超拓撲空間上的超仿緊性質(zhì)

劉 赫，張國芳

Mashhour在1983年去掉了拓撲空間的有限交條件，給出了超拓撲空間的概念［1］，把拓撲空間上的連續(xù)映射擴展到超拓撲空間上的超連續(xù)映射，得到了每個連續(xù)映射都是超連續(xù)映射，也給出了超拓撲空間上的分離定理STi(i=0,1,的概念，研究了它們的若干相關(guān)性質(zhì).Devi在2008年把拓撲空間上的α開集引申到超拓撲空間上的超α開集［2］，研究了超α開集的一些基本性質(zhì)，介紹了超α連續(xù)映射的概念，研究了超α連續(xù)映射的一些性質(zhì)，得到連續(xù)映射和超連續(xù)映射都是超α連續(xù)映射，并給出例子說明它們的逆定理不成立.

T.M.Al-Shami在2016年給出了超極限點、超邊界點和超閉包算子等概念［3］，研究了它們所具有的性質(zhì)，介紹研究了超緊（超Lindel?f）空間、幾乎超緊（幾乎超Lindel?f）空間和弱超緊（弱超Lindel?f）空間，同時給出了超正則空間、超正規(guī)空間和STi(i=3,4)空間的概念，討論了這些空間在一些超映射下的像與逆像性質(zhì).T.M.Al-Shami在2017年使用超α開集的概念［4］，介紹了超拓撲空間上超α緊（超αLindel?f）空間、幾乎超α緊（幾乎超αLindel?f）空間和弱超α緊（弱超αLindel?f）空間的概念，同時研究了這些超空間的若干性質(zhì)，并且通過一些例子來指出這些概念之間的關(guān)系，從而導出一些值得進一步討論的結(jié)論［5］.

文章主要把拓撲空間上的若干仿緊性質(zhì)引申到了超空間上的若干超仿緊性質(zhì)，并且給予了充分的證明，對超空間進行了更深層次的論證與闡述.

1 預備知識

定義1［1］若X上的子集族τ?滿足τ?中包包，記作

定義 4［3］設A是超空間 (X,τ?)的一個子集，x∈X.若x每一個超鄰域都至少包含A中的一個不同于x的點，那么點x叫作A的超極限點.A的所有超極限點的集合叫作A的超導集，記作As′.

定義5［3］在超拓撲空間 (X,τ?)中，若每一個超閉子集F和每一點x?F，都存在兩個不相交的超開集G,H，分別包含F(xiàn)和x，則稱X是超正則空間，也稱X是ST3空間.

定義6［3］一個超拓撲空間 (X,τ?)，若兩個不相交的超閉集F1和F2，存在不相交的超開集G和H分別包含F(xiàn)1和F2，則稱超拓撲空間(X,τ?)是超正規(guī)空間，也稱X是ST4空間.

定義7［4］若超拓撲空間X的每個超開覆蓋有有限（可數(shù)）個子覆蓋，則稱X是超緊（超Lindel?f）空間.含X和φ且τ?中任意子族的并仍在τ?中，則稱τ?為X上的超拓撲，偶對(X,τ?)稱為超拓撲空間.τ?中的元素叫作超開集，超開集的補集叫作超閉集.

定義 2［1］設 (X,τ?)是一個超拓撲空間，x∈X，如果U是X的一個子集，存在一個超開集V∈τ?，使得x∈V?U，則稱U是點x的一個超鄰域.

定義3［2］設E是超空間 (X,τ?)的一個子集，那么包含E的所有超開集的交叫作E的超閉

2 超仿緊空間的一些相關(guān)定義

定義8 稱超拓撲空間X的子集族是超局部有限族，若每一點x∈X，存在超鄰域U，使得是有限的.

定義9設(X,τ?)是超拓撲空間，u是超開集族，若則稱u是X的超開覆蓋.若u為X的一個超開覆蓋且為超局部有限族，則稱μ為X的一個超局部有限開覆蓋.

定義10 設 (X,τ?)是超拓撲空間，是X的兩個超局部有限開覆蓋，且 ?Bt∈v,?As∈u使得Bt?As，則稱v為u的一個超局部有限開加細.

定義11 設X是超拓撲空間，若X的每個超開覆蓋都有一個超局部有限開加細，則稱超空間X叫作超仿緊空間.

3 主要結(jié)果

命題1 對于超空間X的任何子集A，B，都有A?B,則scl(A)?scl(B).

證明 由文獻［3］中的命題3.2可知，若A?B，則 有As′?Bs′, 又 因 為 scl(A)=A?As′,scl(B)=B?Bs′,所以 scl(A)? scl(B).

命題2x∈scl(A)?x的任意超鄰域U，有U?A≠φ.

證明 ?x∈scl(A) ，則有x∈A或x∈As′.

（1）若x∈A，則有U?A≠φ；

（2）若x∈As′，則 由 超 導 集 定 義 可 知所以U?A≠φ.

?若x的任意超鄰域U，有U?A≠φ.

（1）若x∈A，則有x∈scl(A)=A?As′；

（2）若x?A，則A=A{x} ，U?A≠φ，即有所以x∈As′?scl(A).

命題3 若U是一個超開集且U?A=φ，那么有

證明 假設存在點x∈U?scl(A) ，因此且U是x的一個超鄰域.由命題2可知U?A≠φ，這與已知矛盾，所以有

命題4 對于任何超局部有限族{As}s∈S都有

引理1設X是超仿緊空間，A，B是X的兩個超閉子集.若每一點x∈B，存在超開集Ux，Vx使得A?Ux，x∈Vx且Ux?Vx=φ，那么也存在超開集U，V使得A?U，B?V且U?V=φ.

證明 集族{XB}?{Vx}x∈B是X的一個超開覆蓋，由超仿緊空間定義可知它有一個超局部有限開加細設由命題 3，則有A?sclWs=φ，s∈S0，而且由命題4可知是超開集也是超開集，U?V=φ，即得證.

定理1 每一個超仿緊空間都是超正規(guī)的.

證明 在引理1中，若用超單點集代替A，則超仿緊空間一定是超正則的，故再次應用引理1可知超仿緊空間是超正規(guī)的.

定理2 每個超緊空間必是超仿緊空間.

證明 設X是超緊空間，則X必為超正則的.故對于包含x的任意超開集W有x?XW.由XW為超閉集及X的超正則性質(zhì)，必有超開集H，G，使得x∈H，XW?G且G?H≠φ，所以設u為X的任意超開覆蓋，則u中有限個元素U1,U2,…,Un，使得那么存在超開集Ui，使得x∈Ui，故有超開集Vi，使得x∈Vi?scl(Vi)?Ui，令A1=V1,A2=V2sclV1,…,An=VnsclVn-1，則{A1,A2，…,An}為u的超局部有限開加細.

事實上，?x∈X，則必存在i＜n使得x∈Ui.但x?Ui-1，則x∈Vi，但x?scl(Vi-1)，所以且Ai至多與{A1,A2,…,中Ai+1,…,An相交，故為u的超局部有限開加細，即得證.

定理3 超仿緊空間的每個超閉子空間是超仿緊的.

證明 設X是超仿緊空間，E是X的一個超閉子空間，令{Gα:α∈Λ} 是E的任意一個超開覆蓋，則u=?Gα?Ec為X的超開覆蓋，因為X是超仿緊空間，故存在一個超局部有限開加細v，即 ?V∈ν，?U∈u使得V?U，取V′=那么V′構(gòu)成了E的超局部有限開加細，所以E是超仿緊的.

4 結(jié)論

本文在超拓撲空間基本概念的基礎上，介紹了超仿緊空間的定義，研究了超仿緊空間的若干性質(zhì)，對它們進行了充分的論證，得到了超仿緊空間的每個超閉子空間是超仿緊的等重要結(jié)論，這些結(jié)論拓展了超空間的研究領(lǐng)域，對超空間理論進行了有力的補充.