試論化歸思想在高中數學教學中的應用

◆周強鋒

(湖北省蘄春縣第三高級中學)

教師在授課過程中，為了讓學生順利地掌握化歸思想，首先要重視基礎知識教學，包括數學概念、定理、公式，以及知識的推導、證明過程，只有扎實地掌握基礎知識，才能為化歸思想的運用奠定良好基礎。同時，教師也要注重數學模型的構建和講解，尤其是對于一些復雜、深奧的數學理論，可通過簡單的數學語言將其數學邏輯呈現出來，使學生準確抓住數學理論的內涵和實質，切實將其內化為自己的知識。另外，在構建數學模型的基礎上，教師要有意識地引導學生用數學模型來解決不同類型的數學問題，使學生形成獨立思考的能力和習慣，這對于學生全面、系統地理解化歸思想的數學實質也有很大的幫助。

一、化未知為已知

一般來說，學生對于比較熟悉的問題大都掌握了一定的解題套路，能夠快速地得出問題的答案。但面對比較新穎、陌生的題目時往往無從入手，不得其門而入。事實上，很多新題目都是一些老題目經過變形、包裝之后的產物，只要學會運用化歸思想，就能將其返本還源，然后按照已知問題的解題策略求解即可。美國數學家和教育家波利亞在其所著的《怎樣解題》一書中列出了一個解題表，在解決某問題時，先讓學生回想與該問題相似的題型的解答策略，這樣就能調動學生已有的經驗和方法來解答問題，進而發現解題的突破點，這其實就是運用了化未知為已知的解題方法。

例1：(2013全國新課標卷I，理科第16題)若函數f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的圖像關于直線x=-2對稱，則f(x)的最大值為。

解析：該題涉及四次函數，且乍一看比較陌生，需要將函數中的高次整式進行變形處理，轉化為我們熟悉的形式。首先，題干給出了函數圖像的對稱軸，可先根據這一條件求出a、b的值：

因函數f(x)的圖像關于直線x=-2對稱，故有f(-4)=f(0)，f(-1)=f(-3)，即：

b=-15(16-4a+b) (1)

0=-8(9-3a+b) (2)

聯立(1)和(2)，可得a=8，b=15，則：

f(x)=(1-x2)(x2+8x+15)

=(1-x)(1+x)(x+3)(x+5)

=-(x-1)(x+5)(x+1)(x+3)

=-(x2+4x-5)(x2+4x+3)

=-[(x2+4x)-2(x2+4x)-15]

令t=x2+4x，則f(x)=-t2+2t+15，t∈[-4，+∞]

故f(x)在對稱軸t=1處有最小值16。

二、化復雜為簡單

復雜問題簡單化是中學數學中經常使用的一種解題方法，對于乍看起來十分復雜的數學問題，只要細細觀察和分析，通常都可以分解轉化為幾個簡單的問題，然后再解答起來就簡單得多。這種解題策略在中學數學中的應用范圍很廣，手段也多種多樣，如各類公式的恒等變形、不同圖形的初等變換、正向思維的逆向轉化等。尤其是逆向思維的運用，不但能夠提高學生對知識的理解程度，還能鍛煉學生的思維靈活性，對于學生深刻掌握化歸思想有很大的幫助。

例2：(2014浙江卷，文科第16題)已知實數a，b，c，滿足a+b+c=0，a2+b2+c2=1，則a的最大值為。

解析：這是一道最值求解題，但題目包含的字母參數較多，看起來比較復雜，學生如果以通常的最值求解思路進行解答，很容易迷失方向。實際上，只要把待求最大值的a視為常量，將b和c視為變量，則題目條件就可以轉化為其他的形式，如解析幾何、方程、函數、三角函數、不等式、平面向量、數列模型等，再解答起來就簡單得多，下面僅列舉其中一種思路，即將原條件轉化為解析幾何模型，然后用化圓法求解。

三、結語

化歸思想是中學數學教學的重要內容，其不僅能夠提高學生的解題能力，而且能夠促進學生的思維發展。在教學過程中，教師應以實際教學內容為基礎，利用化未知為已知、化復雜為簡單的方法，巧妙地將化歸思想融入到教學內容體系中，使學生逐漸領略到這門思想的重要作用，進而促進其數學素養的不斷提升。