新高考理念下的反證法在解題中的應(yīng)用

陳鎮(zhèn)偉

摘? ?要：反證法和分析法的證明過程其實(shí)是一種綜合法，它每步是推演其必然結(jié)果.分析法每步是追溯其充分條件.“否定式的分析法”，這種提法在有關(guān)資料書籍中也沒有發(fā)現(xiàn)過，按字面理解“否定式的分析法”還是一種分析法.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)模型;抓住主要特征;矛盾律;培養(yǎng)創(chuàng)新能力

反證法是中學(xué)解題中常用的一種方法，這種思維方法在生活中說理與爭(zhēng)論過程被應(yīng)用，初次接觸都比較讓人難以接受，如果證“若A則B”這個(gè)命題，你先假設(shè)B不對(duì)，那么……，你也許會(huì)嘀咕：人家正要你證B是對(duì)的，你卻說B是不對(duì)的，豈非不戰(zhàn)自敗嗎？其實(shí)，只要在證明過程中每一步到下一步完全合乎邏輯，但每一步的結(jié)論卻其實(shí)不能發(fā)生.這種證法就叫反證法，亦稱歸謬法，有關(guān)反證法論述很多，但我覺得還是有很多問題值得一談：

1? 反證法的邏輯依據(jù)

證題方法的依據(jù)，可以通過追究這種證法具體步驟的理由而獲得，分析通常所用反證法的根據(jù)，便可知反證法的依據(jù)是邏輯基本體中的矛盾律和排中律.用反證法證明命題“若A則有B”的過程可寫為：①假設(shè)無B，根據(jù)本題條件和已有的定義、公理、定理推出的一對(duì)矛盾的結(jié)果，即與矛盾律對(duì)立：②根據(jù)矛盾律，斷言無B不能成立;③根據(jù)排中律，無B不成立，則必有B成立，故本命題得證;

在許多有關(guān)反證法的資料中都有提到逆否命題，并似乎都有一種共識(shí)，認(rèn)為反證法就是改證論題的逆否命題，它的依據(jù)是逆否命題的等價(jià)性，這種說法是否妥當(dāng)呢？ 如果把逆否命題僅限于命題本身的條件和結(jié)論的否定，換位而得，那上述提法顯然不正確，若把已知的定義、公理、定理都算入本體的條件，則一個(gè)命題的逆否命題為：

結(jié)論的否定：與本題條件對(duì)立或與已知定義成立或與已知公理對(duì)立或與已知定理對(duì)立時(shí)

用這種觀點(diǎn)來看反證法的步驟1，那就是結(jié)論B的否定，矛盾體（已知公理）的否定.

因此，反證法的第一步就是證明論題的一個(gè)逆否命題，由于反證法的具體工作都在第一步，可以說反證法就是改證論題的逆否命題，雖然不全面，也算是抓到了問題的本質(zhì).但說“反證法的依據(jù)是逆否命題的等價(jià)性，情況則不同了，人們將會(huì)問，在推理系統(tǒng)中逆否命題的等價(jià)性的證明，是如何證明的呢？在八年級(jí)下學(xué)期幾何第二章上給出了逆否命題等價(jià)性的證明.下面我們按相同的方法由逆否命題為真，來證明原命題成立.

已知命題? ?若無B則無A

求證命題? ?若有A則有B

證明：假設(shè)無B，則可以一直命題推出無A，這與求證命題的條件有A成立，為矛盾律所不容，故無B不能成立，有排中律必有B.這個(gè)證明過程顯然和反證法的步驟完全一致，由此可見，反證法的結(jié)構(gòu)本身就是由逆命題為真，證明原命題成立的過程，再根據(jù)互為逆否命題的性質(zhì)，在確定認(rèn)定反證法的同時(shí)，也就確定了逆否命題的等價(jià)性.反證法和逆否命題的等價(jià)性就相當(dāng)于自己依據(jù)自己一樣，是不成立的，不妥當(dāng)?shù)?

還有一種較為離譜的說法，認(rèn)為反證法就是通過證明逆否命題的成立，從而得出原命題成立的一種方法，而在這之前證明了逆否命題的等價(jià)性，若要問證明逆否命題等價(jià)采用的是什么證題方法，容易看出這是出現(xiàn)了循環(huán)論證的邏輯毛病.

2? 反證法的分析法特點(diǎn)

數(shù)學(xué)通報(bào)2015年11期《漫談反證法》中提出“反證法具有的特點(diǎn)，它們都是從結(jié)論推演開來，不同的是第二個(gè)從結(jié)論開始，另一個(gè)是從否定結(jié)論開始”.在作出舉例對(duì)照表后進(jìn)一步提出“反證法實(shí)際上是否定式的分析法”.

我們知道反證法證題時(shí)，由于推出什么類型的矛盾結(jié)果事先并不知道.不可能從欲證的結(jié)論出發(fā)逆證追溯條件.因此，反證法根本缺少分析思維的條件，從結(jié)論反面出發(fā)進(jìn)行綜合推演，這是反證法的一個(gè)顯著特點(diǎn).

這里用反證法和分析法的證明過程其實(shí)是一種綜合法，它每個(gè)步驟都是推演其必然結(jié)果.分析法每步是追溯其充分條件。“否定式的分析法”，這種題法我在有關(guān)資料書籍中也沒有發(fā)現(xiàn)過，按字面理解“否定式的分析法”還是一種分析法. 因此把“從結(jié)論推演開來”作為判斷分析法的依據(jù)，這是不妥當(dāng)?shù)模菢右粊恚镁C合法證明在一逆命題就是從原命題的結(jié)論推演出來.全部都成了分析法，根據(jù)互逆的關(guān)系，每一命題也是逆命題的逆命題，于是用綜合法證明任一命題也可叫分析法了，這就使得綜合法和分析法完全混為一談了.

3? 反證法證題

很多數(shù)學(xué)命題當(dāng)正面推證有困難時(shí)可考慮反面入手，用直接法來推證主要有2個(gè)辦法：（1）用分析法從肯定結(jié)論入手，找出充分條件; （2）用反證法從否定結(jié)論入手，找出矛盾.怎樣的數(shù)學(xué)命題宜用反證法證明呢？一般地說，（1）在命題的形式上結(jié)論由否定形式給出;（2）在證明的方法上命題用直接法較困難;（3）在證明的方向從結(jié)論的反面著手較易論證，往往可用反證法.

參考文獻(xiàn)：

[1]黃道金.數(shù)學(xué)模型法解決數(shù)學(xué)問題[J].新課程，2015（1）.