基于區間猶豫模糊TOPSIS法的多屬性群決策

趙蒙川, 楊 雁, 向 毅

(1. 四川理工學院 數學與統計學院, 四川 自貢 643000； 2. 四川大學 商學院, 四川 成都 610011)

多屬性群決策(MAGDM)問題是從含有多個屬性的一組備選方案中,對所有備選方案排序并從中選取最優方案,廣泛存在于各類社會生產活動中,如政治學、經濟管理學、社會文化學、建筑學等.在群決策過程中,決策者根據主觀認知和判斷對每一方案的各個屬性進行評價,如何將具有不同偏好的各個決策者的決策信息進行聚合,并得到一致性的結果,專家們進行了相關的研究[1-5].

由于模糊和不確定性現象廣泛存在實際生活中,再加上人類認知水平及主觀判斷的局限性,造成決策信息不僅僅是以精確數的形式出現.為了準確描繪決策過程中的模糊不確定性,專家學者針對不同的語義環境相繼提出了多種形式的模糊集.1965年,美國加利福尼亞大學控制論專家Zadeh[6]首次提出模糊集FS(Fuzzy Sets)的概念,模糊集合的出現使得數學的理論和方法能夠處理模糊不確定性現象,至此以后模糊集理論發展迅速并成功應用于各個領域.受到人們認知水平的限制,常用區間數的形式描寫決策信息.因此,1986年Turksen[7]提出了區間模糊集IVFS(Interval-Valued Fuzzy Sets)的理論,其隸屬度都以區間數的形式出現.由于前述兩類模糊集無法完整地表達決策信息,這樣就造成了信息的丟失.為了克服信息丟失而造成決策結果的不準確的缺陷.Atanassov[8]在1986年提出直覺模糊集IFS(Intuitionistic Fuzzy Sets)的基本概念.引入隸屬度、非隸屬度和猶豫度表達決策的信息,該理論更加全面傳達了決策者的主觀意愿.1989年Atanassov等[9]將直覺模糊集推廣到區間的形式,給出了區間直覺模糊集IVIFS(Interval-Valued IFS)的定義.多屬性群決策問題其實是多名決策者對某一待評屬性進行評價,如果遇到決策者們猶豫不決、優柔寡斷,同時他們還無法說服彼此,將會造成最終的決策結果很難達成一致.于是,在2009年文獻[10-11]提出了猶豫模糊集HFS(Hesitant Fuzzy Sets)的基本概念,其隸屬度是由所有可能的值構成的集合.2013年,Chen等[12]在猶豫模糊集和區間模糊集的基礎上,定義了區間猶豫模糊集IVHFS(Interval-Valued HFS)，其隸屬度是由所有可能的區間數構成的集合.

逼近理想解排序(TOPSIS)法[13]是最常用的多屬性群決策方法.常規的TOPSIS方法[13-18]是用精確數、模糊數、區間數、直覺模糊數、區間直覺模糊數以及猶豫模糊元表示決策矩陣中的決策信息.但是,對于多屬性群決策中以區間猶豫模糊元表示決策信息的情形,常規的TOPSIS方法不能有效地解決.為此,本文將TOPSIS法和區間猶豫模糊集相結合提出了區間猶豫模糊TOPSIS(IVHF-TOPSIS)法,用于解決屬性評價值為區間猶豫模糊元的多屬性群決策問題.

1 基本理論

定義1[12]令X為一給定的集合,D[0,1]表示區間[0,1]上的所有閉子區間組成的集合,則關于X的區間猶豫模糊集(IVHFS)為

A={〈xi,hA(xi)〉|xi∈X,i=1,2,…,n}.

(1)

其中,hA(xi):X→D[0,1]表示元素xi∈X屬于集合A的所有可能區間隸屬度組成的集合,稱hA(xi)為一個區間猶豫模糊元(IVHFE),即

hA(xi)={γ|γ∈hA(xi)},

(2)

這里γ=[γL,γU]是一個區間數,γL=infγ和γU=supγ分別表示γ的下界和上界.

IVHFE是IVHFS的基本單元,它可以看成是IVHFS的一個特例.IVHFE和IVHFS之間的關系類似于區間值模糊數和區間值模糊集之間的關系.

定義2[12]假如a=[aL,aU],a=[aL,aU]為2個給定的區間數,la=aU-aL,lb=bU-bL,則a≥b的可能度為

(3)

(3)式可以用于比較2區間數的大小.

定義3對于任意的2個猶豫模糊元h1、h2,它們之間的的距離公式[19]如下：

(4)

(5)

2 廣義區間猶豫模糊元的距離公式

假設有2個區間猶豫模糊元h1、h2,l=max{lh1,lh2},lh1、lh2分別表示區間猶豫模糊元h1、h2的區間數的個數.由于區間猶豫模糊元h1、h2中區間數的個數不總是相同的.因此,為了便于度量它們之間的距離可以運用添加原則,對區間數較少的區間猶豫模糊元添加或最大或最小的區間數,直到2個區間猶豫模糊元達到相同的區間數個數.有如下2種添加原則：一是樂觀者原則,二是悲觀者原則.樂觀者原則即添加最大值直到lh1與lh2相等,悲觀者原則為添加最小值直到lh1與lh2相等,則區間猶豫模糊元h1、h2的廣義區間猶豫模糊元距離公式為

(6)

其中,λ>0,h1,σ(q)、h2,σ(q)分別表示區間猶豫模糊元h1、h2第q個最大值；區間數的大小按(3)式比較.

顯然該定義滿足距離測度的3個條件：

1) 0≤d(h1,h2)≤1,當且僅當h1=h2時,d(h1,h2)=0；

2)d(h1,h2)=d(h2,h1)；

3) 設h3為任意的區間猶豫模糊元,則d(h1,h2)≤d(h1,h3)+d(h3,h2).

特別地,當λ=1時,d被稱為區間猶豫模糊元海明距離；當λ=2時,d被稱為區間猶豫模糊元歐氏距離.

3 區間猶豫模糊TOPSIS的多屬性群決策方法

對于一個多屬性群決策(MAGDM)問題,假如有n個備選方案可供選擇,A={A1,A2,…,An}；每一備選方案需要考慮m個屬性,X={x1,x2,…,xm},則區間猶豫模糊決策矩陣H=(hij)n×m可以表示如下：

(7)

這里hij表示方案Ai在屬性xj下屬性評價值,hij以區間猶豫模糊元的形式給出.

考慮決策過程中,屬性類別有2類：

1) 利益型屬性,值越大越好；

2) 耗費型屬性,值越小越好.需要將耗費型屬性的值轉化為利益型的值,即按(8)式原則將區間猶豫模糊決策矩陣H=(hij)n×m正則化為矩陣R=(rij)n×m,

(8)

3.1權重在多屬性群決策過程中,每一屬性具有不同的重要程度,因而,獲得屬性的權重向量至關重要.本文針對各決策者主觀給出屬性評價值的前提下,根據各屬性評價值的最大化離差度尋求更加符合決策者心理的屬性權重向量.最大化離差度確定權重的思想為：當某個屬性在所有的備選方案之間具有越大的離差度時,賦予該屬性較大的權重；當某個屬性在所有的備選方案之間具有越小的離差度時,賦予該屬性較小的權重.

對于屬性xj∈X,方案Ai與所有備選方案之間的離差度計算如下：

i=1,2,…,n,j=1,2,…,m.

(9)

其中

d(rij,rkj)=

是區間猶豫模糊元rij與rkj之間的廣義區間猶豫模糊元距離.令

其中dj(w)表示屬性xj∈X的所有備選方案與其他方案偏差度.

本文通過最大化離差度求解權重向量,建立非線性規劃模型,模型如下：

為了求解上述模型,令

(12)

(12)式表示上述優化模型的拉格朗日函數,其中ξ是一個實數,表示拉格朗日乘數變量.則f關于wj與ξ的偏導數分別為：

(13)

(14)

根據(13)和(14)式可以得到

(15)

令

(16)

所以

(17)

歸一化權重向量

(18)

3.2利用IVHF-TOPSIS法確定貼近度通過最大化離差度法獲取了各個屬性的權重,在屬性評價信息給定的情況下,需要尋求一種方法來綜合評判每一方案的整體性能,然后對各個方案進行排序,從中選取最優方案.當屬性評價值為區間猶豫元,如果采用復雜的聚合算子進行聚合,將造成決策信息的大量丟失,使得最終結果的可信程度降低.為了克服上述缺陷,本文擴展TOPSIS法,將區間猶豫模糊集和TOPSIS法想結合,提出區間猶豫模糊TOPSIS(IVHF-TOPSIS)法,用于解決屬性評價值為區間猶豫模糊元情況下的多屬性群決策問題.TOPSIS法的基本思想是在一組備選的方案中,選擇一個離負理想解最遠且離正理想解最近的方案.

因此,在區間猶豫模糊環境下,需要重新定義區間猶豫模糊正理想解A+、區間猶豫模糊負理想解A-,定義式如下所示：

j=1,2,…m;i=1,2,…,n〉}=

(19)

j=1,2,…m;i=1,2,…,n〉}=

(20)

(21)

(22)

則方案Ai的相對貼近度系數為

(23)

不難發現

0≤c(Ai)≤1,i=1,2,…,n.

當一個方案離區間猶豫模糊負理想解越遠且離區間猶豫模糊正理想解越近時,c(Ai)的值就越趨近于1,該方案也越好.因此,可以根據c(Ai)值的大小,對備選方案進行排序并選出最優方案.

3.3算法步驟在屬性權重完全未知以及屬性評價值為區間猶豫模糊元的條件下,本文給出基于區間猶豫模糊TOPSIS法的多屬性群決策的決策步驟：

Step 1：對于一個多屬性群決策(MAGDM)問題,決策矩陣H=(hij)n×m是由決策者以區間猶豫模糊元形式給出的.然后,根據(8)式將決策矩陣H=(hij)n×m正則化為矩陣R=(rij)n×m.

Step 2：在權重信息完全未知的條件下,運用(15)～(18)式計算屬性權重向量w′.

Step 3：利用(19)和(20)式分別得到區間猶豫模糊正理想解A+,區間猶豫模糊負理想解A-.

Step 5：用(23)式計算得到每個方案Ai的相對貼近度系數c(Ai)；

Step 6：根據每個方案Ai的相對貼近度系數c(Ai)的大小,對所有方案進行排序并選出最優方案.

4 實例分析

某網絡零售企業為了提高其服務效率及質量,決定在某地區新建一個大型倉庫,有3個備選地點A1、A2、A3可供選擇.在倉庫的選址過程中,需要綜合考慮3個主要屬性：城市的發展水平(x1)、銷售目標市場及客戶分布(x2)、交通條件(x3),它們都為利益型屬性,如圖1所示.邀請業內專家對3個備選地點的各個屬性進行評價打分,屬性評價值用區間猶豫模糊元來表示,得到對應的區間猶豫模糊決策矩陣H=(hij)3×3,如表1所示.

圖 1 倉庫選址考慮的3個因素

不難發現,表1中的各個區間猶豫模糊元的數量不同,為了方便計算各區間猶豫模糊元之間的距離,本文基于樂觀者原則將表1中所有的區間猶豫模糊元的數量統一為3,擴充后的結果如表2所示.

表 1 區間猶豫模糊決策矩陣H=(hij)3×3

表 2 擴充后的區間猶豫模糊決策矩陣

由于所有屬性都為利益型屬性,不需要正則化.在此基礎上,取λ=1,首先,運用(15)～(18)式分別確定屬性x1、x2、x3權重,得到相應的權重向量w′=(0.3658,0.2927,0.3415).

然后,運用(19)及(20)式得到區間猶豫模糊正理想解A+和區間猶豫模糊負理想解A-:

A+={〈x1,{[0.7,0.8],[0.5,0.7],[0.3,0.4]}〉,

〈x2,{[0.4,0.7],[0.4,0.7],[0.4,0.7]}〉,

〈x3,{[0.7,0.8],[0.6,0.7],[0.6,0.7]}〉},

A-={〈x1,{[0.3,0.4],[0.3,0.4],[0.2,0.3]}〉,

〈x2,{[0.3,0.6],[0.3,0.6],[0.3,0.6]}〉,

〈x3,{[0.5,0.6],[0.5,0.6],[0.2,0.3]}〉}.

表 3 分離測度和貼近度系數

因為c(A1)>c(A3)>c(A2),所以最優的倉庫選址為備選地址A1.

5 結論

本文將區間猶豫模糊元與TOPSIS法想結合,提出區間猶豫模糊TOPSIS法,并考慮了在權重信息完全未知的情況下,采用最大化離差度方法確定屬性權重,選用本文提出的區間猶豫模糊TOPSIS法解決屬性權重完全未知條件下的區間猶豫模糊群決策問題,從而進行方案排序優選.與已有多屬性群決策方法相比,本文運用區間猶模糊元表示決策信息,一方面,由于區間猶模糊元在刻畫客觀世界的模糊性本質上更為準確,且更貼近實際生活；另一方面,本文是根據備選方案與正負理想解的貼近程度而進行的排序,相對于基于聚合算子的區間猶模糊多屬性群決策方法,可以有效減少決策信息的損失.最后,將本文所提方法用于解決某網絡企業的倉庫選址問題,檢驗了本文方法的有效性.本文所提的區間猶豫模糊TOPSIS法也可以運用到其他領域排序優選類問題.