L-集上的模糊泛代數

魏曉偉, 岳躍利*, 黃春娥

(1. 中國海洋大學 數學科學學院, 山東 青島 266100; 2. 北京聯合大學 生物化學工程學院, 北京 100023)

泛代數在數學和計算科學領域起到了十分重要的作用.模糊方法用于研究泛代數的結構開始于Rosenfeld的模糊群[1].從此,許多作者開始研究模糊泛代數理論[2],比如Murali基于經典的泛代數理論通過Zadeh擴張原理來研究模糊泛代數.Bo?njak等[3]等在完備剩余格的環境下,研究兩類模糊集上的泛代數;Demirci[4]提出模糊函數和伴有多值等價關系的模糊代數概念的理論;Shi[5]研究模糊關系和模糊子群的性質;Qiu等[6]研究了基于等價關系的模糊數的商空間的代數性質和拓撲性質.這里想強調的是,已經存在的模糊泛代數理論是基于經典集合的,那么一個很自然的問題就是,模糊集上的模糊泛代數理論是什么樣的呢？這正是本文的出發點.

1 預備知識

設(L,*)是quantale,如果存在一個元素e且滿足對于任意的α∈L均有e*α=α成立,則稱(L,*)是單位的quantale.→:L×L→L是相對于*的右伴隨且計算式為:α→β=∨{γ∈L|α*γ≤β},如果對于任意的α,β∈L,有α∧β=α*(α→β)成立時,稱(L,*)為可除的[7].本文在交換、可除的單位quantale環境下進行討論.

L-集A是從集合A0到L的映射,集合A0稱為A的定義域,值A(x)為x屬于A的程度.

定義1.1[8]設A:A0→L和B:B0→L是2個L-集.如果R:A0×B0→L滿足對于任意的x∈A0,y∈B0,有R(x,y)≤A(x)∧B(y)成立,則稱R:A?B為L-值關系.

定義1.2[8]設A是L-集,R:A?A是L-值關系:

1) 如果x∈A0,有A(x)≤R(x,x)成立,則稱R是A上自反的;

2) 如果x,y,z∈A0,有

R(x,y)*(A(y)→R(y,z))≤R(x,z)

成立,則稱R是A上傳遞的;

3) 如果x,y∈A0,有R(x,y)=R(y,x)成立,則稱R是A上對稱的;

4) 如果x,y∈A0,由

R(x,x)=R(x,y)=R(y,x)=R(y,y)?x=y,

則稱R是A上分離的.

同時,如果R滿足自反和傳遞,稱R是A上L-值預序,序對(A,R)稱為L-值預序集;如果R滿足自反、對稱和傳遞,稱R是A上L-值等價,序對(A,R)稱為L-值集;如果R滿足自反、分離和傳遞,稱R是A上L-值偏序,序對(A,R)稱為L-值偏序集.

在文獻[9]中,對于L-集A,它的冪集P(A):P(A)0→L還是L-集,其中

P(A)0={(f,δ)|f≤A∧δ},

且

P(A)(f,δ)=δ.

SA:P(A)?P(A)定義為

SA((f,δ),(g,ε))=

可以驗證SA是P(A)上的L-值偏序.

類似于文獻[10],設R:A?B是L-值關系,σ(R):B?B定義為

σ(R)(y1,y2)=SA((R(-,y1),B(y1)),

(R(-,y2),B(y2))),

則σ(R)是B上的L-值預序,且R是B上的L-值預序當且僅當σ(R)=R.

對于2個L-集A和B,映射α:A→B,如果對于任意的x∈A0,有A(x)=B(α(x))成立,則稱α是程度保持映射.下面定義L-集上的閉包算子.

定義1.3[9]設P(A)是A上的L-值冪集.映射cl:P(A)0→P(A)0滿足以下的條件:

(C1)SA((f,δ),(g,ε))≤SA(cl(f,δ),cl(g,ε));

(C2) (f,δ)≤cl(f,δ);

(C3) cl(cl(f,δ))=cl(f,δ),

則稱cl:P(A)0→P(A)0是P(A)上的L-值閉包算子.

設R:A?A是L-值關系,Rl:P(A)→P(A)和Ru:P(A)→P(A)定義為

Rl(f,δ)=(Rl(f),δ),

且Rl(f):A0→L定義為

類似Ru(f,δ)=(Ru(f),δ),且Ru(f):A0→L定義為

定理1.4設R:A?A是A上的L-值關系,則R是L-值預序當且僅當Ru:P(A)→P(A)是P(A)上的L-值閉包算子,當且僅當Rl:P(A)→P(A)是P(A)上的L-值閉包算子.

證明證明過程與分明集上的L-關系[8]證明類似,故省略.

類似于文獻[11],將L-值關系R:A?A提升到相對應的冪集R→:P(A)?P(A),R←:P(A)?P(A),R+:P(A)?P(A),有

R→((f,δ),(g,ε))=SA((f,δ),(Rl(g),ε)),

R←((f,δ),(g,ε))=SA((g,ε),(Ru(f),δ)),

和

R+((f,δ),(g,ε))=

R→((f,δ),(g,ε))∧R←((f,δ),(g,ε)).

定理1.5設A是L-值集,則以下的結論是等價的:

1)R:A?A是A上L-值預序?R←是P(A)上L-值預序;

2)R:A?A是A上L-值預序?R→是P(A)上L-值預序.

證明證明過程與分明集上的L-關系[8]證明類似,故省略.

2 L-集上的模糊泛代數

首先看模糊集A的n-次冪的定義形式.考慮切片范疇Set↓L的對象的乘積.任取A,B∈Set↓L,那么有[A,B]Set↓L={φ:A0|→B0},這里φ是程度保持映射.所以A×B:(A×B)0→L定義為

(A×B)(x,y)=A(x)=B(y),

其中

(A×B)0={(x,y)∈A0×B0|A(x)=B(y)}.

An(x1,x2,…,xn)=

A(x1)=A(x2)=…=A(xn),

其中

A(x2)=…=A(xn)}.

A上的n-元運算就是從An到A的程度保持映射.

本文中,總假設對于任意的x∈A0,有A(x)≠0成立.

定義2.1設A:A0→L是L-集,并且F是A上n-元運算的集合,則序對A=〈A,F〉稱為A上的模糊泛代數.

φ(f(x1,x2,…,xn))=f(φ(x1),φ(x2),…,φ(xn))

時,則稱φ是從A到B的同態映射.若同態映射φ是單射,則稱φ為嵌入映射.若同態映射φ是雙射,則稱φ為同構映射.

R(x1,y1)*(A(x2)→R(x2,y2))*…*

(A(xn)→R(xn,yn))≤

R(φ(x1,x2,…,xn),φ(y1,y2,…,yn))

成立,則稱R是A上的相容關系.特別地,A上相容的L-值等價關系稱為A上的同余關系.

設〈A,F〉是模糊泛代數,R是A上的同余關系.可以定義模糊商代數〈A/R,F/R〉.定義A/R:(A/R)0→L為(A/R)(x/R)=A(x),其中

(A/R)0={x/R|x∈A0},

且

x/R={y∈A0|R(x,x)=

R(y,x)=R(x,y)=R(y,y)}.

定義f/R:(A/R)n→A/R為

(f/R)(x1/R,x2/R,…,xn/R)=f(x1,x2,…,xn)/R.

設A=〈A,FA〉和B=〈B,FB〉是相同型的模糊泛代數,α:A→B是同態映射,定義α的核ker(α):A?A為

?x,y∈A0,ker(α)(x,y)=

易知ker(α)是A上的同余關系且有如下的同構定理.

定理2.4(第一同構定理) 設A和B是同型的泛代數,α:A→B是滿同態映射,則

A/ker(α)?B.

設A是模糊泛代數,θ和φ是A上的2個同余關系且θ≤φ.定義A/θ:(A/θ)0→L為(A/θ)(x/θ)=A(x),其中

(A/θ)0={x/θ|x∈A0}.

同時定義φ/θ:(A/θ)?(A/θ)為

(φ/θ)(x/θ,y/θ)=φ(x,y),

則可以驗證φ/θ的定義是合理的并且是A/θ上的同余關系.

定理2.5(第二同構定理) 設A是泛代數,θ和φ是A上的2個同余且θ≤φ,則

(A/θ)/(φ/θ)?A/φ.

設B是A的模糊子代數,θ是A上的同余關系.定義Bθ:(Bθ)0→L為

其中

Bθ=A|(Bθ)0,

且

(Bθ)0={x∈A0|B0∩x/θ≠?}.

實際上,可以證明〈Bθ,F〉是B的模糊子代數,θBθ是Bθ上的同余關系.

定理2.6(第三同構定理) 設B是A的模糊子代數,θ是A上的同余關系,則

B/θB?Bθ/θBθ.

關于以上3個同構定理的證明,可類似參考經典集上的泛代數[12]中分別對應的同構定理的證明方法.

3 L-值冪代數

設A=〈A,F〉是模糊泛代數.對于θ:An→A,θ+:P(A)n→P(A)定義為

其中

為

其中

則稱P(A)=〈P(A),{θ+|θ∈F}〉為〈A,F〉的L-值冪代數.

相應的修改傳遞性如下:一個L-值關系R如果滿足對于任意的x,y,z∈A0且A(x)=A(y)=A(z)有

R(x,y)*(A(y)→R(y,z))≤R(x,z),

稱R為弱傳遞.類似的定義：

和

其中

Ay={x∈A0|A(x)=A(y)}.

在這種情況下,定理1.4和定理1.5均成立.

定理3.1設〈A,F〉是模糊泛代數,R是A上的弱L-值預序,則以下陳述是等價的:

1)R是A上的相容關系;

2)R→是P(A)上的相容關系;

3)R←是P(A)上的相容關系.

證明僅證明1)?2),1)?3)可類似證明.

1)?2) 假定θ∈F,(fi,δ),(gi,δ)∈P(A)0,因為

(A(y1)→R(θ(x1,x2,…,xn),θ(y1,y2,…,yn))),

并且有

所以

成立.考慮到

R→(θ+((f1,δ),(f2,δ),…,(fn,δ)),

θ+((g1,δ),(g2,δ),…,(gn,δ)))=

然后有

R→((f1,δ),(g1,δ))*

(δ→R→((f2,δ),(g2,δ)))*…*

(δ→R→((fn,δ),(gn,δ)))≤

故R→具有相容關系.

R(x1,y1)*(A(x2)→R(x2,y2))*…*

(A(xn)→R(xn,yn))=

R→((Ax1,A(x1)),(Ay1,A(y1)))*…*(A(xn)→

R→((Axn,A(xn)),(Ayn,A(yn))))≤

R→(θ+(((Ax1),A(x1)),…,(Axn,A(xn))),

θ+(((Ay1),A(y1)),…,((Ayn),A(yn))))≤

A(xi)=SA((Axi,A(xi)),(Ayi,A(yi)))≤

R(θ(x1,x2,…,xn),θ(y1,y2,…,yn)).

所以,R具有相容性.

定理3.2設A是模糊泛代數且R是A上的同余關系,存在從P(A/R)到P(A)/R+的滿同態映射.

證明首先,需要說明(P(A)/R+)0中元素的形式.對于(f,δ)∈P(A)0,如果(g,η)∈[(f,δ)],則有

[(f,δ)]={(g,δ)∈P(A)0|f≤

接著,定義θ:P(A/R)→P(A)/R+為

可以驗證θ是一個滿的程度保持映射.

最后,需證θ是同態映射.設φ是A上n-元運算,任意(gi,η)∈P(A/R)0,有

θ((φ/R)+((g1,η),(g2,η),…,(gn,η)))=

φ+/R+(θ((g1,η)),θ((g2,η)),…,θ((gn,η)))=

因此,去驗證

即

成立.剩下的部分很容易去驗證,則θ是滿同態映射.

推論3.3P(A/R)/ker(θ)?P(A)/R+,其中θ是定理3.2中的滿同態映射.

如果ε(R)是A上的同余,則稱R是A上好的關系,其中ε(R)=σ(R)∧σ(R)op;如果R→是P(A)上好的關系,稱R是A上Hoare好的關系;如果R→是P(A)上好的關系,稱R是A上Smyth好的關系.

定理3.4設A是模糊泛代數且R是A上的弱L-值預序,當*=∧時,則下面的陳述是等價的:

1)R是A上的相容關系;

2)R是A上Smyth好的關系;

3)R是A上Hoare好的關系.

證明只證明1)?2).

1)?2) 因為R是弱L-值預序關系,所以ε(R←)=R←∧(R←)op,并且R←和(R←)op還是弱L-值預序.ε(R←)具有對稱性.由于R是A上的相容性關系,由定理3.1知,R←具有相容性.下面說明ε(R←)具有相容性.對于(fi,δ),(gi,δ)∈P(A)0(1≤i≤n)有

ε(R←)((f1,δ),(g1,δ))∧

(δ→ε(R→)((f2,δ),(g2,δ)))∧…∧

(δ→ε(R←)((fn,δ),(gn,δ))))=

(R→∧(R←)op)((f1,δ),(g1,δ))∧

(δ→((R←)op∧R←)((f2,δ),(g2,δ)))∧…∧

(δ→((R←)op∧R←((fn,δ),(gn,δ))))≤

[R←((f1,δ),(g1,δ))∧

(δ→R←((f2,δ),(g2,δ)))∧…∧

(δ→R←((fn,δ),(gn,δ))))]∧

[(R←)op((f1,δ),(g1,δ))∧

(δ→(R←)op((f2,δ),(g2,δ)))∧…∧

(δ→(R←)op((fn,δ),(gn,δ))))]≤

所以,R是Smyth好的關系.

2)?1) 假定xi,yi∈A0且A(xi)=A(yj)(1≤j,i≤n).定義A(x,y)1A(x,y)A:A0→L為

那么,(A(x,y)1A(x,y)A,A(y))∈P(A)0.因為

R←((Ax,A(x)),(A(x,y)1A(x,y)A,A(y)))=

R(x,y),

以及

R←((A(x,y)1A(x,y)A,A(y)),(Ax,A(x)))=

A(x)∧A(y),

那么有

R(x,y)=R(x,y)∧(A(x)∧A(y))=

ε(R←)((Ax,A(x)),(A(x,y)1A(x,y)A,A(y)))

成立.下面說明R具有相容性,

R(x1,y1)∧(A(x2)→R(x2,y2))∧…∧

(A(xn)→R(xn,yn))=

ε(R←)((Ax1,A(x1)),

(A(x1,y1)1A(x1,y1)A,A(y1)))∧

(A(x2)→ε(R→)((Ax2,A(x2)),

(A(x2,y2)1A(x2,y2)A,A(y2)))∧…∧

(A(xn)→ε(R←)((Axn,A(xn)),

(A(xn,yn)1A(xn,yn)A,A(yn)))≤

R(f(x1,x2,…,xn),f(y1,y2,…,yn))))=

A(xi)∧(A(yi)∧(A(yi)→R(f(x1,x2,…,xn),

f(y1,y2,…,yn))))=

R(f(x1,x2,…,xn),f(y1,y2,…,yn))).

說明R具有相容性.