結構元線性生成的模糊值函數的可導性

舒天軍, 莫智文

(四川師范大學 數學與軟件科學學院, 四川 成都 610066)

基于擴張原理, 模糊值函數微分是對區間值函數微分的自然推廣.但擴展原理中λ遍歷區間[0,1],因此模糊值函數的微分在實際應用中的計算變得困難.為了便于模糊值函數微分計算,諸多學者對模糊值函數的可導性進行了探究[1-16].郭嗣琮[17]提出用結構元表示模糊數,簡化了模糊數的解析表達式.本文在文獻[18-19]介紹的結構元線性生成的模糊數、模糊值函數的基礎上,根據文獻[20]給出的模糊距離定義一種新的結構元線性生成的模糊值函數的極限,并用這種極限新定義結構元線性生成的模糊值函數的導數,然后結合這種導數的定義研究結構元線性生成的模糊值函數的導數性質.同時，應用結構元線性生成的模糊值函數的導數討論結構元線性生成的模糊值函數的凸性.

1 預備知識

定義1.1[17]E是實數域R上的模糊集,隸屬函數記為E(x),x∈R.如果E(x)滿足下述性質：

1)E(0)=1,E(1+0)=E(-1-0)=0;

2) 在區間[-1,0)和(0,1]上,E(x)分別是單調增右連續函數和單調降左連續函數;

3) 在區間(-∞,-1)或(1,+∞)上,E(x)=0,則稱模糊集E為R上的模糊結構元.

顯然,模糊結構元E是R上的正則凸模糊集,是有界閉模糊集.

定義1.2[18]A是有限模糊數,若存在1個模糊結構元E和有限實數a∈R,r∈R+,使得=a+rE(其中r→0),則稱是由模糊結構元E線性生成的模糊數.由E線性生成的模糊數的全體記作

(E)={|=a+rE,?a∈R,r∈R+},

定義1.3[19]設X、Y是2個實數集,(Y)是Y上的模糊數的全體,是X到(Y)上的映射,即對于任意的x∈X,存在唯一的模糊數(Y)與之對應,記則稱為X上的模糊值函數.如果E是N(Y)上1個正則模糊結構元,則稱是X上的1個由E線性生成的模糊值函數,其中h(x)、ω(x)在X上有界,且ω(x)>0.由E線性生成的有界模糊函數的全體記作

(Ef)=

對于任意給的實數ε>0,分別存在δ1與δ2.當x0-x<δ1時,有

當x-x0<δ2時,有

取δ={δ1,δ2},當|x-x0|<δ時,有

則有

所以對于任給的實數ε>0,存在正數δ,使得0<|x-x0|<δ時,有

成立.于是當x-x0<δ時,有

當x0-x<δ時,有

所以由模糊值函數極限保號性可知,存在正數δ,對一切x1∈(a,a-δ)有

當0<|x-x0|<δ2時,有

令δ=min{δ1,δ2},則當0<|x-x0|<δ時,有

2) 類似于證明1).

則有

證明作輔助模糊值函數

即證明

同理可得

不等式兩邊取極限可得

x2=λx1+(1-λ)x3.

從而有

即

成立.

3) 對于I上任意2點x1、x2,有

其中ξ∈(x1,x2).移項后有

當x2

3)→1) 對于I上任意的2點x1、x2,取x3=λx1+(1-λ)x2(其中0<λ<1),有x1-x3=(1-λ)·(x1-x2)與x2-x3=λ(x2-x1).由

可以推出

化簡2不等式可得