小波變換與SVD結合消除隨機噪聲的研究及應用

宋 林

(中國石油化工股份有限公司 石油物探技術研究院，南京 211103)

0 引言

地震資料中的噪聲通常分為兩類：①隨機噪聲(無規則干擾)；②相干噪聲(規則干擾)。針對隨機噪聲而言可以按照是否滿足高斯白噪的條件分為高斯隨機噪聲和非高斯隨機噪聲。隨機噪聲在地震資料中與地震有效信號相伴相隨，當隨機噪聲具有相對較高的能量時，將對地震資料處理中的NMO速度分析以及靜校正等產生不利影響，最終使偏移成像的效果欠佳，給后續的地震解釋工作帶來諸多不利影響。因此隨著多年的方法研究和技術發展，技術人員設計了多種不同的隨機噪聲消除方法， F-X域反褶積、中值濾波、多項式擬合等，但這些方法總體可分為兩大類：增強信號和壓制噪聲[1]。諸如F-X域反褶積、多項式擬合以及徑向濾波等均屬于增強地震有效信號類；中值濾波和τ-P域濾波則屬于壓制噪聲類。

F-X域反褶積[2]是基于前后兩道地震記錄的有效信號部分相似性假設的基礎，在頻率域內利用前一道信號預測后一道信號，或者后一道信號預測前一道信號，以此增強信號壓制噪聲。此方法在實際處理中應用廣泛，是增強信號連續性的選擇，但是該方法也存在兩點不足：①在增強信號的同時也會使相干噪音得到加強；②在地震信號的高頻段信噪比相對較低，該方法去噪處理后易使高頻段信號產生畸變。中值濾波是非線性濾波的一種，英國的D.R.K.Brownrigg[3]提出了加權中值濾波； Loupas[4]進一步發展為自適應加權中值濾波；劉財等[5]將其應用于地震資料噪聲壓制方面，取得了較好的效果，此方法主要使用空間中值濾波對疊后剖面進行噪音壓制。多項式擬合方法由余壽朋[6]提出的，該方法基于地震有效信號的空間相似性，通過多道記錄相關確定有效同相軸的位置，得出有效信號的模型道，進而根據相關系數完成有效信號在時間和振幅大小的擬合，以增強有效信號的連續性，壓制隨機噪聲提高信噪比,但對于隨機噪聲相對嚴重的情況下，有時會出現假的同相軸。另外，多項式擬合方法應用于沒有斷層或斷層不發育的地區，處理后同相軸的連續性大大提高，有效信號獲得明顯提升。而對于起伏變化劇烈，斷層發育的區域，會造成同相軸時空位置發生改變。

小波變換是一種應用非常廣泛的時頻分析方法，自提出以來，在理論研究和實際應用中不斷得到改進，具有優良的時頻分辨率特性。方形矩陣的奇異值分解(Singular Value Decomposition，SVD)首先由Beltrami[7]和Jordon[8]各自獨立地與1873年和1874年發現。奇異值分解直到20世紀30年代才被推廣到長方形矩陣。隨后矩陣計算大師Gene Golub[9]進一步發展了奇異值分解。SVD是線性代數中最重要的工具之一，在統計分析、信號處理、故障檢測和數據降噪等方面都有重要應用。

小波變換在地震資料去噪方面應用非常廣泛，SVD在信號處理領域有其獨特本領,但是由于小波變換去噪存在閾值難以確定的不足，使去噪結果存有去噪過度或去噪不足。而SVD去噪的主要缺點是信號方向及主元素的個數確定困難。因此筆者通過分析小波變換和SVD方法的特點，將兩者結合，相互彌補。

1 方法原理

利用連續小波變換與SVD相結合的去噪方法是：先使用連續小波變換(如Morlet)將要分析處理的地震信號分解到各個不同的尺度中，得到的每個尺度相應的小波系數，這些不同尺度的小波系數就組成了一個滿足SVD分解的一個矩陣，也叫做相空間。

平方可積的信號函數f(t)∈L2(R)，ψ(t)為一個確定的基本小波函數，令：

(1)

式中：a,b∈R，a≠0。則稱函數ψab(t)為由小波母函數ψ(t)生成的依賴于尺度參數a和平移參數b的連續小波，那么就可以稱

(2)

為被分析信號f(t)的連續小波變換[10],Wf(a,b)是變換后得到的小波系數。其逆變換公式為式(3)[11]。

(3)

采用連續小波變換對單道信號進行尺度分解，使用morlet小波作為基小波，所分解的尺度數為M，即每道信號分解后得到一個行數為M，列數為每道的采樣點數N的小波系數矩陣A，即A為M×N。

針對上述小波變換得到的M×N的矩陣A，無論其是否奇異，SVD分解總能唯一的將其分解為M×M元素的正交陣U與M×N的對角陣W和一個N×N的正交陣V的乘積表示為[12-15]：

(4)

對新組成的相空間采取SVD分解后，就會將被分解信號所含有的頻率的每一個特征分量分解到各個相應的具有正交關系的子空間中去。

由于小波變換后的各尺度系數上的信號具有極強的相似性，從而避免了傳統SVD技術中的方向掃描過程，更有利于信號與噪聲的分離。

奇異值的選取原則由奇異熵確定。在解釋什么是奇異熵之前先給出奇異譜的定義式子：

(5)

則由σi(i=1,2,…,p)求得的這里的一系列數值就組成了經由連續小波變換后的矩陣做SVD分解后的所需要的奇異譜。λi(i=1,2,…,p)是SVD分解后得到的奇異值。奇異熵的概念是根據奇異譜得來的，它是用來表示地震信號中量的變化的規律的，奇異熵[16,17]的表達式為式(6)。

(6)

式中：k表示的是所求得的奇異熵所在的位置，是在第幾階上；ΔEi則表示的是這里求得的奇異熵在相應位置上的i處的變化的多少，可以利用公式(7)求得。

(7)

奇異熵對地震資料信號的信噪比反映非常敏感。若地震信號沒有受到外界任何干擾(當然了這是理想的狀態)，求得的奇異譜在相對較低的階次就能包含全部信息，此時的奇異熵將會是穩定在在一個比較固定的數值上；若求得地震信號的奇異熵表現為明顯的上升，就說明了這段地震信號含有寬頻率的噪聲。因此根據求得的奇異熵對SVD后得到的奇異值進行篩選，再對信號進行SVD逆變換和小波逆變換重構，從而實現去噪。奇異熵的應用使主元素個數的選取具有數理依據，減少了去噪過程中的過扼殺或過保留的幾率。

去噪處理的具體步驟如下：

1)以單道地震信號作為輸入。

2)使用morlet小波對輸入的單道地震信號進行連續小波變換，得到變換后尺度為M(本文選擇尺度數為90°)，N為采樣點數的小波系數矩陣A。

3)對小波系數A=M×N的矩陣進行SVD分解，得到相應的90個奇異值。

4)利用公式(5)、式(6)和式(7)計算奇異譜與奇異熵。

5)通過奇異熵篩選出需要SVD逆變換的奇異值，進行小波系數矩陣重構。

6)對重構后的小波系數矩陣進行小波逆變換，得到去噪后的信號，并輸出結果。

流程圖如圖1所示。

圖1 連續小波變換-SVD去噪流程圖Fig.1 The denoising flow of CWT-SVD

2 模型數據測試

圖2為一個模型的單炮記錄，使用40 Hz的雷克子波正演，共有三個反射層，其中第三層反射較弱。

圖2 單炮記錄Fig.2 The shot gather

圖3 加噪后單炮記錄Fig.3 Shot gather with noise

圖3表示為圖2的單炮記錄加上隨機噪聲之后的含噪記錄，從圖3中可以看出，背景的隨機噪聲與單炮記錄的第三個反射同相軸的能量相同，使得其基本淹沒在背景噪聲中，不容易辨別。使用本文方法對背景隨機噪音進行壓制的單炮記錄(圖4)，從圖4可以清楚地看到同相軸變得更加清晰，尤其是第三個相對較弱的同相軸也比較清晰地呈現出來，并且整個記錄的背景相對圖3有了明顯地減弱，信號得到增強，提高了信噪比。圖5表示的是圖3與圖4相減得到的差剖面，從中基本看不到明顯的有效信號，所以本文的方法對背景隨機噪聲的去除是有效的，能夠提高道集的信噪比，達到去除噪聲保護弱信號的目的。

圖4 去噪后單炮記錄Fig.4 The shot gather after denoising

圖5 圖3單炮去掉的噪音Fig.5 The removed noise of shot in Fig 3

圖6 含噪疊加剖面Fig.6 The stack with noise

圖7 圖6 去噪后疊加剖面Fig.7 The stack of Fig 6 after denoising

圖8 圖6含噪疊加剖面去掉的噪音Fig.8 The removed noise of Fig 6

圖9 圖6的局部放大Fig.9 The partial enlarged of Fig 6

圖10 圖6的局部放大Fig.10 The partial enlarged of Fig 6

圖11 圖8局部放大Fig.11 The partial enlarged of Fig 8

3 實際資料應用

實際資料是來自我國西部地區某工區的資料，資料噪聲特征是隨機噪聲比較發育。圖6為F-X反褶積處理后的疊加剖面，可以看出在剖面中仍然殘留部分隨機噪聲，影響了剖面的質量。圖7為去除后的結果，從圖7中可以看出信噪比有了明顯提高，淹沒在隨機噪聲中的同相軸得到了較好地增強，同相軸更加連續，信噪比明顯提高，整個剖面的質量有了提升。圖8為去噪前、后資料的差剖面，從剖面上看基本沒有損失有效信號，絕大部分是噪音，與模型驗證的結果一致。圖9為含噪資料的局部放大顯示，圖10為消除噪音后的局部放大顯示，圖11為相對應的圖9與圖10的差剖面。從以上得到的結果可以看出，此小波變換與SVD相結合消除隨機噪音的方法在去除隨機噪音方面是有效果的，能夠在去除噪音的同時基本不損害有效信號，進而提高資料的信噪比。

4 結論

通過觀察對比以上模擬單炮記錄與實際疊加剖面兩組去噪前后的資料，我們得到以下結論：

1)連續小波變換和SVD分解相結合的去除隨機噪聲的方法是有效的。

2)對于增強有效波同相軸的連續性方面相比F-X域反褶積具有較好的效果。

3)此小波變換與SVD相結合消除隨機噪音的方法對于資料的淺層和深層都有較好的效果，且保真度較好。