹽巖滲透率模型P_T，并將新模型應用到研究區100塊巖樣。誤差分析的結果表明，相比于Swanson模型和Thomeer模型，P_T模型精度明顯改善。

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